1、5从力做的功到向量的数量积知识点一向量的夹角 填一填1(1)定义：已知两个非零向量a，b，作a，b，则AOB(0180)叫作向量a和向量b的夹角(2)范围：0，180(3)规定：零向量与任意向量垂直 .答一答1若两个向量的始点不相同，如何作出两向量的夹角？提示：通过平移使其共始点，再作出两向量的夹角知识点二向量的数量积及性质 填一填2向量的数量积(或内积)(1)定义：|a|b|cos叫作向量a和b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos.(2)几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cos的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cos的乘积(3)物理意义
2、：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积Fs.3向量数量积的性质(1)aa|a|2；(2)若e1，e2是单位向量，则e1e2|e1|e2|coscos；(3)若e是单位向量，则ea|e|a|cos|a|cos；(4)abab0；(5)|a|；(6)cos(|a|b|0)；(7)对任意两个向量a，b，有|ab|a|b|，当且仅当ab时等号成立答一答2根据aa|a|2，可求解向量的模，你能证明该式是正确的吗？提示：aa|a|a|cos 0|a|2cos 0|a|2.知识点三向量数量积的运算律 填一填4向量数量积的运算满足以下运算律给定向量a，b，c和实数，有(1)交换律：abba.(
3、2)分配律：a(bc)abac.(3)数乘以向量的数量积，可以与一个向量交换结合，即对任意实数，有(a)b(ab)a(b)答一答3对于向量a，b，c，等于(ab)ca(bc)一定成立吗？提示：不一定成立因为若(ab)c0，其方向与c相同或相反，而a(bc)0时，其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同，故该等式不一定成立1对数量积概念的理解(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定(2)两向量a，b的数量积也称作内积，写成ab，其应与代数中的a，b的乘积ab区分开来，其中“”是一种运算符号，不同于实数的乘法符号在向量运算中既不能省略，也不能用“”代替2对数量积性
4、质的理解(1)性质(1)(2)(3)可以帮助理解数量积的定义(2)性质(4)可以解决有关垂直的问题(3)性质(5)可以求向量的长度(4)性质(6)可以求两向量的夹角(5)性质(7)可以解决有关不等式的问题，当且仅当ab时，等号成立3对向量数量积运算律的理解(1)数量积的运算只适合交换律、与数乘的结合律以及分配律学习中应注意其与实数运算的区别，不可混用(2)已知实数a，b，c(b0)，则abbcac.但是abbc推不出ac.理由如下：如图，ab|a|b|cos|b|OA|，bc|b|c|cos |b|OA|，所以abbc，但是ac.类型一向量数量积的定义 【例1】已知两个单位向量e1与e2的夹角
5、为60，求：(1)e1e2；(2)(2e1e2)(3e12e2)；(3)(e1e2)2.【思路探究】对于(1)，可直接利用公式计算，而(2)(3)要先化简再计算【解】(1)e1e2|e1|e2|cos60.(2)由(1)可知e1e2.|e1|e2|1，(2e1e2)(3e12e2)6e3e2e14e1e22e6|e1|2342|e2|262.(3)(e1e2)2(e1e2)(e1e2)ee1e2e2e1ee2e1e2e1113.规律方法 因为向量的数量积满足乘法对加法的分配律，所以向量的数量积运算类似于多项式的乘法运算如(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)ba22abb2，(ab)2a
6、22abb2，(ab)(ab)a2b2.已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为120，求：(1)ab；(2)a2b2；(3)(2ab)(a3b)解：(1)ab|a|b|cos120233.(2)a2b2|a|2|b|2495.(3)(2ab)(a3b)2a25ab3b22|a|25|a|b|cos1203|b|28152734.类型二数量积的几何意义 【例2】设非零向量a和b，它们的夹角为.(1)若|a|5，|b|4，150，求a在b方向上的射影和a与b的数量积；(2)若ab9，|a|6，|b|3，求b在a方向上的射影和夹角.【思路探究】利用数量积公式及其变形公式求解【解】(1)a在b方向上的
7、射影为|a|cos5cos150.ab|a|b|cos54cos15010.(2)b在a方向上的射影为|b|cos.cos，60.规律方法 向量b在a方向上的射影只与向量b的模及向量a和b的夹角有关，而与向量a的模没有关系已知向量a，向量b，a，b30，且|a|8，|b|6. (1)求a在b方向上的射影；(2)求b在a方向上的射影解：(1)a在b方向上的射影为|a|cos|a|cos304.(2)b在a方向上的射影为|b|cos|b|cos303.类型三向量的夹角 【例3】已知a，b是非零向量，同时满足|a|b|ab|，求a与ab的夹角【思路探究】依据条件，可以利用向量的数量积定义求解，也可以
8、利用向量加法运算的几何意义求解【解】解法一：根据|a|b|，有|a|2|b|2.又由|b|ab|，得|b|2|a|22ab|b|2，ab|a|2.而|ab|，|ab|a|.设a与ab的夹角为，则cos.30.解法二：根据向量加法的几何意义，作图(如图)在平面内任取一点O，作a，b，以、为邻边作平行四边形OACB.|a|b|，即|，平行四边形OACB为菱形，OC平分AOB.这时ab，ab.而|a|b|ab|，即|.AOB为正三角形，则AOB60.于是AOC30，即a与ab的夹角为30.规律方法 求向量夹角问题要利用数量积的变形公式cos，一般要求两个整体ab，|a|b|，不方便求出的，可寻求两者
9、关系，转化条件解方程组，利用向量的几何意义简捷直观若向量ab满足|a|，|b|1，a(ab)1，则向量a，b的夹角的大小为135.解析：设夹角为，a(ab)1，|a|2ab1，即21cos1，cos，a，b的夹角为135.类型四向量的模 【例4】已知|a|b|5，向量a与b的夹角为，求|ab|、|ab|.【思路探究】利用|ab|求解【解】解法一：由数量积公式|a|求解因为a2|a|225，b2|b|225，ab|a|b|cos55cos，所以|ab|5.同样可求|ab|5.解法二：由向量线性运算的几何意义求作菱形ABCD，使ABAD5，DAB，设a，b，如图所示，则|ab|5，|ab|2|25
10、5.规律方法 (1)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：a2aa|a|2或|a|，|ab|.由关系式a2|a|2，可使向量的长度与向量的数量积互相转化因此欲求|ab|，可求(ab)(ab)，将此式展开由已知|a|b|5，即aabb25，ab也可求得为，将上面各式的值代入，即可求得被求式的值(2)利用向量线性运算的几何意义就转化到求平面几何中长度的计算上来了已知|a|13，|b|19，|ab|24，求|ab|.解：由|ab|2(ab)2，可得a22abb2576，所以1692ab361576，所以2ab46.所以|ab|2a22abb216946361484，所以
11、|ab|22.类型五垂直条件的应用 【例5】已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b与ab垂直，则实数的值为()A B.C D1【思路探究】【解析】3a2b与ab垂直，(3a2b)(ab)0，即3|a|2(23)ab2|b|20.ab，|a|2，|b|3，ab0，|a|24，|b|29，12180，即.【答案】B规律方法 根据向量垂直的条件即数量积等于0可建立参数的方程，从而可求得参数的值或找到参数之间的函数关系已知|a|2，|b|1，向量a，b的夹角为60，ca5b，dma2b.当m为何值时，c与d垂直？解：由题意，得ab21cos601.若cd，则cd0，cd(a5b)(ma2b)ma2(
12、5m2)ab10b24m5m2109m120，m.故当m时，c与d垂直易错警示对数量积转化不等价致误【例6】设两个向量e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1与e2的夹角为，若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，则实数t的范围为_【错解】(7，)【正解】由向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，得(2te17e2)(e1te2)0，即2te2t2e1e27e1e27te0，因为|e1|2，|e2|1，且e1与e2的夹角为，化简即得：2t215t70，解得7t.当夹角为时，2te17e2(e1te2)，0，可求得所以所以所求实数t的范围是(7，)(，)【错解分析】不理解数量积的符号
13、同向量夹角的关系，不等式“(2te17e2)(e1te2)0a，b为锐角或零角，ab0a，b为钝角或平角例如，本例利用2te17e2与e1te2的夹角为钝角，得等价关系式2注意思考问题的全面性由向量的夹角求参数的范围时，务必注意思考问题的全面性，如本例应排除向量2te17e2与e1te2共线且反向的特殊情形，即求出7t后，应注意排除夹角为平角的情形已知|a|，|b|3，a与b的夹角为45，则当ab与ab的夹角为钝角时，的取值范围为且1.解析：由题意知(ab)(ab)0，a2ab2abb20，2|a|b|cos 452|a|b|cos 4590，即113320.解得.又cos1801，1.且1.
14、一、选择题1若|m|4，|n|6，m与n的夹角为150，则mn(C)A12 B12C12 D12解析：mn|m|n|cos15046cos15012.2已知|a|4，|b|3，ab6，则a与b的夹角为(B)A150 B120C60 D30解析：设a与b的夹角为，则cos，120.3已知两个非零向量a，b满足|ab|ab|，则下面结论正确的是(B)Aab BabC|a|b| Dabab解析：|ab|2|a|22ab|b|2，|ab|2|a|22ab|b|2，因为|ab|ab|，所以|a|22ab|b|2|a|22ab|b|2，即2ab2ab，所以ab0，ab.故选B.二、填空题4若|a|1，|b|2，a与b的夹角为60，则|a3b|.解析：|a3b|2a22a3b9b21612cos609443，|a3b|.5在ABC中，AB2，AC3，D是BC的中点，则.解析：由已知得()，()()(|2|2)(94).三、解答题6已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120.(1)求ab；(2)求a在b上的射影解：(1)ab|a|b|cos54cos12010；(2)a在b上的射影为|a|cos.
