1、 8.8 曲线与方程一、 学习目标1.理解曲线与方程的关系；2.掌握常见的求曲线方程（轨迹方程）的方法.二、知识要点1.曲线与方程：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做动点的集合）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：曲线上点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2.求动点的轨迹方程（曲线方程）的方法：（1） 直接法； （2）转代法（相关点法）；（3）定义法； （4）参数法；三、课前热身1下列各点中，在曲线上的是（ ）ABCD2.方程表示的曲线是（ ）ABCD3.平面内已知点，若动点P满足，则点P的轨
2、迹是（ ）A线段B双曲线C抛物线D椭圆4方程表示的曲线是（ ）A两条平行线 B一个直线和一条射线 C两条射线 D一条直线【答案】D41若曲线经过点和，则_，_.【答案】； 2四、典例分析例1.（1）下面选项中的方程与对应的曲线匹配的是（ ）ABCD（2）方程表示的曲线是（ ）A一个圆和一条直线B半个圆和一条直线C一个圆和两条射线D一个圆和一条线段（3）方程表示的曲线关于（ ）A直线对称 B坐标原点对称 C轴对称D轴对称【答案】（1）D； （2）C； （2）B.例2.（1）已知动点到的距离与到的距离相等，则点的轨迹方程是_.（2）在平面直角坐标系中，已知点，若动点满足（为坐标原点），则的最小值是
3、_.【答案】（1）； （2）.例3.（1）已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ）A B C D（2）设是椭圆上的动点，作轴，为垂足，则中点的轨迹方程为_（3）已知的两个顶点为，顶点C在曲线上运动，则的重心G的轨迹方程为_.【答案】（1）C； （2）； （3）.例4.（1）已知圆过点且与直线相切，则圆心的轨迹方程为（ ）ABCD（2）已知动点的坐标满足方程，则M的轨迹方程是（ ）A B C D56动圆M与圆外切，与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程是_.【答案】（1）B； （2）D； （3）.例5已知圆上的一定点，点为圆内一点，为圆上的动点（1）求线段中点的轨迹方程；（2）若，求线段
4、中点的轨迹方程【答案】（1）解：设，则，设线段中点坐标为，则，解得，代入，得，即；（2）设线段中点坐标为，因为，所以 ，因为 ，所以 ，即 ，化简得.例6（1）方程所表示的曲线为（ ）A双曲线B椭圆C双曲线的一部分D椭圆的一部分（2）若直线与曲线有两个公共点，则b的取值范围是_.【答案】（1）D； （2）.五、 课外作业基础题：1方程对应的曲线是（ ）ABCD【答案】C2已知曲线C方程为x2+y2+|x|y2020，则曲线C关于（ ）对称Ax轴By轴C原点Dyx【答案】B3已知平面直角坐标系中的两点，若点C满足（O为坐标原点），其中，且，则点C的轨迹是（ ）A两个点 B直线C圆D射线【答案】B
5、4已知动圆M与直线y2相切，且与定圆C：x2(y3)21外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）Ax212yBx212yCy212xDy212x【答案】A5方程表示的是（ ）A一个圆和一条直线 B一个圆和一条射线 C一个圆D一条直线【答案】D6平面直角坐标系上动点，满足，则动点的轨迹是（ ）A直线B线段C圆D椭圆【答案】B7.动点P在曲线上移动，则点P和定点连线的中点的轨迹方程是_【答案】8.已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点P 的轨迹方程为_【答案】9已知动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为_【答案】10在直角坐标系中，已知，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是_【答
6、案】11已知圆，直线（1）求证:对任意的，直线与圆恒有两个交点;（2）设与圆相交于两点，求线段的中点的轨迹方程 【答案】（1）由已知可得直线 ，所以直线恒过定点.又所以点在圆内，所以对任意的，直线与圆恒有两个交点.（2）由（1）知，知直线恒过定点，且直线的斜率存在.又是的中点，所以点在以为直径的圆上.又所以以为直径的圆的方程为，又直线的斜率存在，所以点 的轨迹方程为.12如图，已知圆，过点的直线交圆于两点.若以，为邻边，作菱形，求点的轨迹方程.【答案】设与交于，菱形，所以为中点，坐标为且，即，整理得，点的轨迹方程为.13已知定点，和曲线上的动点C.（1）求线段的垂直平分线的方程：（2）若点G是
7、的重心，求动点G的轨迹方程.【答案】（1）的中点的坐标为，且在x轴上关于原点对称，所以线段AB的垂直平分线即为y轴，方程为.（2）设，则，由重心坐标公式得，所以，代入得，即，所以动点G的轨迹方程为.提高题：1已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么A曲线上的点的坐标都适合方程B不在上的点的坐标必不适合C凡坐标不适合的点都不在上D不在上的点的坐标有些适合，有些不适合【答案】B2过抛物线的焦点做直线交抛物线于两点，分别过作抛物线的切线，则的交点的轨迹方程是（ ）A BCD【答案】A3椭圆M:长轴上的两个顶点为、，点P为椭圆M上除、外的一个动点，若且，则动点Q在下列哪种曲线上运动（ ）A圆 B椭圆C双曲线D抛物线【答案】B
