1、5 从力做的功到向量的数量积（一）教学设计教材依据：本教学设计依据北师大版高中数学必修四第二章第五节从力做的功到向量的数量积，课本第93至95页，结合课标相关理念。一、设计思路1、指导思想：本教学设计以新课程基本理念为指导，以培养全面发展的人为指向，体现立德树人，培养核心素养，发展素质教育。（1）设计理念：注重“四基”，基本知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验。提高“四能”，提高从数学的角度发现问题、提出问题、认识问题、解决问题的能力。引导“三会”，会用数学的眼光看待世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界。（2）高效合作课堂：充分发挥学生的主观能动性，培养合作探究意识，寻找
2、学生学习的最近发展区，搭建学生学习的脚手架，问题驱动，生成教学。（3）教材分析：向量是代数研究最重要的对象之一，它不仅可以线性运算，还可以进行数量积。向量既有大小又有方向，是连接代数和几何的桥梁。也是运算对象由数字母向量的又一次升级。（4）学情分析：学生已经学习了向量的线性运算和坐标表示，对向量有一定的认识，物理学科学习了功的概念，这是数量积运算的物理背景，这些都为向量数量积的学习埋下了伏笔，这些都是本节课知识的生长点。2、教学三维目标（1）知识与技能：理解平面向量数量积的含义及其物理、几何意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系； 掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用；能运用数量积
3、表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。（2） 过程与方法：利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义；通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.（3）情感、态度、价值观：通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学中功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，体验数学的工具性作用，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神。现代教学手段：实物展台、投影仪、教学屏幕等。3.教学重、难点教学的重点由教学内容决定，教学难点由教学对象，也就是学生决定。本节课是概念课，主要让学生体
4、会数量积的来龙去脉，为后续学习打好基础。基于此设计如下：重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义。难点: 数量积概念的理解，运算律的理解。难点突破：依靠学生的认知基础，物理中功的概念来理解突破。 4、学法与教法 (1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. （3）问题驱动法。二、教学准备1、物理上，功的概念的学习，探寻学生的最近发展区。2、课件的制作：用多媒体辅助教学，增强了课堂的直观性，理顺了上课的流程，加大了课堂容量，拓展了课堂深度，提高了课堂效率。3、三角板等作图工具：教师以身作则，规范作图，培养学生良好的作图等学习
5、习惯。三.教学过程 qsF1、情境导入，引入新课力做的功：W = |F|s|cosq q是F与s的夹角思考： 1）、请同学们回忆物理学中做功的含义；（2）、力和位移都对应数学上的向量，功能否看成两个向量之间的运算？ （3）、一般的向量a和b，如何定义这种运算？设计意图：基于旧知，引入新知，探求未知。2、重点讲解、引导思维（1）自主探究向量夹角的概念和范围：0q180q = 0q = 180qqqqOOOOOOAAAAAABBBBBBC C设计意图：学生体验夹角范围规定的科学性和必要性，体验主体地位。（2）投影思考与交流：射影的概念是如何定义的，举例（或画图）说明；并指出应注意哪些问题.AOOB
6、OB1OabqAOOBOB1OabqAOOBO(B1)Oabq 定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的射影。注意：射影也是一个数量，不是向量。当q为锐角时射影为正值；当q为钝角时射影为负值；当q为直角时射影为0；当q = 0时射影为 |b|；当q = 180时射影为 -|b|.（3）生成定义：平面向量数量积（内积）的定义：ab = |a|b|cosq，规定0与任何向量的数量积为0。 设计意图：学生能自然生成概念，发展学生数学抽象的核心素养。（4）思考与交流：向量数量积的物理、几何意义？由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质（学生讨论完成，教师作必要的补充）.物理意义：力对
7、物体做功就是力与其作用下发生位移的数量积。几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。运算性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。ea = ae =|a|cosq ab ab = 0当a与b同向时，ab = |a|b|；当a与b反向时，ab = -|a|b|。 特别的aa = |a|2或cosq =（|a|b|0） |ab|a|b|设计意图：学生自主推导相关性质，培养了学生积极探索精神和动手能力，发展学生的逻辑推理核心素养。 3、课堂实践、加深理解（1）课本95页例题讲解。（2）变式训练：95页练习题。设计意图：通过例题和练习题的讲解，帮助学生认识数量
8、积的意义，发展学生数学运算的核心素养。4、知识小结、升华提升（1）有关概念：向量的夹角、射影、向量的数量积；（2）向量数量积的几何意义和物理意义；(3)向量数量积的五条性质；感悟：数学和物理等学科知识的相关性，数学的工具性作用。5、课后巩固，知识内化 （1） 必做题 97页 A组 2、3题 选做题 97页 B组 1题 设计意图：新课程要求，人人获得必要的数学知识，不同的人在数学上有不同的发展。必做题面向全体同学要求全做，学有余力的同学完成选做题。 （2） 课后思考：向量的线性运算能用坐标表示，数量积能否用坐标表示？ 设计意图：为下一节内容数量积的坐标表示打好铺垫，诱发学生思考。 （3）励志感言
9、分享：做人要有方向，做事要有力量！ 人生不仅仅取决于努力的程度，更重要在于努力的方向！ 设计意图：通过向量学习引发出的感言，激发学生拼搏的励志精神。四、教学反思： 本教学设计经过实践，较好的达成了教学三维目标，发展了学生质疑、求索的素质，取得了比较满意的教学效果。由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别，学生理解的不够深刻。在今后的教学中，给学生渗透以下几个方面：1、两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定。2、两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。3、在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在
10、数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0。因为其中cosq有可能为0.这就得性质2.4、已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c.但是ab = bc a = c 如右图：ab = |a|b|cosb = |b|OA| bc = |b|c|cosa = |b|OA| ab=bc 但a c5、在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线. 6、本节教学整体还行，但还有很多提升的地方。对差生的关注还不够，如何进行学困生的转化还需努力。个别同学还不能完全投入到课堂，需要进一步想办法调动学习积极性。
