1、海南省海口市第四中学2021届高三数学上学期期中试题考试时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共400分）1已知集合，则（ ）ABCD2若复数z满足（i是虚数单位），则等于（ ）ABC2D3设，则a，b，c的大小关系是（ ）ABCD4已知是定义在R上的偶函数，且，若当时，则（ ）A6B4C2D15用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是（ ）ABCD6若函数是幂函数，且其图像过点，则函数 的单调递增区间为（ ）ABCD7某手机生产线的年固定成本为250万元，每生产x千台需另投入成本万元，当年产量不足80千台时，（万元）；当年产量不小于80千台时，（万元
2、），每千台产品的售价为50万元，该厂生产的产品能全部售完当年产量为（ ）千台时，该厂当年的利润最大？A60B80C100D1208函数在的图像大致为（ ）ABCD二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共200分）9下列命题是假命题的是（ ）A；B函数的零点是和；C“”是“”成立的充要条件D已知，“幂函数在上为增函数”是“指数函数为增函数”成立的必要不充分条件10在同一直角坐标系中，函数与（且）的图像可能是（ ）ABCD11下列几个说法，其中正确的有（ ）A若函数的定义域为，则函数的定义域为；B已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是；C若函数有两个零点，则实数b的取值范围是；D若是奇函
3、数，且实数k满足，则k的取值范围是12已知函数，以下结论正确的是（ ）A在区间上先增后减；B；C若函数在上有6个零点，则；D若方程恰有3个实根，则三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共200分）13已知函数，则_14若函数在处取得极值，则_15若函数，对任意，都有，则实数a的取值范围是_16已知k为常数，函数，若关于x的函数有4个零点，则实数k的取值范围为_四、解答题（本大题共6小题，共700分）17（本题满分10分）已知数列的前n项和为，且（）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（）若，求数列的前n项和18（本题满分12分）已知函数（）求的最小正周期和单调减区间；（）求证：当时，19
4、（本题满分12分）某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率每人均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立，互不影响的（）求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率；（）设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为X，Y，求随机变量X，Y的期望，和方差，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好？20（本题满
5、分12分）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是直角梯形，底面ABCD，E是PB的中点（）求证：平面平面PBC；（）若二面角的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值21（本题满分12分）已知椭圆，经过点且离心率为（）求椭圆C的方程；（）若直线I过椭圆C的左焦点交C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴、y轴分别交于D、E两点，试问：是否存在直线AB，使得（其中O是坐标原点）？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由22（本题满分12分）已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）证明：在区间上有且仅有2个零点数学答案1【答案】B2【答案】D3【答案】C4【答案】B解：由，
6、知函数是以4为周期的周期函数，则，又是定义在R上的偶函数，当时，所以5【答案】B解：设，在上单调递增，根据函数的零点存在性定理得出：的零点在区间内；方程的解所在的区间为6【答案】A解：因为函数是幂函数，所以，即，又因为其图象过点，即，所以，则函数，定义域为，解得或，函数的单调递增区间为的递减区间，结合函数定义域可得：函数的单调递增区间为7【答案】C解：设年产量为x千台，当年的利润为y万元，则由已知有，即，当时，由二次函数知当时y取最大值950，当时，y在单调递增，在单调递减，所以当时，y取得最大值1000，又，所以当年产量为100千台时，该厂当年的利润取得最大值1000万元8【答案】D【解析】
7、因为，所以为奇函数，关于原点对称，故排除A，又因为，故排除B、C9【答案】ABC解：故A是假命题；二次函数的零点是指其图象与x轴交点的横坐标，应为和4，故B是假命题；当时，一定有，但时，且时，a，b可以不相等，故C是假命题；幂函数在上为增函数，则，即；指数函数为增函数，则，即，由得不到；反之则成立，故D是真10【答案】AD解：的单调性相反，所以排除B，C，当时，选A；当时，选D故选AD11【答案】BCD解：A由函数的定义域为，即，得到，则函数的定义域为，故A错误；B函数为复合函数，令，若满足题意，只需在上为增函数，且，所以，B正确；C函数有两个零点，即为函数的图象与直线的图象有两个交点，根据图
8、象知：，故C正确；D由题意，经检验满足题意单调递减，故D正确12【答案】ABD解：由题意可知当时，是以3为周期的函数，故在上的单调性与在上的单调性相同，而当时，在上先增后减，故A正确；又，故，故B正确；作出的函数图象如图所示：.由于在上有6个零点，故直线与在上有6个交点，不妨设，由图象可知，关于直线对称，关于直线对称，关于直线对称，故C错误；若直线经过点，则，若直线与相切，则消y可得：，令可得，解得或，当时，当时，（舍），故若直线与在上的图象相切，由对称性可得因为方程恰有3个实根，故直线与的图象有3个交点，或，故D正确13【答案】解：求导得，得，解得14【答案】3解：，则，即，解得15【答案】
9、解：由条件知，分段函数在R上单调递减，则，所以，所以16【答案】解：关于x的函数有4个零点，等价于与有4个不同的交点，时单调递减，与有一个交点，则；所以时，有3个交点，求出与相切时的k值，当时，设切点为，所以，则，所以切线方程为，又因为点在切线上，则，解得，所以，由图像知有4个零点，17（本题满分10分）解：（1）数列的前n项和为，且，当时，解得：当时，-得：，故：（常数），所以：数列是以1为首项，3为公比的等比数列所以：（首项符合通项），故：（2）解：所以，两式相减得，因此18（本题满分12分）解：（1），所以的最小正周期令，解得，所以单调减区间为，（2）因为，所以，所以，所以当时，19（本
10、题满分12分）解：（1）甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率（2）甲班级能正确回答题目人数为X，X的取值分别为1，2，则，乙班级能正确回答题目人数为Y，Y的取值分别为0，1，2，由，知，由甲班级代表学校参加大赛更好20（本题满分12分）解：（1）平面ABCD，平面ABCD，因为，所以，所以，所以，又，CB，平面PBC，所以平面PBC，因为平面EAC，所以平面平面PBC（2）如图，以点C为原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则，设，则，取，则，为面PAC法向量设为面EAC的法向量，则，即，取，则依题意，则于是，设直线PA与平面EAC所成角为，则，即直线PA与平面EAC所
11、成角的正弦值为21（本题满分12分）解：（1）由题意得，又因为，由上述三式解得：，所以椭圆方程为：（2）假设存在直线AB，显然直线AB不能与x轴，y轴垂直如图假设存在直线AB，显然直线AB不能与x轴，y轴垂直设AB方程为，代入植圆方程整理得：，设，所以，故点G的横坐标为，所以，设，因为，所以，解得，即，由可得，化简可得：，由可得， ，即存在直线AB为或22（本题满分12分）解：（1），则，因此函数在点处的切线方程为，即（2）当时，此时，所以函数在区间上没有零点；又，下面只需证明函数在区间上有且只有一个零点，构造函数，则，当时，所以函数在区间上单调递增，由零点存在定理知，存在，使得，当时，当时，所以函数在处取得极小值，则，又，所以，由零点存在定理可知，函数在区间上有且只有一个零点综上可得，函数在上有且仅有两个零点
