1、（全国卷）“超级全能生”2021 届高三数学 1 月联考试题（丙卷）文 注意事项：1.本试题卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。4.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数 z 的共轭复数为 z，i 为虚数单位
2、，复数 z 在复平面内对应的点为(3，4)，则 zz A.4355i B.3455 i C.4355i D.3455 i 2.已知全集为 R，集合 Ax|2x3，Bx|log2(x3)2，则 A(RB)A.x|1x2 B.x|1x3 C.x|1x2 D.x|1x3 3.PM2.5是评估空气质量的一个重要指标，我国 PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 PM2.5月均值在 35 g/m3以下空气质量为一级，在 3575 g/m3之间空气质量为二级，在 75 g/m3以上空气质量为超标.某地区 2020 年 1 月至 12 月的 PM2.5月均值(单位：g/m3)的统计数据如图所示，则下列
3、叙述不正确的是 A.该地区一年中空气质量超标的月份只有 1 个月，B.该地区一年中 PM2.5月均值 2 月到 7 月的方差比 8 月到 11 月的方差大 C.该地区上半年中 PM2.5月均值的平均数约为 61.83 D.该地区从 2 月份到 7 月份 PM2.5值持续增加 4.已知 tan32，则 sin(32 2)的值为 A.17 B.32 C.2 3 7 D.12 5.已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn12Sn1(nN*)，a11，则 S7 A.255 B.63 C.128 D.127 6.已知 aln，bloge，clog 1e，则下列不等关系正确的是 ababbc acbc
4、bc acbcbc bcab0)的最小正周期为，则以下说法错误的是 A.将函数 f(x)的图象向左平移12 个单位长度后，得到的函数 g(x)的图象关于原点对称 B.函数 f(x)在区间0，12 上为减函数 C.由 g(x)cos2x 的图象向右平移12 个单位长度可以得到 f(x)的图象 D.点(12，0)是函数 f(x)图象的一个对称中心 9.从 4 名男同学和 3 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出 2 名同学中恰好有 1男 1 女同学的概率是 A.27 B.47 C.17 D.37 10.如图，二面角 l 为 60，A，B，C，D，El，BCD45，AED30，AE2 2
5、 BC，l平面 ABD，则直线 AB 与 所成的角为 A.45 B.60 C.90 D.30 11.某几何体的三视图如图所示(网格纸的小正方形的边长是 2)，则该多面体的外接球体积为 A.24 3 B.16 3 C.12 3 D.32 3 12.在平面直角坐标系中，有定点 M(1，1)，F(1，0)，动点 P 满足 PFPM OF，记动点P 的轨迹为 C，过 F(1，0)且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点，若MA MB0，则ABM面积 S 的值为 A.5 B.5 52 C.15 54 D.52 第 II 卷(非选择题 共 90 分)二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共
6、20 分。13.已知单位向量 a，b 满足|a2b|2，则 ab 的值为 。14.已知 O 是坐标原点，点 P(1，2)，若点 Q(x，y)为平面区域y1xy0 xy20 上的一个动点，则OP OQ的最大值为 。15.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x(，0时，f(x)2x 13，设 h(x)sinx，若函数 g(x)f(x)h(x)，则 g(x)在区间2020，2019上的零点个数为 。16.在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足 a2b2c2ab。若 b4，且ABC为锐角三角形，则ABC 面积的取值范围为 。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、
7、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60 分。17.(12 分)设正项数列an的前 n 项和为 Sn(nN*)，且满足 an1 是 4，Sn4 的等比中项。(I)求an的通项公式；(II)设 bn nn 14a3a3，求bn的前 n 项和 Tn。18.(12 分)为打造“四态融合、产村一体”望山、见水、忆乡愁的美丽乡村，增加农民收入，某乡政府统计了景区农家乐在 20122018 年中任选 5 年接待游客人数 y(单位：万人)的数据如表：(I)根据数据说明变量 x，y 是正相关还是负相关；(II)求
8、相关系数 r 的值，并说明年份与接待游客数相关性的强与弱；(III)分析 2012 年至 2018 年该景区农家乐接待游客人数 y 的变化情况，利用最小二乘法求该景区农家乐接待游客人数关于年份代号的回归直线方程；并预测该景区农家乐 2020 年接待游客人数约为多少万人(精确到小数点后 2 位数)。附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数 r 的公式分别为 121()(),()niiiniixxyybaybxxx，12211()()()()niiinniiiixxyyrxxyy，一般地，当 r 的绝对值大于 0.75 时认为两个变量之间有很强的线性关系。19.(12 分)如图，直三
9、棱柱 ABCA1B1C1中，平面 ABC 是边长为 2 的等边三角形，BB14，E 为棱 A1C1的中点，F 为棱 A1B1的中点，BC1B1CO。(I)证明：A1B/平面 EFO；(II)求三棱锥 B1A1CC1的体积。20.(12 分)在平面直角坐标系中，已知点 A(2，t )，B(2，t )，若点 P 同时满足：PAB 的面积为 S1，以 P 为圆心的圆过点 F(2，0)，且圆 P 的面积为 S2，若 S12S。(I)求 P 的轨迹 E 的方程；(II)若过 F 的直线 l 与 E 交于 M，N 两点，点 Q(2，0)，求证：MFQNFQSMQ=SNQ。21.(12 分)已知函数 f(x)xexa(x22x1)，aR。(I)求 f(x)的单调区间；(II)若 a1，存在非零实数 m，n，满足 f(m)f(n)0，证明：|mn|7，求 a 的取值范围；(II)若 a0，在(I)的条件下，记 a 的最小正整数为 m，且正实数 b，c，d 满足 bcdm，证明：1119dbbcdc8。
