1、 2015-2016 学年江苏省扬州中学高三（上）开学数学试卷（理科）一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应位置）1已知集合 A=x|x|2，B=x|0，则 AB=2已知命题 p：x（1，+），log2x0，则p 为 3若复数（其中 i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数 a=4记不等式 x2+x60 的解集为集合 A，函数 y=lg（xa）的定义域为集合 B若“xA”是“xB”的充分条件，则实数 a 的取值范围为 5袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为 6曲线 y=xcosx 在点（，）处的切线
2、方程为 7已知（+）n 的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则 n=8若函数 f（x）=是奇函数，则使 f（x）3 成立的 x 的取值范围为 9已知 为第二象限角，则 cos2=10若函数 f（x）=2|xa|（aR）满足 f（1+x）=f（1x），且 f（x）在m，+）上单调递增，则实数 m 的最小值等于 11已知知函数 f（x）=，xR，则不等式 f（x22x）f（3x4）的解集是 12已知函数 f（x）=若|f（x）|ax，则 a 的取值范围是 13已知 f（x）是定义在2，2上的奇函数，当 x（0，2时，f（x）=2x1，函数 g（x）=x22x+m如果对于x12，2，x22，2，使
3、得 g（x2）=f（x1），则实数 m 的取值范围是 14已知函数 y=f（x）是定义域为 R 的偶函数，当 x0 时，f（x）=，若关于 x 的方程f（x）2+af（x）+=0，aR 有且仅有 8 个不同实数根，则实数 a 的取值范围是 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15已知，求值：（1）tan；（2）16已知命题 p：关于实数 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负根；命题 q：关于实数 x 的方程 4x2+4（m2）x+1=0 无实根（1）命题“p 或 q”真，“p 且 q”假，求实数 m 的取值范围（2）若关于 x 的
4、不等式（xm）（xm+5）0（mR）的解集为 M；命题 q 为真命题时，m 的取值集合为 N当 MN=M 时，求实数 m 的取值范围 17设 f（x）=sinxcosxcos2（x+）（）求 f（x）的单调区间；（）在锐角 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f（）=0，a=1，求 ABC面积的最大值 18如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形 ABCD，上部是圆 AB，该圆弧所在的圆心为 O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗 EFGH（其中E，F 在圆弧 AB 上，G，H 在弦 AB 上）过 O 作 OPAB，交 AB 于 M，交 EF 于
5、 N，交圆弧 AB 于 P，已知 OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗 EFGH 的面积为 S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设POF=（rad），将 S 表示成 的函数；（ii）设 MN=x（m），将 S 表示成 x 的函数；（2）试问通风窗的高度 MN 为多少时？通风窗 EFGH 的面积 S 最大？19已知函数 f（x）=+（1）求函数 f（x）的定义域和值域；（2）设 F（x）=f2（x）2+f（x）（a 为实数），求 F（x）在 a0 时的最大值 g（a）；（3）对（2）中 g（a），若m2+2tm+g（a）对 a0 所有的实数 a 及 t1，1恒成立，求
6、实数 m 的取值范围 20设函数 f（x）=lnx，g（x）=（m0）（1）当 m=1 时，函数 y=f（x）与 y=g（x）在 x=1 处的切线互相垂直，求 n 的值；（2）若函数 y=f（x）g（x）在定义域内不单调，求 mn 的取值范围；（3）是否存在实数 a，使得 f（）f（eax）+f（）0 对任意正实数 x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数 a；若不存在，请说明理由 【选修 4-4：坐标系与参数方程】21在平面直角坐标 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为（t 为参数），曲线与直线l：y=x 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长 【选修 4-4：坐标系与参数方程】22在极坐
7、标系中，求圆=2cos 的圆心到直线的距离 23一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的 A，B，C，D，E 五种商品有购买意向已知该网民购买 A，B 两种商品的概率均为，购买 C，D 两种商品的概率均为，购买 E 种商品的概率为 假设该网民是否购买这五种商品相互独立（1）求该网民至少购买 4 种商品的概率；（2）用随机变量 表示该网民购买商品的种数，求 的概率分布和数学期望 24设 Pn=（1x）2n1，Qn=1（2n1）x+（n1）（2n1）x2，xR，nN*（1）当 n2 时，试指出 Pn 与 Qn 的大小关系；（2）当 n3 时，试比较 Pn 与 Qn 的大小，并证明
8、你的结论 2015-2016 学年江苏省扬州中学高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应位置）1已知集合 A=x|x|2，B=x|0，则 AB=x|1x2【考点】交集及其运算【专题】计算题【分析】利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合 A，B，再根据集合交集运算法则，即可求出答案【解答】解：集合 A=x|x|2=（2，2）B=x|0=（1，+）AB=（1，2）=x|1x2故答案为：x|1x2【点评】本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据绝对值不等式及分式不等式的解法，求出集合 A，B
9、，是解答本题的关键 2已知命题 p：x（1，+），log2x0，则p 为 x（1，+），log2x0【考点】命题的否定【专题】阅读型【分析】首先分析题目已知命题 p：x（1，+），log2x0，求p由否命题的定义：否命题是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定可直接得到答案【解答】解：已知命题 p：x（1，+），log2x0，因为否命题是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定则p 为x（1，+），log2x0即答案为x（1，+），log2x0【点评】此题主要考查否命题的概念问题，需要注意的是否命题与命题的否定形式的区别，前者是对条件结论都否定，后者只
10、对结论做否定 3若复数（其中 i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数 a=1【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出【解答】解：复数=ai+1，Z 的实部与虚部相等，a=1，解得 a=1故答案为：1【点评】本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，属于基础题 4记不等式 x2+x60 的解集为集合 A，函数 y=lg（xa）的定义域为集合 B若“xA”是“xB”的充分条件，则实数 a 的取值范围为（，3【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据条件求出 A，B，结合充分条件和必要条件的定义进行求解
11、即可【解答】解：由 x2+x60 得3x2，即 A（3，2），由 xa0，得 xa，即 B=（a，+），若“xA”是“xB”的充分条件，则 AB，即 a3，故答案为：（，3【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的关系的应用，比较基础 5袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为 【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】排列组合【分析】从中任取两个球共有红 1 红 2，红 1 白 1，红 1 白 2，红 2 白 1，红 2 白 2，白 1 白2，共 6 种取法，其中颜色相同只有 2 种，根据概率公式计算即可【解答】解：从中任取两个球共有红 1 红 2，红
12、1 白 1，红 1 白 2，红 2 白 1，红 2 白 2，白1 白 2，共 6 种取法，其中颜色相同只有 2 种，故从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率 P=；故答案为：【点评】本题考查了古典概型概率的问题，属于基础题 6曲线 y=xcosx 在点（，）处的切线方程为 2xy=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；导数的概念及应用；直线与圆【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求切线方程【解答】解：y=xcosx 的导数为 y=1+sinx，即有在点（，）处的切线斜率为 k=1+sin=2，则曲线在点（，）处的切线方程为 y=2（x），即为 2
13、xy=0故答案为：2xy=0【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，掌握导数的几何意义和运用点斜式方程是解题的关键 7已知（+）n 的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则 n=8【考点】二项式定理【专题】计算题；二项式定理【分析】展开式中前三项的系数分别为 1，成等差数列可得 n 的值【解答】解：展开式中前三项的系数分别为 1，由题意得 2=1+，n=8 或 1（舍）故答案为：8【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础 8若函数 f（x）=是奇函数，则使 f（x）3 成立的 x 的取值范围为（0，1）【考点】函数奇偶性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】根据 f（x）
14、为奇函数，便有 f（x）=f（x），从而可以求出 a=1，从而得到，容易判断该函数在（0，+）上单调递减，并可判断 x0 时，f（x）1，且 f（1）=3，从而可由 f（x）3 得到 f（x）f（1），从而便得到 0 x1，这便求出了使 f（x）3 成立的 x 的取值范围【解答】解：f（x）为奇函数；f（x）=f（x）；即；1a2x=a2x；a=1；x0 时，x 增大时，2x1 增大，从而 f（x）减小；f（x）在（0，+）上单调递减；由 f（x）3 得，f（x）f（1）；解得 0 x1；x0 时，2x10，f（x）1；不满足 f（x）3；综上所述，使 f（x）3 的 x 的取值范围为（0，1
15、）故答案为：（0，1）【点评】考查奇函数的定义，根据单调性定义判断函数单调性的方法，指数函数的单调性，以及根据减函数的定义解不等式的方法 9已知 为第二象限角，则 cos2=【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系【专题】计算题；压轴题；三角函数的求值【分析】由 为第二象限角，可知 sin0，cos0，从而可求得 sincos 的值，利用cos2=（sincos）（sin+cos）可求得 cos2【解答】解：，两边平方得：1+sin2=，sin2=，（sincos）2=1sin2=，为第二象限角，sin0，cos0，sincos=，cos2=（sincos）（sin+cos）=（）=故答
16、案为：【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得 sincos 的值是关键，属于中档题 10若函数 f（x）=2|xa|（aR）满足 f（1+x）=f（1x），且 f（x）在m，+）上单调递增，则实数 m 的最小值等于 1【考点】指数函数单调性的应用【专题】开放型；函数的性质及应用【分析】根据式子 f（1+x）=f（1x），对称 f（x）关于 x=1 对称，利用指数函数的性质得出：函数 f（x）=2|xa|（aR），x=a 为对称轴，在1，+）上单调递增，即可判断 m 的最小值【解答】解：f（1+x）=f（1x），f（x）关于 x=1 对称，函数 f（x）=2
17、|xa|（aR）x=a 为对称轴，a=1，f（x）在1，+）上单调递增，f（x）在m，+）上单调递增，m 的最小值为 1故答案为：1【点评】本题考查了指数型函数的单调性，对称性，根据函数式子对称函数的性质是本题解决的关键，难度不大，属于中档题 11已知知函数 f（x）=，xR，则不等式 f（x22x）f（3x4）的解集是（1，2）【考点】其他不等式的解法【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】讨论 x 的符号，去绝对值，作出函数的图象，由图象可得原不等式即为或，分别解出它们，再求并集即可【解答】解：当 x0 时，f（x）=1，当 x0 时，f（x）=1，作出 f（x）的图象，可得
18、f（x）在（，0）上递增，不等式 f（x22x）f（3x4）即为或，即有或，解得 x2 或 1x，即有 1x2则解集为（1，2）故答案为：（1，2）【点评】本题考查函数的单调性的运用：解不等式，主要考查二次不等式的解法，属于中档题和易错题 12已知函数 f（x）=若|f（x）|ax，则 a 的取值范围是 2，0【考点】绝对值不等式的解法；函数的图象【专题】不等式的解法及应用【分析】当 x0 时，根据 ln（x+1）0 恒成立，求得 a0当 x0 时，可得 x22xax，求得 a 的范围再把这两个 a 的取值范围取交集，可得答案【解答】解：当 x0 时，根据 ln（x+1）0 恒成立，则此时 a
19、0当 x0 时，根据x2+2x 的取值为（，0，|f（x）|=x22xax，x=0 时 左边=右边，a 取任意值x0 时，有 ax2，即 a2综上可得，a 的取值为2，0，故答案为2，0【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题 13已知 f（x）是定义在2，2上的奇函数，当 x（0，2时，f（x）=2x1，函数 g（x）=x22x+m如果对于x12，2，x22，2，使得 g（x2）=f（x1），则实数 m 的取值范围是 5，2【考点】指数函数综合题；特称命题【专题】函数的性质及应用【分析】求出函数 f（x）的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得
20、到结论【解答】解：f（x）是定义在2，2上的奇函数，f（0）=0，当 x（0，2时，f（x）=2x1（0，3，则当 x2，2时，f（x）3，3，若对于x12，2，x22，2，使得 g（x2）=f（x1），则等价为 g（x）max3 且 g（x）min3，g（x）=x22x+m=（x1）2+m1，x2，2，g（x）max=g（2）=8+m，g（x）min=g（1）=m1，则满足 8+m3 且 m13，解得 m5 且 m2，故5m2，故答案为：5，2【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强 14已知函数 y=f（x）是定义域为 R 的偶函数，当 x0 时，f（x）=
21、，若关于 x 的方程f（x）2+af（x）+=0，aR 有且仅有 8 个不同实数根，则实数 a 的取值范围是（，）【考点】函数的零点与方程根的关系；函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】求出 f（x）的单调性，以及极值和值域，可得要使关于 x 的方程f（x）2+af（x）+=0，aR，有且仅有 8 个不同实数根，转化为 t2+at+=0 的两根均在（1，），由二次方程实根的分布，列出不等式组，解得即可【解答】解：当 0 x2 时，y=x2 递减，当 x2 时，y=（）x 递增，由于函数 y=f（x）是定义域为 R 的偶函数，则 f（x）在
22、（，2）和（0，2）上递减，在（2，0）和（2，+）上递增，当 x=0 时，函数取得极大值 0；当 x=2 时，取得极小值1当 0 x2 时，y=x21，0当 x2 时，y=（）x 1，）要使关于 x 的方程f（x）2+af（x）+=0，aR，有且仅有 8 个不同实数根，设 t=f（x），则 t2+at+=0 的两根均在（1，）则有，即为，解得 a即有实数 a 的取值范围是（，）故答案为：（，）【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，主要考查方程与函数的零点的关系，掌握二次方程实根的分别是解题的关键，属于中档题 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程
23、或演算步骤）15已知，求值：（1）tan；（2）【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦【专题】计算题【分析】（1）由题意，可由正切的和角公式展开得，由此方程解出 tan；（2）由正弦与余弦的二倍角公式将这形为，再由同角三角关系，将其变为将正切值代入即可求出代数式的值【解答】解：（1）由题意，可得，解得 tan=（2）=由（1）tan=，=【点评】本题考查了两角的和的正切公式，正弦、余弦的二倍角公式，同角三角函数的基本关系，解题的关键是牢固记忆公式，能根据这些公式灵活变形，求出代数式的值，三角函数由于公式多，可选择的方法多，故解题时要注意选取最合适的方法解题 16已
24、知命题 p：关于实数 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负根；命题 q：关于实数 x 的方程 4x2+4（m2）x+1=0 无实根（1）命题“p 或 q”真，“p 且 q”假，求实数 m 的取值范围（2）若关于 x 的不等式（xm）（xm+5）0（mR）的解集为 M；命题 q 为真命题时，m 的取值集合为 N当 MN=M 时，求实数 m 的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】（1）分别求出命题 p，q 为真时的 m 的范围，通过讨论 p，q 的真假得到关于 m 的不等式组，解出即可；（2）先求出关于 M、N 的 x 的范围，根据 NM，得到不等式组，解出即可【解答】
25、解：（1）若方程 x2+mx+1=0 有两不等的负根，则，解得：m2，即命题 p：m2，若方程 4x2+4（m2）x+1=0 无实根，则=16（m2）216=16（m24m+3）0解得：1m3即命题 q：1m3由题意知，命题 p、q 应一真一假，即命题 p 为真，命题 q 为假或命题 p 为假，命题 q 为真或，解得：m3 或 1m2（2）MN=M，NM，M=（m5，m），N=（1，3），解得：3m6【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，集合的关系，是一道中档题 17设 f（x）=sinxcosxcos2（x+）（）求 f（x）的单调区间；（）在锐角 ABC 中，角 A，B，C
26、 的对边分别为 a，b，c，若 f（）=0，a=1，求 ABC面积的最大值【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；余弦定理【专题】三角函数的图像与性质；解三角形【分析】（）由三角函数恒等变换化简解析式可得 f（x）=sin2x，由2k2x2k，kZ 可解得 f（x）的单调递增区间，由 2k2x2k，kZ 可解得单调递减区间（）由 f（）=sinA=0，可得 sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当 b=c时等号成立，从而可求 bcsinA，从而得解【解答】解：（）由题意可知，f（x）=sin2x=sin2x=sin2x由 2k2x2k，kZ 可解得：kxk，kZ；由 2k2x2k
27、，kZ 可解得：kxk，kZ；所以 f（x）的单调递增区间是k，k，（kZ）；单调递减区间是：k，k，（kZ）；（）由 f（）=sinA=0，可得 sinA=，由题意知 A 为锐角，所以 cosA=，由余弦定理 a2=b2+c22bccosA，可得：1+bc=b2+c22bc，即 bc，且当 b=c 时等号成立因此 S=bcsinA，所以 ABC 面积的最大值为【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查 18如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形 ABCD，上部是圆 AB，该圆弧所在的圆心为 O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个
28、矩形的通风窗 EFGH（其中E，F 在圆弧 AB 上，G，H 在弦 AB 上）过 O 作 OPAB，交 AB 于 M，交 EF 于 N，交圆弧 AB 于 P，已知 OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗 EFGH 的面积为 S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设POF=（rad），将 S 表示成 的函数；（ii）设 MN=x（m），将 S 表示成 x 的函数；（2）试问通风窗的高度 MN 为多少时？通风窗 EFGH 的面积 S 最大？【考点】函数模型的选择与应用【专题】计算题；应用题；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.
29、5，OM=3.5（i）在 Rt ONF 中与矩形 EFGH 中表示出边长，从而由 S=EFFG 写出面积公式 S=10sin（20cos7），注意角 的取值范围；（ii）在 Rt ONF 中与矩形 EFGH 中利用勾股定理等表示出边长，从而写出S=EFFG=x，注意 x 的取值范围；（2）方法一：选择（i）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点，再代入求 NM 的长度即可；方法二：选择（ii）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点即可【解答】解：（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，故 OM=3.5（i）在 Rt ONF 中
30、，NF=OFsin=10sin，ON=OFcos=10cos在矩形 EFGH 中，EF=2MF=20sin，FG=ONOM=10cos3.5，故 S=EFFG=20sin（10cos3.5）=10sin（20cos7）即所求函数关系是 S=10sin（20cos7），00，其中 cos0=（ii）因为 MN=x，OM=3.5，所以 ON=x+3.5在 Rt ONF 中，NF=在矩形 EFGH 中，EF=2NF=，FG=MN=x，故 S=EFFG=x即所求函数关系是 S=x，（0 x6.5）（2）方法一：选择（i）中的函数模型：令 f（）=sin（20cos7），则 f（）=cos（20cos7
31、）+sin（20sin）=40cos27cos20由 f（）=40cos27cos20=0，解得 cos=，或 cos=因为 00，所以 coscos0，所以 cos=设 cos=，且 为锐角，则当（0，）时，f（）0，f（）是增函数；当（，0）时，f（）0，f（）是减函数，所以当=，即 cos=时，f（）取到最大值，此时 S 有最大值即 MN=10cos3.5=4.5m 时，通风窗的面积最大方法二：选择（ii）中的函数模型：因为 S=，令 f（x）=x2（35128x4x2），则 f（x）=2x（2x9）（4x+39），因为当 0 x 时，f（x）0，f（x）单调递增，当 x时，f（x）0，
32、f（x）单调递减，所以当 x=时，f（x）取到最大值，此时 S 有最大值即 MN=x=4.5m 时，通风窗的面积最大【点评】本题考查了导数在实际问题中的应用及三角函数的应用，属于中档题 19已知函数 f（x）=+（1）求函数 f（x）的定义域和值域；（2）设 F（x）=f2（x）2+f（x）（a 为实数），求 F（x）在 a0 时的最大值 g（a）；（3）对（2）中 g（a），若m2+2tm+g（a）对 a0 所有的实数 a 及 t1，1恒成立，求实数 m 的取值范围【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域【专题】函数的性质及应用【分析】（1）由 1+x0 且 1x0 可求得定
33、义域，先求f（x）2 的值域，再求 f（x）的值域；（2）F（x）=a+，令 t=f（x）=+，则=1，由此可转化为关于 t 的二次函数，按照对称轴 t=与 t 的范围，2的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；（3）先由（2）求出函数 g（x）的最小值，g（a）对 a0 恒成立，即要使gmin（a）恒成立，从而转化为关于 t 的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可【解答】解：（1）由 1+x0 且 1x0，得1x1，所以函数的定义域为1，1，又f（x）2=2+22，4，由 f（x）0，得 f（x），2，所以函数值域为，2；（2）因为 F（x）=a+，令 t=
34、f（x）=+，则=1，F（x）=m（t）=a（1）+t=，t，2，由题意知 g（a）即为函数 m（t）=，t，2的最大值注意到直线 t=是抛物线 m（t）=的对称轴因为 a0 时，函数 y=m（t），t，2的图象是开口向下的抛物线的一段，若 t=（0，即 a，则 g（a）=m（）=；若 t=（，2，即a，则 g（a）=m（）=a；若 t=（2，+），即 a0，则 g（a）=m（2）=a+2，综上有 g（a）=，（3）易得，由g（a）对 a0 恒成立，即要使gmin（a）=恒成立，m22tm0，令 h（t）=2mt+m2，对所有的 t1，1，h（t）0 成立，只需，解得 m 的取值范围是 m2
35、或 m=0，或 m2【点评】本题考查函数恒成立问题，考查函数定义域、值域的求法，考查学生对问题的转化能力，恒成立问题往往转化为函数最值问题解决 20设函数 f（x）=lnx，g（x）=（m0）（1）当 m=1 时，函数 y=f（x）与 y=g（x）在 x=1 处的切线互相垂直，求 n 的值；（2）若函数 y=f（x）g（x）在定义域内不单调，求 mn 的取值范围；（3）是否存在实数 a，使得 f（）f（eax）+f（）0 对任意正实数 x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数 a；若不存在，请说明理由【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的概念及应用
36、；导数的综合应用；不等式的解法及应用【分析】（1）分别求出 f（x）、g（x）的导数，求得在 x=1 处切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程即可得到 n；（2）求出 y=f（x）g（x）的导数，可得，得的最小值为负，运用基本不等式即可求得 mn 的范围；（3）假设存在实数 a，运用构造函数，求出导数，求得单调区间和最值，结合不等式恒成立思想即有三种解法【解答】解：（1）当 m=1 时，y=g（x）在 x=1 处的切线斜率，由，y=f（x）在 x=1 处的切线斜率 k=1，n=5（2）易知函数 y=f（x）g（x）的定义域为（0，+），又，由题意，得的最小值为负，m（1n）4，m+（1n）4
37、或 m+1n4，mn3 或 mn5；（3）解法一、假设存在实数 a，使得 f（）f（eax）+f（）0 对任意正实数 x 恒成立令（x）=，其中 x0，a0，则（x）=，设，（x）在（0，+）单调递减，（x）=0 在区间（0，+）必存在实根，不妨设（x0）=0，即，可得（*）（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，+）上单调递减，所以（x）max=（x0），（x0）=（ax01）ln2a（ax01）lnx0，代入（*）式得，根据题意恒成立又根据基本不等式，当且仅当时，等式成立即有，即 ax0=1，即代入（*）式得，即，解得解法二、假设存在实数 a，使得 f（）f（eax）+f（）0 对任
38、意正实数 x 恒成立令（x）=axln2aaxlnx+lnxln2a=（ax1）（ln2alnx），其中 x0，a0根据条件对任意正数 x 恒成立，即（ax1）（ln2alnx）0 对任意正数 x 恒成立，且，解得且，即时上述条件成立，此时解法三、假设存在实数 a，使得 f（）f（eax）+f（）0 对任意正实数 x 恒成立令（x）=axln2aaxlnx+lnxln2a=（ax1）（ln2alnx），其中 x0，a0要使得（ax1）（ln2alnx）0 对任意正数 x 恒成立，等价于（ax1）（2ax）0 对任意正数 x 恒成立，即对任意正数 x 恒成立，设函数，则（x）的函数图象为开口向上
39、，与 x 正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与 x 轴有一个交点，即，所以【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，主要考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立思想的运用，考查运算能力，具有一定的综合性【选修 4-4：坐标系与参数方程】21在平面直角坐标 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为（t 为参数），曲线与直线l：y=x 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长【考点】参数方程化成普通方程【专题】坐标系和参数方程【分析】将曲线 C 的参数方程化为普通方程为：x=8y2（亦可直接用参数方程解 A，B 点），与直线 l 构造方程组，解得求出点的坐
40、标，根据点到点的距离公式即可求出答案【解答】解：，x=（4y）2，即 x=8y2，方程组，解得或，所以，故 AB=【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题【选修 4-4：坐标系与参数方程】22在极坐标系中，求圆=2cos 的圆心到直线的距离【考点】圆的参数方程；直线的参数方程【专题】坐标系和参数方程【分析】将圆=2cos 化为 2=2cos，利用化为直角坐标方程，可得圆心（1，0），把展开即可直角坐标方程，利用点到直线的距离公式即得出圆心到直线的距离【解答】解：将圆=2cos 化为 2=2cos，普通方程为 x2+y22x=0，圆心为（1，0
41、），又，即，直线的普通方程为，故所求的圆心到直线的距离【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题 23一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的 A，B，C，D，E 五种商品有购买意向已知该网民购买 A，B 两种商品的概率均为，购买 C，D 两种商品的概率均为，购买 E 种商品的概率为 假设该网民是否购买这五种商品相互独立（1）求该网民至少购买 4 种商品的概率；（2）用随机变量 表示该网民购买商品的种数，求 的概率分布和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变
42、量及其分布列【专题】概率与统计【分析】（1）记“该网民购买 i 种商品”为事件 Ai，i=4，5，由互斥事件概率加法公式能求出该网民至少购买 4 种商品的概率（2）随机变量 的可能取值为 0，1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出 的概率分布和数学期望【解答】解：（1）记“该网民购买 i 种商品”为事件 Ai，i=4，5，则：，所以该网民至少购买 4 种商品的概率为答：该网民至少购买 4 种商品的概率为（2）随机变量 的可能取值为 0，1，2，3，4，5，=，=，所以：随机变量 的概率分布为：012345P故【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解
43、题时要认真审题，注意排列组合的合理运用，是中档题 24设 Pn=（1x）2n1，Qn=1（2n1）x+（n1）（2n1）x2，xR，nN*（1）当 n2 时，试指出 Pn 与 Qn 的大小关系；（2）当 n3 时，试比较 Pn 与 Qn 的大小，并证明你的结论【考点】不等式比较大小【专题】计算题；证明题【分析】（1）分 n=1 和 n=2 两种情况进行解答；（2）分类讨论：x=0，x0 和 x0 三种情况利用复合函数的单调性进行解答即可【解答】解：（1）当 n=1 时，Pn=1x，Qn=1x，则 Pn=Qn；当 n=2，x=0 时，Pn=1，Qn=1，则 Pn=Qn；当 n=2，x0 时，Pn
44、=（1x）3=13x+3x2x3，Qn=13x+3x2，则 PnQn=x30，所以 PnQn；当 n=2，x0 时，PnQn=x30，所以 PnQn；（2）当 n3 时，当 x=0 时，Pn=Qn；当 x0 时，令 F（x）=1（2n1）x+（n1）（2n1）x2，则 F（x）=（2n1）（1x）2n2+（2n1）2（n1）（2n1）x，F（x）=（2n1）（2n2）（1x）2n32（n1）（2n1）=（2n1）（2n2）（1x）2n31当 x0 时，F（x）0F（x）单调递减；当 x0 时，F（x）0F（x）单调递增；F（x）F（0）=0，F（x）单调递减；当 x0 时，F（x）F（0）=0，当 x0 时，F（x）F（0）=0，当 x0 时，PnQn当 x0 时，PnQn【点评】本题考查了不等式比较大小总结：不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法其中比较法（作差、作商）是最基本的方法
