1、解析:(1)令m=(x,y),n=(1,1).|mn|m|n|,|x+y|,即2(x2+y2)(x+y)2=16.x2+y28,故x2+y2的最小值是8.(2)令m=(x+2,y),n=(2,-1),2x-y=t.由|mn|m|n|,得|2(x+2)-y|解得.故所求的最大值是-4.答案:(1)8 (2)-4例2 已知a,bR,(0,),试比较与(a+b)2的大小.解:构造向量m=(),n=(cos,sin),由|mn|m|n|得()2()(cos2+sin2),(a+b)2.同类变式:已知a,bR,m,nR,且mn0,m2n2a2m2+b2n2,令M=,比较M、N的大小.解:构造向量p=()
2、,q=(n,m),由|pq|p|q|得()2()(m2+n2)=(m2+n2)N.例3 设a,bR,A=(x,y)|x=n,y=na+b,nZ,B=(x,y)|x=m,y=3m2+15,mZ, C=(x,y)|x2+y2144是直角坐标平面xOy内的点集,讨论是否存在a和b,使得AB=与(a,b)C能同时成立.解:此问题等价于探求a、b是否存在的问题,它满足设存在a和b满足两式,构造向量m=(a,b),n=(n,1).由|mn|2|m|2|n|2得(na+b)2(n2+1)(a2+b2),(3n2+15)2144(n2+1)n4-6n2+90.解得n=,这与nZ矛盾,故不存在a和b满足条件.二
3、、备用习题1.若a=(2,-3),b=(x,2x),且ab=,则x等于（ ）A.3 B. C. D.-32.设a=(1,2),b=(1,m),若a与b的夹角为钝角,则m的取值范围是（ ） A.m B.m D.m3.若a=(cos,sin),b=(cos,sin),则（ ）A.ab B.ab C.(a+b)(a-b) D.(a+b)(a-b)4.与a=(u,v)垂直的单位向量是（ ）A.()B.()C.()D.()或()5.已知向量a=(cos23,cos67),b=(cos68,cos22),u=a+tb(tR),求u的模的最小值.6.已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4
4、b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.7.已知ABC的三个顶点为A(1,1),B(3,1),C(4,5),求ABC的面积.参考答案:1.C 2.D 3.C 4.D5.|a|=1,同理有|b|=1.又ab=cos23cos68+cos67cos22=cos23cos68+sin23sin68=cos45= |u|2=(a+tb)2=a2+2tab+t2b2=t2+t+1=(t+)2+.当t=时,|u|min=.6.由已知(a+3b)(7a-5b)(a+3b）(7a-5b)=07a2+16ab-15b2=0. 又(a-4b)(7a-2b)(a-4b)(7a-2b)=07a2-30ab+8b2=0. -得46ab=23b2,即ab= 将代入,可得7|a|2+8|b|2-15|b|2=0,即|a|2=|b|2,有|a|=|b|,若记a与b的夹角为,则cos=.又0,180,=60,即a与b的夹角为60.7.分析:SABC=|sinBAC,而|,|易求,要求sinBAC可先求出cosBAC.解:=(2,1),=(3,4),|=2,|=5,cosBAC=.sinBAC=.SABC=|sinBAC=25=4.
