1、平面向量数量积的五种最强思路求解平面向量的数量积是高考中常见题型，而且解决问题也会有多种思路，往往一道题可以用多种解法，而多种解法的源头离不开这五种思路。一， 定义二， 投影三， 坐标四， 转化基底五， 极化恒等式下面可以先以一道简单高考真题，讲解这五种思路。例（2012北京高考）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值是_；的最大值_.【答案】 1,1 思路一；定义(1)(2) 过E作DC垂线，垂足为H，所以=DE*DC*COS(EDH)=DE*DC*DH/DE=DC*DH，所以当H点与C点重合是取最大值，为1.思路二；投影，根据平面向量的点乘公式,由图可知，, 因此=;,
2、而就是向量在边上的射影，要想让最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为，所以长度为1.思路三；坐标,如图建立平面直角坐标系，D(O)(1) 写出个点坐标D(0,0),E(x,1),C(1,0),B(1,1),所以=1，(2) =x,E点横坐标最大值为1，所以最大值为1.思路四；转化基底；即要求数量积的向量，都用表示。此处略。思路五：极化恒等式；=DF-AF=AD=1一转化基底思路1.（2012江苏高考真题）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是_【答案】【详解】试题分析：2（2016天津高考真题（理）是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（）
3、ABCD【答案】B【详解】试题分析：设，.【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来二建系思路；1（2022北京高考真题）在中，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性
4、质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，所以，所以，其中，因为，所以，即；故选：D2（2017全国高考真题（理）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是ABCD【答案】B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，设，则，则当，时，取得最小值，故选：3（2020天津高考真题）如图，在四边形中，且，则实数的值为_，若是线段上的动点，且，则的最小值为_【答案】 【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在
5、直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.【详解】，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,，的坐标为,又,则，设，则（其中），所以，当时，取得最小值.故答案为：；.三投影思路4（2020海南高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（）ABCD【答案】A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A.四， 极化恒等式。还是此题为例（2017全国高考真题（理）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是ABCD
