1、不等式选讲（2）（教案）A一、 基本知识点：(1).含有参数不等式的解法例1:解关于x的不等式 解：原不等式等价于 当即时 当即时 x-6当即时 xR。例2、解关于x的不等式 解：当即q(0,)时 x2或x1当即q=时 x当即q(,)时 1x0，即在（-1，1）上是增函数。故t的取值范围是.数学思想方法是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识在解决含参数不等式的恒成立的数学问题中要进行一系列等价转化因此，更要重视转化的数学思想(5)、能成立问题(部分成立)（存在性问题）若在区间上存在实数使不等式f(x)A成立,即f(x)A在区间上能成立, f(x) A；若在区间上存在实数使不等式f(
2、x)A成立, 即f(x)A在区间上能成立, f(x) 1 ，若0a1时 当m=1时 x当0m1时 当m0时 x0（8）、反证法：但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。利用反证法证明不等式，一般
3、有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。例1、设二次函数，求证：中至少有一个不小于.证明：假设都小于，则 （1） 另一方面，由绝对值不等式的性质，有 （2） （1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理
4、、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？例2、设0 a, b, c , (1 - b)c , (1 - c)a ,则三式相乘：ab (1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a 又0 a, b, c 1 同理：, 以上三式相乘： (1 - a)a(1 - b)b(1 - c)c 与矛盾原式成立（9）、不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，
5、尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。例1、若是自然数，求证证明： = =注意：实际上，我们在证明的过程中，已经得到一个更强的结论，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。例2、求证：证明：由（是大于2的自然数）得（10）柯西不等式定理1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则， 其中等号当且仅当时成立。证明：几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（），B（），那么它们的数量积为，而，所以柯西不等式的几何意义就是：，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。定理2：（柯西不等式的向量形式）设
6、，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。定理3：（三角形不等式）设为任意实数，则：分析：思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？定理4：（柯西不等式的推广形式）：设为大于1的自然数，（1，2，）为任意实数，则：，其中等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，）。证明：构造二次函数： 即构造了一个二次函数：由于对任意实数，恒成立，则其，即：，即：，等号当且仅当，即等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，）。如果（）全为0，结论显然成立。柯西不等式有两个很好的变式：变式1 设 ，等号成立当且仅当变式2 设ai，bi同号且不为0（i=1，2，n），则
7、：，等号成立当且仅当。（11）排序不等式排序不等式的一般情形一般地，设有两组实数：，与，且它们满足：，若，是，的任意一个排列，则和数在，与，同序时最大，反序时最小，即：，等号当且仅当或时成立。分析：用逐步调整法例1、已知为正数，求证：。例2、设，为正数，求证：。（12）数学归纳法数学归纳法:是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n1(或n)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在nk时命题成立，再证明nk1时命题也成立，这是递推的依据。实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。证明时，关键是k1步的推证，要有目标意识。例1、证明：。例2、设，证明贝努利不等式：。二、 方法提升：三、
8、 反思感悟： 四、 课时作业：1、利用不等式的图形解不等式： ; 2、解下列不等式：（1） （2） 13解不等式： （1） 4解不等式： （1） 5利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式有解，要满足什么条件？6.解关于x的不等式 解：原不等式等价于 当即时 当即时 x-6当即时 xR。7、若a, b, c, dR+，求证：证：记m = a, b, c, dR+ 1 m 2 时，求证：证：n 2 n 2时, 9、已知，求证：。10、设，求证：。11、在ABC中，ha , hb ,hc 为边长a,b,c上的高，求证：asinA+bsinB+csinCha + hb +hc 12、若a0,b0，则13、在ABC中，求证：14、设为正数，证明：。15、设数列a的前n项和为S，若对于所有的自然数n，都有S，证明a是等差数列。
