1、 2020-2021 学年度第一学期高一年级第一次月考试题 数 学 （满分 150 分 考试时间 120 分钟）注意事项：1答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上，答题卡密封线内不准答题 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分；每小题所给的四个选项中只有一个选项符合题意）1已知集合10Ax x，1,0,1B ，则 AB （）A 1B 1C0,1D1,02若a b c d,为实数，则下列命题正确的是（）A若ab，则|a cb cB若22acbc，则ab C若ab，cd，则acbd D若ab，cd，则acbd 3函数 21xf x
2、x的图象大致为（）ABCD4定义域为 R 的函数 f x 是偶函数，且在0,5 上是增函数，在5,上是减函数，又 52f，则 f x（）A在5,0上是增函数且有最大值 2B在5,0上是减函数且有最大值 2C在5,0上是增函数且有最小值 2D在5,0上是减函数且有最小值 25已知函数 351f xxx，则下列区间中一定包含 f x 零点的区间是（）A2,1B1,0C0,1D1,26已知函数 f x 与 g x 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且 xf xg xe，则 1f（）AeB122eeC1eeD122ee7已知函数,0ln,0 xexf xx x，axfxg)()(，若 g x 恰有
3、 2 个零点，则实数 a 的取值范围是（）A1,0B1,0C0,1D0,18已知 x0，y0，且 2x+1y=1，若222xymm恒成立，则实数 m 的取值范围是（）A(-,-24,+)B(-,-4)2,+)C(-2,4)D(-4,2)二、多选题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）9若函数(1)xyab（0a 且1a）的图像过第一、三、四象限，则必有（）A01aB1a C0b D0b 10已知函数 1101xf xaaa,的图象恒过点 A，则下列函数图象也过点 A 的是（）A12yxB21yxC2log21yxD12xy11已知函数 25,1,1xaxxf xa xx 是 R
4、 上的增函数，则实数a 的取值可以是（）A 0B 2C 1D 312已知()f x 是定义在 R 上的奇函数，当(,0)x 时，2()2f xxx，下列说法正确的是（）A(0,)x 时，函数解析式为2()2f xxx B函数在定义域 R 上为增函数 C不等式(32)3fx的解集为(,1)D不等式2()10f xxx 恒成立 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把最佳的答案填在该题的横线上）13设命题 p：1n ，22nn，则p 为_ 14若幂函数22(33)mymmx的图象关于原点对称，则m 的取值为_.15已知12512.51000 xy，则 11xy-_.16若函
5、数 f x 在定义域 D 内存在非零实数0 x，使得0011f xf x，则称函数 f x 为“壹函数”，则下列函数是“壹函数”的是_.f xx；lnf xx；exf x；23f xx.四、解答题（解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤）17化简求值：（1）40133370.06428；（2）5log 3333322log 2loglog 859.18在f(x+1)-f（x）=2ax，f（x）的对称轴为12x，f（1）=2 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并回答下面问题 已知二次函数2()1f xaxbx，若_，且不等式 f（x）0 对任意的 xR 恒成立，试求实数 a 的取值范围 1
6、9集合3|1,2AxxRx，|2,Bx xaxR.（1）若2a，求 AB；（2）若AB CR，求a 的取值范围.20已知函数2 1()2xf x（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；（3）解不等式()f x4 21某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为 0.5 万元，但每生产 1 百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25 万元，市场对此商品的需求量为 5 百台，销售收入（单位：万元）的函数为215(05)2Rxxx剟（0 x5），其中 x 是产品生产并售出的数量（单位：百台）（1）把利润表示为年产量的函数（利润=销售收入-成本）（2）年产量为多
7、少时，企业所得利润最大？（3）年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？22已知函数 22g xxxa在1,xm时有最大值为 1，最小值为 0.（1）求实数a 的值；（2）设 g xf xx，若不等式1122log2 log0fxkx在4,8x上恒成立，求实数 k 的取值范围.2020-2021 学年度第一学期高一年级第一次月考试题数学答案 一、单选题1已知集合10Ax x，1,0,1B ，则 AB （）A 1B 1C0,1D1,0【答案】C解：1Ax x；0,1AB 故选：C 2若a b c d,为实数，则下列命题正确的是（）A若 ab，则|a cb cB若22acbc，则ab C若 ab，c
8、d，则acbd D若ab，cd，则acbd【答案】B对于 A 选项，当0c=时，不符合，故 A 选项错误.对于 B 选项，由于22acbc，所以0c，所以ab，所以 B 选项正确.对于 C 选项，如2,3,2,3,23,23abcd，但是acbd，所以 C 选项错误.对于 D 选项，由于a b c d,的正负不确定，所以无法由ab，cd得出acbd，故 D选项错误.故选：B3函数 21xf xx的图象大致为（）ABCD【答案】D函数 21xf xx的定义域为0 x x，2211xxfxf xxx，函数 f x 为偶函数，其图象关于 y 轴对称，排除 B、C 选项；当0 x 时，211xf xx
9、xx，因为 yx，1yx 在区间0,上都是增函数，所以函数 f x 在0,上单调递增，排除 A 选项，故选：D.4定义域为 R 的函数 f x 是偶函数，且在0,5 上是增函数，在5,上是减函数，又 52f，则 f x（）A在5,0上是增函数且有最大值 2B在5,0上是减函数且有最大值 2C在5,0上是增函数且有最小值 2D在5,0上是减函数且有最小值 2【答案】B因为函数()f x 是实数集上偶函数，且在0,5x上是增函数，在5,上是减函数，所以函数()f x 在 5,0 x 上是减函数，在(,5)x 上是增函数，则max(5)(5)2fff，又因为0,5x上是增函数，所以有()(5)2f
10、xf；在(5,)x 上是减函数，所以有()(5)2f xf；因此当0,)x 时，有最大值，最大值为(5)2f，而函数()f x 是实数集上偶函数，因此函数()f x 在实数集上有最大值 2故选：B5已知 x0，y0，且 2x+1y=1，若222xymm恒成立，则实数 m 的取值范围是（）A(-,-24,+)B(-,-4)2,+)C(-2,4)D(-4,2)【答案】D解：因为 211xy，x0，y0，所以21442(2)4428yxy xxyxyxyxyxy，当且仅当 4yxxy时，取等号，因为222xymm恒成立，所以228mm，解得 42m，故选：D6已知函数 f x 与 g x 分别是定义
11、在 R 上的奇函数和偶函数，且 xf xg xe，则 1f（）A eB122eeC1eeD122ee【答案】B根据题意：11fge，111fge，即 111fge，解得 1122efe.故选：B.7已知函数 351f xxx，则下列区间中一定包含 f x 零点的区间是（）A2,1B1,0C0,1D1,2【答案】C 351f xxx，3225 2 130f ，3115 1 150f ，010f 3115 1 130f ，3225 2 110f ，根据零点存在性定理可得一定包含 f x 零点的区间是0,1.故选：C.8已知函数,0ln,0 xexf xx x，g xf xa，若 g x 恰有 2
12、个零点，则实数 a 的取值范围是（）A1,0B1,0C0,1D0,1【答案】B依题意，函数 yf x的图象与直线 ya 有两个交点，作出函数图象如下图所示，由图可知，要使函数 yf x的图象与直线 ya 有两个交点，则01a ，即10a.故选：B.二、多选题9若函数(1)xyab（0a 且1a）的图像过第一、三、四象限，则必有（）A01aB1a C0b D0b【答案】BC解：若01a，则(1)xyab的图像必过第二象限，而函数(1)xyab（0a 且1a）的图像过第一、三、四象限，所以1a 当1a 时，要使(1)xyab的图像过第一、三、四象限，则1 1b ，即0b 故选：BC10已知函数 1
13、101xf xaaa,的图象恒过点 A，则下列函数图象也过点 A 的是（）A12yxB21yxC2log21yxD12xy【答案】ABC由题意，函数 1101xf xaaa,，令1x，可得 0112fa，即函数 f x 的图象恒过点(1,2)A，A 中，函数12yx，令1x 时，可得2y，此时函数过点(1,2)A，满足题意；B 中，函数21yx，令1x 时，可得2y，此时函数过点(1,2)A，满足题意；C 中，函数2log21yx，令1x 时，可得2y，此时函数过点(1,2)C，满足题意；D 中，函数12xy，令1x 时，可得1y ，此时函数不过点(1,2)，不满足题意.故选：ABC.11已知
14、函数 25,1,1xaxxf xa xx 是 R 上的增函数，则实数a 的取值可以是（）A 0B 2C 1D 3【答案】BD由题意，函数25yxax 的图象开口朝下，对称轴为2ax ，因为函数 25,1,1xaxxf xa xx 是 R 上的增函数，所以12015aaaa ，解得 32a.所以实数a 的取值可以是 2，3.故选：BD.12已知()f x 是定义在 R 上的奇函数，当(,0)x 时，2()2f xxx，下列说法正确的是（）A(0,)x 时，函数解析式为2()2f xxx B函数在定义域 R 上为增函数 C不等式(32)3fx的解集为(,1)D不等式2()10f xxx 恒成立【答
15、案】BC对于 A，设(0,)x，(,0)x ，则2()2fxxx，又()f x 是奇函数，所以2()()2f xfxxx，即(0,)x 时，函数解析式为2()2f xxx，故 A 错；对于 B，2()2f xxx，对称轴为1x，所以当(,0)x 时，()f x 单调递增，由奇函数图像关于原点对称，所以()f x 在 R 上为增函数，故 B 对；对于 C，由奇函数在 R 上为增函数，则(0,)x 时，2()23f xxx，解得11x，23x （舍去），即(1)3f，所以不等式(32)3fx，转化为(32)(1)fxf，又()f x 在 R 上为增函数，得321x ，解得1x ，所以不等式的解集为
16、(,1)，故 C 对；对于 D，当(,0)x 时，2()2f xxx 2222()121231(21)(1)0f xxxxxxxxxxx ，当(0,)x 时，2()2f xxx 222()12131f xxxxxxxx 不恒大于 0，故 D 错；故选：BC三、填空题13设命题 p：1n ，22nn，则p 为_【答案】1n，22nn 根据特称命题的否定是全称命题，可知p 为：1n，22nn.故答案为：1n，22nn.14若幂函数22(33)mymmx的图象关于原点对称，则m 的取值为_.【答案】1解：幂函数22(33)mymmx中，令233 1mm ，解得1m 或2m；当1m 时，1()f xx
17、，图象关于原点对称；当2m 时，0()f xx，图象不关于原点对称；所以m 的取值为 1.故答案为：1.15已知12512.51000 xy，则 11xy-_.【答案】1312512.51000 xy，12512.51000100011log1000,log1000log125log12.5xy，1000100011log125,log12.5xy，1000111log103xy.故答案为：13.16若函数 f x 在定义域 D 内存在非零实数0 x，使得0011f xf x，则称函数 f x 为“壹函数”，则下列函数是“壹函数”的是_.f xx；lnf xx；exf x；23f xx.【答案
18、】对于，f xx的定义域为0,，由0011f xf x，得0011xx ，平方得000121xxx ，解得00 x，不是非零实数，则 f xx不是“壹函数”；对于，lnf xx的定义域为0,，由0011f xf x，得00ln1ln1xx，即00ln1lnxex，解得011xe，则 lnf xx是“壹函数”；对于，xf xe的定义域为R，由0011f xf x，得0011xxee ，可得011xee，即011xee，解得01ln1xe，则 xf xe是“壹函数”；对于，23f xx的定义域为R，由0011f xf x，得2200133 1xx ，解得00 x，不是非零实数，则 23f xx不是
19、“壹函数”.故答案为：.四、解答题17化简求值：（1）40133370.06428；（2）5log 3333322log 2loglog 859.【答案】（1）2516；（2）1.（1）401134333370.06420.4128 14151250.411221616 ；（2）5log 3333322log 2loglog 859 33332log 4loglog 83939log48323132.18在f(x+1)-f（x）=2ax，f（x）的对称轴为12x，f（1）=2 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并回答下面问题 已知二次函数2()1f xaxbx，若_，且不等式 f（x）0
20、 对任意的 xR 恒成立，试求实数 a 的取值范围【答案】选，04a；选，04a；选，3 2 232 2a.解：若选，因为22(1)()(1)(1)112f xf xa xb xaxbxaxab ，所以22axabax对 xR 恒成立，所以0ab，所以2()1f xaxax.要使210axax 恒成立，则2040aaa，解得04a；若选，因为 f x 的对称轴为12x，所以122ba，所以0ab，所以2()1f xaxax，要使210axax 恒成立，则2040aaa，解得04a；若选，因为 112fab，所以1ab，所以2()(1)1f xaxa x，要使2(1)10axa x 恒成立，则2
21、0(1)40aaa，解得3 2 232 2a.（1）若20axbxc 恒成立，则00a ；（2）若20axbxc 恒成立，则00a .19集合3|1,2AxxRx，|2,Bx xaxR.（1）若2a，求 AB；（2）若RBC A I，求a 的取值范围.【答案】（1）|2xx 或0 x；（2）4a 或3a.（1）由312x得 102xx即(1)(2)0 x x，解得2x 或1x，所以|2Ax x 或1x；当2a 时，|22,Bx xxR 由22x 得 222x，即04x，所以|04Bxx，所以|2ABx x 或0 x.（2）由|2xa得 22xa，即22axa，所以|22Bx axa，由（1）得
22、|2Ax x 或1x，所以|21RC Axx，若RBC A I，则22a 或21a ，即4a 或3a，所以，a 的取值范围是4a 或3a.20已知函数2 1()2xf x（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；（3）解不等式()f x4【答案】（1）R；（2）详见解析；（3）|3x x 或3x .（1）易知函数 2 12xf x，xR.所以定义域为 R.（2）由 221122xxfxf x，从而知 f x 为偶函数；（3）由条件得2 12242x ，得212x ，解得3x 或3x .所以不等式的解集为：|3x x 或3x .21某企业生产一种机器的固定成本
23、（即固定投入）为 0.5 万元，但每生产 1 百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25 万元，市场对此商品的需求量为 5 百台，销售收入（单位：万元）的函数为215(05)2Rxxx剟，其中 x 是产品生产并售出的数量（单位：百台）（1）把利润表示为年产量的函数（2）年产量为多少时，企业所得利润最大？（3）年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？【答案】（1）214.750.5(05,2120.25(5).xxxyx x 剟；（2）475 台；（3）年产量在 11 台到 4800台之间时，企业不亏本（1）设利润为 y 万元，得22150.50.25(05),215 550.50.25(5)
24、.2xxxxyx x 剟 即214.750.5 05,2120.25(5).xxxyx x 剟（2）显然当05x时，企业会获得最大利润，此时，21(4.75)10.781252yx，4.75x，即年产量为 475 台时，企业所得利润最大（3）要使企业不亏本，则0y 即205,14.750.502xxx或5,120.250,xx 得0.115x或548x，即0.1148x 即年产量在 11 台到 4800 台之间时，企业不亏本 22已知函数 22g xxxa在1,xm时有最大值为 1，最小值为 0.（1）求实数a 的值；（2）设 g xf xx，若不等式1122log2 log0fxkx在4,8
25、x上恒成立，求实数 k 的取值范围.【答案】（1）1；（2）2,9.（1）函数22()2(1)1g xxxaxa，g x 在区间1,m 上是增函数，故2()21(1)1 20g mmmaga，解得12am.（2）由已知可得 221g xxx，则()1()2g xf xxxx，所以不等式22log2log0fxkx，转化为2221log22log0logxkxx，在4,8x上恒成立.设2logtx，则2,3t，即1220tktt，在2,3t，上恒成立，即：22121211kttt，2,3t，11 1,3 2t，当113t 时，21 1t取得最大值，最大值为21419t，则429k，即29k，k 的取值范围是 2,9.
