1、12 集合间的基本关系 子集的性质【典例】根据子集的性质求解下列问题：(1)已知 Ax3x5，Bx|xa，若满足 AB，则实数 a 的取值范围是_(2)已知集合 Axx2x60，集合 Byay10，若满足 BA，则实数 a 所能取到的一切可能值为_【解析】(1)因为 Ax3x5，Bx|xa，A B，根据子集的性质结合数轴可知 a5.答案：a5(2)Axx2x602，3，故 B，B 2，B3三种情况，可求得 a 的值分别为 0，12，13.答案：0，12，13 子集的性质及其应用(1)子集具有下列性质A A，即任何集合都是它本身的子集；如果 A B，B A，则 AB；如果 A B，B C，则 A
2、 C；如果 A B，B C，则 A C.(2)空集是任何集合的子集，即对任何一个集合 A，都有A，在解决诸如 A B，A B 的问题时，必须优先考虑 A时是否满足题意；(3)判断两个连续性的无限集时的包含关系时，常常在数轴上表示出这两个集合，若一个集合 A 包含的区域(点)全部在一个集合 B 包含的区域(点)中，则 A B；若此时集合 B 中还包含其他区域(点)，则 A B.对于某些元素较为抽象的集合，常借助 Venn 图判断集合间的关系 集合间关系的应用1集合间关系的判断判断集合间关系的常用方法(1)列举观察法当集合中的元素较少时可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合间的关系；(2)集合
3、元素特征法先确定集合的代表元素是什么，弄清楚集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系；(3)数形结合法利用数轴或 Venn 图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法【典例】已知集合 Mxxm16，mZ，Nxxn213，nZ，Pxxp216，pZ，试确定集合 M，N，P 之间的关系【解析】集合 Mxxm16，mZ，关于集合 N：当 n 是偶数时，令 n2m(mZ)，则 Nxxm13，mZ；当 n 是奇数时，令 n2m1(mZ)，则 Nxx2m1213，mZxxm16，mZ，从而可得 M N.关于集合 P：当 p2m(mZ)时，则 Pxxm16，
4、mZ；当 p2m1(mZ)时，Pxx2m1216，mZxxm13，mZ，从而可得 NP，综上可知 M NP.2确定集合的子集和子集的个数(1)子集的判定：如果集合 A 中的任一元素都是集合 B 中的元素，那么集合 A 是集合 B 的子集(2)子集个数的问题由 n 个元素构成的集合有 2n 个子集；由 n 个元素构成的集合有2n1个真子集；由 n 个元素构成的集合有2n1个非空子集；由 n 个元素构成的集合有2n2个非空真子集【典例】已知集合 M 满足1，2 M 1，2，3，4，5，求出所有满足条件的集合 M.【解析】有题意可确定集合 M 必含有元素 1，2，且至少含有元素 3，4，5 中的一个
5、，因此依据集合 M 的元素个数分类如下：含有 3 个元素：1，2，3，1，2，4，1，2，5；含有 4 个元素：1，2，3，4，1，2，3，5，1，2，4，5；含有 5 个元素：1，2，3，4，5故满足条件的集合 M 为1，2，3，1，2，4，1，2，5，1，2，3，4，1，2，3，5，1，2，4，5，1，2，3，4，53根据集合间的关系求参数对于两个集合 A 和 B，已知 A 或 B 中含有待确定的参数(字母)，若 A B 或 AB，则集合 A 与集合 B 有包含关系，解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的方法(1)分类讨论的两种情况：A B 在未指明集合 A 非空时，应分 A，A两种情况
6、来讨论因为集合中的元素是无序的，由 A B 或 AB 得到两个集合中的元素对应相等的情况可能有多种，因此需要分类讨论(2)数形结合适用于 A这种情况，在确定参数时，需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清实心与空心圈，根据两个集合之间的包含关系，列不等式(组)确定参数【典例】已知集合 Ax|1ax2，x|x 1，是否存在实数 a，使得 A B？若存在，求出实数 a 的取值范围【解析】对参数 a 进行讨论，写出集合 A，B，借助数轴，求出 a 的范围因为 Bx1x0 时，Ax1ax2a，因为 A B，所以1a1，2a1，解得 a2；当 a0 时，Ax2ax1a，因为 A B，所以1a1，2a1，解得 a2.综上可知，所求实数 a 的取值范围为 a0 或 a2 或 a2.
