1、2021年东北两校（大庆实验中学、吉林一中）高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（共12小题）.1若集合Ax|3+2xx20，集合Bx|2x2，则AB等于（）A（1，3）B（，1）C（1，1）D（3，1）2若i（x+yi）3+4i，x，yR，则复数x+yi的模是（）A2B3C4D53中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传”其意思为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女作旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，使孝顺子女的美德外传，试求各人应分得多少斤”则第3个子女分得棉花（）A65斤B8
2、2斤C99斤D106斤4抛物线y2x2的准线方程是（）ABCD5函数yloga（x3）+2（a0且a1）的图象过定点P，且角的终边过点P，则sin+cos的值为（）ABCD6我们可以用随机模拟的方法估计的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生（0，1）内的任何一个实数）若输出的结果为781，则由此可估计的近似值为（）A3.119B3.124C3.132D3.1517设R，则“3”是“直线2x+（1）y10与直线6x+（1）y40平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8曲线f（x）x3+3x2在点（1，f（1）处的切线截
3、圆x2+（y+1）24所得弦长为（）A4B2C2D9已知f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于点（1，0）对称以下关于f（x）的结论：f（x）是周期函数；f（x）满足f（x）f（4x）；f（x）在（0，2）上单调递减；是满足条件的一个函数其中所有正确的结论是（）ABCD10将函数f（x）cos2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象则下列关于函数g（x）的结论正确的是（）A最大值为1，图象关于直线对称B为奇函数，在上单调递增C为偶函数，在上单调递增D周期为，图象关于点对称11已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的表面上，PA平面ABC，ABBC，且PA8，AC6，则球O的表面积为
4、（）A10B25C50D10012已知函数f（x），若函数F（x）f（x）kx在R上有3个零点，则实数k的取值范围为（）A（0，）B（0，）C（，）D（，）二、填空题：本题共4个小题，每题5分，共计20分.把答案填在答题卡相应位置13向量，若，则实数k的值为 14在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为 15设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使F1AF290，且|AF1|3|AF2|，则双曲线的离心率为 16已知ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且2，CD1，（ab）sinA（c+b）（sinCsin
5、B），则a+2b的最大值为 三、解答题：本大题共5小题，满分60分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17已知数列an是递增的等差数列，满足a2+a3+a415，a2是a1和a5的等比中项（1）求数列an的通项公式；（2）设，求数列bn的前n项和Sn18某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想，扶贫工作小组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位置等特点，决定向当地农户推行某类景观树苗种植工作小组根据市场前景重点考察了A，B两种景观树苗，为对比两种树苗的成活率，工作小组进行了引种试验，分别引种树苗A，B各50株，试验发现有80%的树苗成活，未成活的树苗A
6、，B株数之比为1：3（1）完成22列联表，并据此判断是否有99%的把握认为树苗A，B的成活率有差异？AB合计成活株数未成活株数合计5050100K2P（K2k0） 0.050.0100.0050.001k03.8416.6357.87910.828（2）已知树苗A经引种成活后再经过1年的生长即可作为景观树A在市场上出售，但每株售价y（单位：百元）受其树干的直径x（单位：cm）影响，扶贫工作小组对一批已出售的景观树A的相关数据进行统计，得到结果如表：直径x1015202530单株售价y48101627根据上述数据，判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？并用相关系数r加以说明（一般认为，|r|
7、0.75为高度线性相关）参考公式及数据：相关系数r，（xi）2250，（yi）232019已知等腰梯形ABCE（图1）中，ABEC，ABBCEC4，ABC120，D是EC中点，将ADE沿AD折起，构成四棱锥PABCD（图2）（）求证：ADPB（）当平面PAD平面ABCD时，求三棱锥CPAB的体积20在平面直角坐标系xOy中，点P是圆F1：（x+1）2+y216上的动点，定点F2（1，0），线段PF2的垂直平分线交PF1于Q，记Q点的轨迹为C（1）求轨迹C的方程；（2）若过点F2（1，0）的直线l与轨迹C交于两点A，B，在x轴上是否存在点M，使得为定值？若存在，求出点的M坐标；若不存在，请说明理
8、由21已知函数f（x）lnx+ax2+（2a+1）x（1）求函数f（x）极值；（2）证明：ex1+1请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分答题时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为222cos28（1）求曲线的C直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，且|AB|3，求实数a的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x1|+|2x+1|，记不等式f（x）4的解集为M（1）求M；（2）设
9、a，bM，证明：|ab|a|b|+10参考答案一、选择题：本题共12个小题，每题5分，共计60分1若集合Ax|3+2xx20，集合Bx|2x2，则AB等于（）A（1，3）B（，1）C（1，1）D（3，1）解：集合Ax|3+2xx20x|1x3，集合Bx|2x2x|x1，则ABx|1x1，故选：C2若i（x+yi）3+4i，x，yR，则复数x+yi的模是（）A2B3C4D5解：i（x+yi）xiy3+4i，x，yR，x4，y3，即x4，y3|x+yi|43i|5故选：D3中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝
10、和休惹外人传”其意思为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女作旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，使孝顺子女的美德外传，试求各人应分得多少斤”则第3个子女分得棉花（）A65斤B82斤C99斤D106斤解：设该等差数列为an，由题意可得：a1+a2+a7+a8996，d17；则8a1+17996，解得a165；所以a365+21799，即第3个子女分得棉花99斤故选：C4抛物线y2x2的准线方程是（）ABCD解：y2x2；x2y；2p又因为焦点在Y轴上，所以其准线方程为y故选：D5函数yloga（x3）+2（a0且a1）的图象过定点P，且角的终边过点P，则sin+cos的值为（）ABCD解：
11、由题意得 P（4，2），故sin，cos，所以sin+cos故选：D6我们可以用随机模拟的方法估计的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生（0，1）内的任何一个实数）若输出的结果为781，则由此可估计的近似值为（）A3.119B3.124C3.132D3.151解：x2+y21发生的概率为，当输出结果为781时，i1001，m781，x2+y21发生的概率为P，即3.124，故选：B7设R，则“3”是“直线2x+（1）y10与直线6x+（1）y40平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：当1时，两直线可化为2x+10
12、，6x40，两直线平行，当1时，两直线平行，3，综上，当1或3时，两直线平行当3是两直线平行的充分不必要条件故选：A8曲线f（x）x3+3x2在点（1，f（1）处的切线截圆x2+（y+1）24所得弦长为（）A4B2C2D解：曲线yx3+3x2，y3x2+6x，切线方程的斜率为：ky|x13+63，又因为曲线yx3+3x2过点（1，2）切线方程为：y23（x1），即3xy10，圆心到直线的距离d0，切线截圆x2+（y+1）24所得弦长为4故选：A9已知f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于点（1，0）对称以下关于f（x）的结论：f（x）是周期函数；f（x）满足f（x）f（4x）；f（x）在（0
13、，2）上单调递减；是满足条件的一个函数其中所有正确的结论是（）ABCD解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于点（1，0）对称对于，由于f（x）f（x），函数的图象关于（1，0）对称，故f（x+2）f（x），所以f（x+4）f（x+2）f（x），所以函数f（x）是周期函数，故正确；对于，函数f（x）为偶函数，则f（x）f（4x），由于函数为偶函数，故满足f（x）f（4x）故正确；由于函数关于y轴对称，且函数f（x）关于（1，0）对称，所以函数f（x）在（0，2）上不单调，故函数f（x）在（0，2）上单调递减错误，故错误；由于函数既关于y轴对称，又关于（1，0）对称，故正确故选：C10将
14、函数f（x）cos2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象则下列关于函数g（x）的结论正确的是（）A最大值为1，图象关于直线对称B为奇函数，在上单调递增C为偶函数，在上单调递增D周期为，图象关于点对称解：将函数f（x）cos2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）cos（2x）sin2x的图象，令x，求得g（x）0，故A不对；显然g（x）为奇函数，当x（0，），2x（0，），函数g（x）单调递增，故B正确，而C不正确；当x时，g（x）0，故D不正确，故选：B11已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的表面上，PA平面ABC，ABBC，且PA8，AC6，则球O的表面积为（）A10
15、B25C50D100解：三棱锥PABC的四个顶点都在球O的表面上，PA平面ABC，ABBC，且PA8，AC6，把三棱锥PABC补成一个长方体，如图所示：长方体的外接球即是三棱锥PABC的外接球，PA8，AC6，长方体的外接球的半径为：5，球O的表面积为：452100，故选：D12已知函数f（x），若函数F（x）f（x）kx在R上有3个零点，则实数k的取值范围为（）A（0，）B（0，）C（，）D（，）解：函数f（x），若函数F（x）f（x）kx在R上有3个零点，当x0时，令f（x）0，有两个实数解可得k即直线yk和g（x）有两个交点由g（x），令12lnx0，可得x，可得g（x）在（0，），函数
16、是增函数，在（，+）递减，即有g（x）在x取得最大值；直线yk和函数g（x）的图象有两个交点k（0，），函数F（x）f（x）kx在R上有3个零点，x0时yk和g（x）有一个交点，k（0，），显然成立实数k的取值范围为（0，）故选：B二、填空题：本题共4个小题，每题5分，共计20分.把答案填在答题卡相应位置13向量，若，则实数k的值为2解：根据题意，向量，则k+（k1，2k+1），若，则（1k）+（2k+1）k+20，解可得：k2，故答案为：214在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为解：由题意，E为线段A1C1的中点，连接AC与BD交于
17、O，连接B1O，可得可得接B1OED，异面直线DE与B1C所成角的平面角为B1OC设正方体的棱长为a，在B1OC中：则B1OOC，B1C由余弦定理：cosB1OCB1OC故答案为：15设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使F1AF290，且|AF1|3|AF2|，则双曲线的离心率为解：F1AF290，且|AF1|3|AF2|，答案：16已知ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且2，CD1，（ab）sinA（c+b）（sinCsinB），则a+2b的最大值为2解：因为（ab）sinA（c+b）（sinCsinB），由正弦定理得，（ab）a（c+b）（cb），整理
18、得，a2+b2c2ab，由余弦定理得，cosC，因为C为三角形内角，所以C60，因为2，所以，所以+，即1，所以a2+4b2+2ab9，所以（a+2b）2a2+4ab+4b29+2ab，当且仅当a2b时取等号，解得a+2b2，即最大值2故答案为：2三、解答题：本大题共5小题，满分60分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17已知数列an是递增的等差数列，满足a2+a3+a415，a2是a1和a5的等比中项（1）求数列an的通项公式；（2）设，求数列bn的前n项和Sn解：（1）设等差数列an的公差为d0，a2+a3+a415，a2是a1和a5的等比中项153a33（a1+2d），a1a5，即a
19、1（a1+4d），联立解得：a11，d2an1+2（n1）2n1（2），数列bn的前n项和Sn18某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想，扶贫工作小组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位置等特点，决定向当地农户推行某类景观树苗种植工作小组根据市场前景重点考察了A，B两种景观树苗，为对比两种树苗的成活率，工作小组进行了引种试验，分别引种树苗A，B各50株，试验发现有80%的树苗成活，未成活的树苗A，B株数之比为1：3（1）完成22列联表，并据此判断是否有99%的把握认为树苗A，B的成活率有差异？AB合计成活株数未成活株数合计5050100K2P（K2k
20、0） 0.050.0100.0050.001k03.8416.6357.87910.828（2）已知树苗A经引种成活后再经过1年的生长即可作为景观树A在市场上出售，但每株售价y（单位：百元）受其树干的直径x（单位：cm）影响，扶贫工作小组对一批已出售的景观树A的相关数据进行统计，得到结果如表：直径x1015202530单株售价y48101627根据上述数据，判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？并用相关系数r加以说明（一般认为，|r|0.75为高度线性相关）参考公式及数据：相关系数r，（xi）2250，（yi）2320解：（1）由题意填写列联表如下；AB合计成活株数453580未成活株数5
21、1520合计5050100由表中数据，计算K26.256.635，所以没有99%的把握认为二者有差异；（2）由题意计算（10+15+20+25+30）20，（4+8+10+16+27）13；所以相关系数为r0.950.75；所以可以用线性回归模型拟合19已知等腰梯形ABCE（图1）中，ABEC，ABBCEC4，ABC120，D是EC中点，将ADE沿AD折起，构成四棱锥PABCD（图2）（）求证：ADPB（）当平面PAD平面ABCD时，求三棱锥CPAB的体积【解答】（）证明：取AD中点K，连接PK、BK，BD，PAPD，K为AD中点，PKAD，又ADAB，DAB60，ADB为等边三角形，则ABB
22、D，则BKAD，又PKBKK，AD平面PBK，则ADPB；（）解：由平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PK平面PAD，PKAD，得PK平面ABCD，由已知ABBC4，ABC120，得，又PK，VCPABVPABC20在平面直角坐标系xOy中，点P是圆F1：（x+1）2+y216上的动点，定点F2（1，0），线段PF2的垂直平分线交PF1于Q，记Q点的轨迹为C（1）求轨迹C的方程；（2）若过点F2（1，0）的直线l与轨迹C交于两点A，B，在x轴上是否存在点M，使得为定值？若存在，求出点的M坐标；若不存在，请说明理由解：（1）如图所示，连结QF2，根据题意，|QP|QF2|，则|
23、QF1|+|QF2|QF1|+|QP|4|F1F2|2，点Q的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中2a4，2c2，a2，c1，b2a2c2413，故所求C的方程为+1（2）假设存在M（t，0），使得为定值，设直线AB的方程为xmy+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立得，整理得（3m2+4）y2+6my90，则y1+y2，y1y2，x1x2，x1+x2，F（1，0）在椭圆内，直线与椭圆一定相交，（x1t）（x2t）+y1y2x1x2t（x1+x2）+t2+y1y2为定值，4（3t212）3（4t28t5），t，存在M（，0），使得为定值21已知函数f（x）lnx+ax2+（2a+1）x
24、（1）求函数f（x）极值；（2）证明：ex1+1解：（1）f（x）的定义域为（0，+），f（x）+2ax+2a+1若a0，则当x（0，+）时，f（x）0，故f（x）在（0，+）上单调递增，无极值，若a0，则当x（0，）时，f（x）0，f（x）在（0，）上单调递增；当x（，+）时，f（x）0，在（，+）上单调递减，f（x）有极大值为，无极小值，综上，当a0时，f（x）无极值，当a0时，f（x）有极大值为ln（）1，无极小值（2）证明：令，则，由，故存在，使得h（x0）0，即 ，所以，当x（，x0）时，h（x）0；当x（x0，+）时，h（x）0故当xx0时，函数h（x）有极小值，且是唯一的极小值，
25、故函数，因为，所以，故，即请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分答题时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为222cos28（1）求曲线的C直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，且|AB|3，求实数a的值解：（1）因为222cos28，且2x2+y2，cos x，所以2（x2+y2）x28，故曲线C的直角坐标方程为1（2）将直线l的参数方程（t为参数），代入曲线C，整理得4t2+2at+3a
26、2240，由0，解得4a4设A，B所对应的参数分别为t1，t2，所以t1+t2，t1t2，所以|AB|t1t2|3，即3，解得a2或a2选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x1|+|2x+1|，记不等式f（x）4的解集为M（1）求M；（2）设a，bM，证明：|ab|a|b|+10解：（1）f（x）|2x1|+|2x+1|，可得x时，f（x）4即2x1+2x+14，解得x1；当x时，f（x）4即12x2x14，解得1x；当x时，f（x）4即12x+2x+14，解得x；则M（1，1）；（2）证明：要证|ab|a|b|+10，即证（|a|1）（|b|1）0，由a，bM，即1a1，1b1，可得|a|1，|b|1，即|a|10，|b|10，可得（|a|1）（|b|1）0，故|ab|a|b|+10成立
