1、专题能力训练9三角函数的图象与性质能力突破训练1.对于函数y=sin2x-6,下列说法正确的是()A.函数图象关于点3,0对称B.函数图象关于直线x=56对称C.将它的图象向左平移6个单位,得到y=sin 2x的图象D.将它的图象上各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变),得到y=sinx-6的图象2.(2015陕西高考)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin6x+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.103.(2015山东滨州一模)若函数f(x)=3sin(2x+)+cos(2x+)为奇函数,且在-4,0上为减函数,则的一
2、个值为()A.-3B.-6C.56D.234.若f(x)=2sin(x+)+m,对任意实数t都有f8+t=f8-t,且f8=-3,则实数m的值等于()A.-1B.5C.-5或-1D.5或15.函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|0)的图象分别向左、向右各平移4个单位后,所得的两个图象对称轴重合,则的最小值为.7.定义一种运算:(a1,a2)(a3,a4)=a1a4-a2a3,将函数f(x)=(3,2sin x)(cos x,cos 2x)的图象向左平移n(n0)个单位所得图象对应的函数为偶函数,则n的最小值为.8.函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|0),其图象与x轴相邻两个交点的
3、距离为2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若将f(x)的图象向左平移m(m0)个单位得到函数g(x)的图象恰好经过点-3,0,求当m取得最小值时,g(x)在-6,712上的单调递增区间.11.(2015天津高考)已知函数f(x)=sin2x-sin2x-6,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间-3,4上的最大值和最小值.思维提升训练12.下图是函数f(x)=2sin(x+)(0,0)的部分图象,其中A,B两点之间的距离为5,则f(-1)等于()A.2B.3C.-3D.-213.已知函数f(x)=sin2x+3的相邻两条对称轴之间的距离为4,将函数f(x)的图象向右平移
4、8个单位后,再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍,得到g(x)的图象,若g(x)+k=0在x0,2有且只有一个实数根,则k的取值范围是()A.k12B.-1k-12C.-12k12D.-12k12或k=-114.函数y=11-x的图象与函数y=2sin x(-2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A.2B.4C.6D.815.如果两个函数的图象平移后能够重合,那么称这两个函数为“互为生成”函数.给出下列四个函数:f(x)=sin x+cos x;f(x)=2(sin x+cos x);f(x)=sin x;f(x)=2sin x+2.其中为“互为生成”函数的是.(填序号)16.(2015福建
5、高考)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移2个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在0,2)内有两个不同的解,.求实数m的取值范围;证明:cos(-)=2m25-1.参考答案能力突破训练1.B解析:将x=3代入y=sin2x-6,得y=sin2=1,故A错.将x=56代入y=sin2x-6,得y=sin32=-1,所以56,-1是函数最小值点,即函数图象关于直线x=56对称,故B正确.将函数y=sin
6、2x-6的图象向左平移6个单位,得y=sin2x+6的图象,故C错.将函数y=sin2x-6的图象上各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变),得到y=sin4x-6的图象,故D错.2.C解析:因为sin6x+-1,1,所以函数y=3sin6x+k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.3.C解析:由已知得f(x)=2sin2x+6+,因为f(x)为奇函数,所以6+=k(kZ),排除A,D.又函数f(x)在-4,0上为减函数,排除B.故选C.4.C解析:依题意,得函数f(x)的图象关于直线x=8对称,于是当x=
7、8时,函数f(x)取得最值,因此有2+m=-3,解得m=-5或m=-1.故选C.5.B解析:由题意知T=,则=2.由函数图象关于直线x=3对称,得23+=2+k(kZ),即=-6+k(kZ).|0)的图象分别向左、向右各平移4个单位,分别得函数y=2sinx+4-4=2sinx+4(-1)和y=2sinx-4(+1)的图象.所得的两个图象对称轴重合,x+4(-1)=x-4(+1)+k,kZ.解得=2k,kZ.0,的最小值为2.7.512解析:f(x)=3cos 2x-2sin xcos x=3cos 2x-sin 2x=2cos2x+6,将f(x)的图象向左平移n个单位对应的函数解析式为f(x
8、)=2cos2(x+n)+6=2cos2x+2n+6,要使它为偶函数,则需要2n+6=k(kZ),所以n=k2-12(kZ).因为n0,所以当k=1时,n有最小值512.8.2sin8x+4解析:由题意得A=2,函数的周期为T=16.T=2,=8,此时f(x)=2sin8x+.由f(2)=2,即sin82+=sin4+=1,则4+=2k+2,kZ,解得=2k+4,kZ.|0)个单位得到g(x)的图象,则g(x)=3sin2x+2m+3.g(x)经过点-3,0,3sin2-3+2m+3=0,即sin2m-3=0.2m-3=k(kZ),解得m=k2+6(kZ).m0,当k=0时,m取得最小值,此时
9、最小值为6.此时,g(x)=3sin2x+23.若-6x712,则32x+23116,当32x+232,即-6x-12时,g(x)单调递增;当322x+23116,即512x712时,g(x)单调递增.g(x)在-6,712上的单调递增区间为-6,-12和512,712.11.解:(1)由已知,有f(x)=1-cos2x2-1-cos2x-32=1212cos2x+32sin2x-12cos 2x=34sin 2x-14cos 2x=12sin2x-6.所以,f(x)的最小正周期T=22=.(2)因为f(x)在区间-3,-6上是减函数,在区间-6,4上是增函数,f-3=-14,f-6=-12,
10、f4=34.所以f(x)在区间-3,4上的最大值为34,最小值为-12.思维提升训练12.A解析:设函数f(x)的最小正周期为T,因为A,B两点之间的距离为5,所以T22+42=5,解得T=6.所以=2T=3.又图象过点(0,1),代入得2sin =1,所以=2k+6或=2k+56(kZ).又0,所以=6或=56.所以f(x)=2sin3x+6或f(x)=2sin3x+56.对于函数f(x)=2sin3x+6,当x略微大于0时,有f(x)2sin6=1,与图象不符,故舍去.综上,f(x)=2sin3x+56.故f(-1)=2sin-3+56=2.13.D解析:因为函数f(x)的相邻两条对称轴之
11、间的距离为4,结合三角函数的图象可知T2=4.又T=22=,所以=2,f(x)=sin4x+3.将函数f(x)的图象向右平移8个单位得到函数f(x)=sin4x-8+3=sin4x-6的图象,再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数g(x)=sin2x-6的图象.所以方程为sin2x-6+k=0.令2x-6=t,因为x0,2,所以-6t56.若g(x)+k=0在x0,2上有且只有一个实数根,即g(t)=sin t的图象与直线y=-k在-6,56上有且只有一个交点,如图所示,由正弦函数的图象可知-12-k12或-k=1,即-12k12或k=-1.14.D解析:函数y1=11-x,y2=2sin
12、 x的图象有公共的对称中心(1,0),作出两个函数的图象如图.当1x4时,y10,而函数y2在(1,4)上出现1.5个周期的图象,在1,32和52,72上是减函数;在32,52和72,4上是增函数.所以函数y1在(1,4)上函数值为负数,且与y2的图象有四个交点E,F,G,H.相应地,y1在(-2,1)上函数值为正数,且与y2的图象有四个交点A,B,C,D,且xA+xH=xB+xG=xC+xF=xD+xE=2,故所求的横坐标之和为8.15.解析:首先化简题中的四个解析式可得:f(x)=2sinx+4,f(x)=2sinx+4,f(x)=sin x,f(x)=2sin x+2.可知f(x)=si
13、n x的图象要与其他的函数图象重合,单纯经过平移不能完成,必须经过伸缩变换才能实现,所以f(x)=sin x不能与其他函数成为“互为生成”函数;同理f(x)=2sinx+4的图象与f(x)=2sinx+4的图象也必须经过伸缩变换才能重合,而f(x)=2sin x+2的图象可以向左平移4个单位,再向下平移2个单位即可得到f(x)=2sinx+4的图象,所以为“互为生成”函数.16.(1)解:将g(x)=cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cos x的图象,再将y=2cos x的图象向右平移2个单位长度后得到y=2cosx-2的图象,故f(x)=2sin x.从
14、而函数f(x)=2sin x图象的对称轴方程为x=k+2(kZ).(2)解:f(x)+g(x)=2sin x+cos x=525sinx+15cosx=5sin(x+)其中sin=15,cos=25.依题意,sin(x+)=m5在0,2)内有两个不同的解,当且仅当m51,故m的取值范围是(-5,5).证法一:因为,是方程5sin(x+)=m在0,2)内的两个不同的解,所以sin(+)=m5,sin(+)=m5 .当1m5时,+=22-,即-=-2(+);当-5m1时,+=232-,即-=3-2(+),所以cos(-)=-cos 2(+)=2sin2(+)-1=2m52-1=2m25-1.证法二:因为,是方程5sin(x+)=m在0,2)内的两个不同的解,所以sin(+)=m5,sin(+)=m5 .当1m5时,+=22-,即+=-(+);当-5m1时,+=232-,即+=3-(+).所以cos(+)=-cos(+).于是cos(-)=cos(+)-(+)=cos(+)cos(+)+sin(+)sin(+)=-cos2(+)+sin(+)sin(+)=-1-m52+m52=2m25-1.7
