1、实验中学20222022学年度第一学期期中考试试题高二数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 命题“”的否定是 .2. 直线,分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线,则与的位置关系为 .3. 抛物线的准线方程为 4. “”是“方程表示椭圆”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”）5. 已知直线,平面,且,给出下列命题:若，则m； 若，则m; 若m，则若m，则 其中正确的命题是 (填序号) 6. 若圆锥的侧面展开图圆心角为，则圆锥的底面半径和母线之比为 .7. 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同,则双曲线的方程为
2、. 8. 已知或x 3，q : a x 0).若是q的充分不必要条件，则实数的取值范围是 .9. 长、宽、高分别为4，3，的长方体的外接球的表面积为 .10. 设椭圆（）的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点 到的距离，则椭圆的离心率是 11. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 12. 在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点.若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 .13. 已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的
3、一个交点为若，则 14. 已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点， ，当 周长最小时，该三角形的面积为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分15. (本题满分14分) 已知命题p：；命题q：若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围16. (本题满分14分) 河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船恰好能通行.17. (本题满分15分) 如图，三棱台的底面是直角三角形，为直角，侧棱底面.(1) 求证：侧面；（2）已知,求这个棱台的侧面积. 18. (本题满分15分) 如图，三棱锥P
4、ABC中，PA底面ABC，ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点. （1）证明：平面PBE平面PAC； （2）如何在BC上找一点F，使AD/平面PEF？并说明理由； （3）若PA=AB=2，对于（2）的点F，求三棱锥BPEF的体积.19. (本题满分16分) 如图，F1、F2分别为椭圆C：的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆C上的点到F1、F2两点的距离之和为4.（1）求椭圆C的方程和焦点坐标，离心率，准线方程；（2）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点， 求F1PQ的面积.（3） 若点N(1,1）,试在椭圆上找一点M,使MN+2MF2最小,并求出 该最小值.20
5、. (本题满分16分) 在平面直角坐标系xOy中,设椭圆T的中心在坐标原点,一条准线方程为,且经过点(1,0).(1) 求椭圆T的方程;(2) 设四边形ABCD是矩形,且四条边都与椭圆T相切. 求证:满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上; 求矩形ABCD面积S的取值范围.实验中学20222022学年度第一学期期中考试试题高二数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 命题“”的否定是 .2. 直线,分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线,则与的位置关系为 .相交或异面3. 抛物线的准线方程为 4. “”是“方程表示椭圆”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既
6、不充分又不必要”） 必要不充分 5. 已知直线,平面,且,给出下列命题:若，则m； 若，则m; 若m，则若m，则 其中正确的命题是 (填序号) 6. 若圆锥的侧面展开图圆心角为，则圆锥的底面半径和母线之比为 .7. 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同,则双曲线的方程为 8. 已知或x 3，q : a x 0).若是q的充分不必要条件，则实数的取值范围是 .9. 长、宽、高分别为4，3，的长方体的外接球的表面积为 10. 设椭圆（）的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点 到的距离，则椭圆的离心率是 11. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径
7、为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 12. 在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点.若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 .13. 已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为若，则 2 14. 已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点， ，当 周长最小时，该三角形的面积为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分15. (本题满分14分) 已知命题p：；命题q：若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围【解】： p是真命题对恒成立而函数的最小值为1，所以使p为真命题的a的
8、取值范围是5分 q是真命题关于x的方程有解，即，亦即所以使q为真命题的a的取值范围是 10分命题“p且q”是真命题p，q都是真命题12分故使p和q为真命题的a的取值范围是14分 16. (本题满分14分) 河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船恰好能通行.解：建立直角坐标系，设抛物线型拱桥方程为，过，. ,5分由于小船宽，当时，即当船顶距抛物线拱顶为m时，小船恰好能通过.10分又载货后，船露出水面上的部分高m.当水面距抛物线拱顶距离时，小船恰好能通行.13分答：当水面上涨到与抛物线拱
9、顶相距时，小船恰好能通行.14分17. (本题满分15分) 如图，三棱台的底面是直角三角形，为直角，侧棱底面.(1) 求证：侧面；（2）已知,求这个棱台的侧面积. 【证】：（1）底面， ,又为直角， ,又, 7分【解】(2) 在平面. . 又，故直角梯形 9分由于,且由，可知, 而由, 故直角梯形. 12分又直角梯形 15分18. (本题满分15分) 如图，三棱锥PABC中，PA底面ABC，ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点. （1）证明：平面PBE平面PAC； （2）如何在BC上找一点F，使AD/平面PEF？并说明理由； （3）若PA=AB=2，对于（2）的点F，求三棱锥BPEF
10、的体积.【证】（1）PA底面ABC，PABE 又ABC是正三角形，且E为AC的中点，BECA.又PACA=A，BE平面PAC 3分BE平面PBE，平面PBE平面PAC 5分【解】（2）取CD的中点F，则F即为所求 7分E、F分别为CA、CD的中点，EF/AD.又EF平面PEF，AD平面PEF，AD/平面PEF 10分 （3） 15分19. (本题满分16分) 如图，F1、F2分别为椭圆C：的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆C上的点到F1、F2两点的距离之和为4.（1）求椭圆C的方程和焦点坐标，离心率，准线方程；（2）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点， 求F1PQ的面
11、积.（4） 若点N(1,1）,试在椭圆上找一点M,使MN+2MF2最小,并求出 该最小值.解：（1）由题设知：2a = 4，即a = 2；1分 将点代入椭圆方程得，解得b2 = 3；c2 = a2b2 = 43 = 1，故椭圆方程为，焦点F1、F2的坐标分别为（-1，0）和（1，0），准线方程5分（2）由（1）知， ， PQ所在直线方程为, 由得 ，7分设P (x1，y1)，Q (x2，y2)，则，8分，11分 (3) , 16分20. (本题满分16分) 在平面直角坐标系xOy中,设椭圆T的中心在坐标原点,一条准线方程为,且经过点(1,0).(1)求椭圆T的方程;(2)设四边形ABCD是矩形
12、,且四条边都与椭圆T相切.求证:满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上;求矩形ABCD面积S的取值范围.【解】(1)因为椭圆T的中心在坐标原点,一条准线方程为有y=2,所以椭圆T的焦点在y轴上,于是可设椭圆T的方程为+=1(ab0).2分因为椭圆T经过点(1, 0),所以 解得故椭圆T的方程为.4分(2)由题意知,矩形ABCD是椭圆的外切矩形,(i)若矩形ABCD的边与坐标轴不平行,则可设一组对边所在直线的方程为,则由消去y得,6分于是,化简得.所以矩形ABCD的一组对边所在直线的方程为,即, 则另一组对边所在直线的方程为,于是矩形顶点坐标(x,y)满足,即,亦即.8分(ii)若矩形ABCD的边与坐标轴平行,则四个顶点显然满足.故满足条件的所有矩形的顶点在定圆上.10分当矩形ABCD的边与坐标轴不平行时,由知,一组对边所在直线间的距离为另一组对边的边长,于是矩形的一条边长为,另一条边长为.所以,12分令,则,于是.14分若矩形ABCD的边与坐标轴平行,则.故S的取值范围是.16分10
