1、13两条直线的位置关系知识点一两条直线平行 填一填(1)两条不重合直线l1：yk1xb1和l2：yk2xb2(b1b2)，若l1l2，则k1k2；反之，若k1k2，则l1l2，如图所示(2)如果不重合的两直线l1，l2的斜率都不存在，那么它们的倾斜角都是90，从而它们互相平行答一答1两条直线平行，它们的斜率一定相等吗？提示：不一定，也可能斜率都不存在2两直线的斜率相等，两直线一定平行吗？提示：不一定两直线的斜率相等，两直线平行或重合知识点二两条直线垂直 填一填(1)设直线l1：yk1xb1，直线l2：yk2xb2.若l1l2，则k1k21；反之，若k1k21，则l1l2.(2)对于直线l1：x
2、a，直线l2：yb，由于l1x轴，l2y轴，所以l1l2.答一答3两条直线l1，l2垂直，它们的斜率之积一定为1，这句话正确吗？提示：不正确由两直线的斜率之积为1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，它们的斜率之积不一定为1.当l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2互相垂直，但两直线的斜率之积不存在1探究两条直线平行与斜率的关系(1)l1l2k1k2成立的前提条件有两个：两条直线的斜率都存在，这两条直线不重合(2)当不重合的两条直线的斜率都不存在时，由于它们的倾斜角都是90，故它们也互相平行(3)依据直线的倾斜角的定义可知：若两条不重合的直线的倾斜角相等，则
3、这两条直线平行2探究两条直线垂直与斜率的关系(1)l1l2k1k21成立的前提条件是两直线的斜率均存在，分别为k1，k2.(2)若两条直线中的一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两直线垂直.类型一 两直线平行的应用 【例1】求与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程【思路探究】解答本题可先求得已知直线的斜率，再根据题目给出的条件，应用直线方程的点斜式写出直线l的方程【解】解法一：设直线l的斜率为k，直线l与直线3x4y10平行，k.又直线l过点(1,2)，所求直线方程为y2(x1)，即3x4y110.解法二：设与直线3x4y10平行的直线l的方程为3x4ym0，直线l过点(1,
4、2)，3142m0，解得m11.所求直线l的方程为3x4y110.规律方法 一般地，直线AxByC0的斜率可由系数A，B来确定因此在求过定点且与已知直线平行的直线方程时，通常采用以下方法：(1)先求已知直线的斜率，若已知直线斜率存在，则根据两直线平行的性质得出所求直线的斜率，再根据直线的点斜式，即可求出所求直线方程；若已知直线的斜率不存在，则所求直线的斜率也不存在，过定点(x0，y0)的直线方程为xx0.(2)与已知直线AxByC0平行的直线可设为AxBym0，再根据所求直线过定点求得m的值，最后写出所求直线方程(3)过定点(x0，y0)与已知直线AxByC0平行的直线方程实际为A(xx0)B
5、(yy0)0，这种方法适用于选择题、填空题，也可用于解答题结论的验证判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行(1)l1经过点A(1，2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(1，1)；(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；(3)l1经过点A(3,2)，B(3,10)，l2经过点M(5，2)，N(5,5)解：(1)k11，k2，k1k2，l1与l2不平行(2)k11，k21，k1k2，l1l2或l1与l2重合(3)l1与l2都与x轴垂直，l1l2.类型二 两直线垂直的应用 【例2】已知经过点A(2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，1)和点Q(a，2a)
6、的直线l2互相垂直，求实数a的值【解】l1的斜率k1a.当a0时，l2的斜率k2.l1l2，k1k21，即a1，得a1.当a0时，P(0，1)，Q(0,0)，这时直线l2与y轴重合，A(2,0)，B(1,0)，这时直线l1与x轴重合，显然l1l2.故实数a的值为0或1.规律方法 由两直线垂直求参数的值可列方程求解，列方程可按以下办法：1选择一条直线，设其斜率为k1，可分三种情况：k10，k10，k1不存在2当k10时，k2不存在；当k1不存在时，k20；当k10时，k1k21.由此列方程求解判断下列各小题中的直线l1与l2是否垂直：(1)l1经过点A(1，2)，B(1,2)，l2经过点M(2，
7、1)，N(2,1)；(2)l1的斜率为10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(3)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(10,40)，N(10,40)解：(1)k12，k2.k1k211，l1与l2不垂直(2)k110，k2，k1k21，l1l2.(3)l1的倾斜角为90，l1x轴k20，l2x轴，l1l2.类型三 直线系方程 【例3】(1)求过点A(1，4)，且与直线2x3y50平行的直线方程；(2)直线l过点P(1，1)且与直线2x3y10垂直，求l的方程【解】(1)解法一：已知直线的斜率是，因为所求直线与已知直线平行，因此它的斜率也是.根据点斜式得所求直线的方
8、程是y4(x1)，即2x3y100.解法二：因所求直线与2x3y50平行，可设所求直线方程为2x3ym0，将A(1，4)代入有m10，故所求直线方程为2x3y100.(2)解法一：因为直线2x3y10的斜率为，所以直线l的斜率为，故直线l的方程为y1(x1)，即3x2y50.解法二：因所求直线与2x3y10垂直，可设所求直线方程为3x2y0，将P(1，1)代入有5，故所求直线方程为3x2y50.规律方法 和直线ykxb平行的直线可假设为ykxm，mb；和直线AxByC0平行的直线可假设为AxBym0(mC)；和直线AxByC0垂直的直线可假设为BxAy0，然后再用待定系数法求未知系数若直线l与
9、直线2x3y50平行，且在两坐标轴上的截距之和为，求直线l的方程解：设直线l的方程为2x3y0(5)，令x0，则在y轴上的截距为b；令y0，则在x轴上的截距为a，由ab，得1，所以所求直线l的方程为2x3y10.易错警示系列忽略斜率不存在的特殊情形【例4】已知直线l1经过点A(3，a)，B(a2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(1，a2)，若l1l2，求a的值【错解】由l1l2k1k21，k1，k2，得1，解得a0.【错因分析】只有在两直线斜率都存在的情况下，才有l1l2k1k21，还有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况也要考虑【正解】由题意知l2的斜率一定存在，l1的斜率则可
10、能不存在，下面对a进行讨论当k20时，a5，此时k1不存在，所以两直线垂直当k20时，由k1k21，得a0.所以a的值为0或5.直线l1过点(2m,1)，(3，m)，直线l2过点(m，m)，(1，2)，若l1与l2垂直，求实数m的值解：(1)当两直线斜率都存在，即m且m1时，有k1，k2.两直线互相垂直，1.m1.(2)当m1时，k10，k2不存在，此时亦有两直线垂直当2m3，即m时，k1不存在，k2，l1与l2不垂直综上m1.一、选择题1下列说法中正确的是(B)A平行的两条直线的斜率一定存在且相等B平行的两条直线的倾斜角一定相等C垂直的两直线的斜率之积为1D只有斜率相等的两条直线才一定平行解
11、析：A，C，D三项均没有考虑到斜率不存在的情况2如果直线l1的斜率为a，l1l2，则直线l2的斜率为(D)A.BaC D或不存在解析：若a0，则l2的斜率为；若a0，则l2的斜率不存在3直线l1的斜率为2，l1l2，直线l2过点(1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为(D)A(3,0) B(3,0)C(0，3) D(0,3)解析：设P(0，y)，l1l2，k12，k2k12，2，y3，即P(0,3)二、填空题4以点A(1,3)，B(5,1)为端点的线段的垂直平分线的斜率为3.解析：kAB，AB的垂直平分线的斜率为3.三、解答题5已知A(1,1)，B(2,2)，C(3，3)，求点D，使直线CDAB，且CBAD.解：如图，设D(x，y)，则kCDkAB1，kBCkAD.即解得D.
