1、课时训练(二十六)矩形、菱形、正方形(限时:30分钟)|夯实基础|1.2017广安 下列说法: 四边相等的四边形一定是菱形; 顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形; 对角线相等的四边形一定是矩形; 经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分. 其中正确的有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个2.2018湘潭 如图K26-1,已知点E,F,G,H分别是菱形ABCD各边的中点,则四边形EFGH是()图K26-1 A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形3.2016无锡 下列性质中,菱形具有而矩形不一定具有的是() A.对角线相等 B.对角线互相平分
2、 C.对角线互相垂直 D.邻边互相垂直4.如图K26-2,正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上,且BAE=22.5,EFAB,垂足为F,则EF的长为()图K26-2 A.1 B. C.4-2 D.3-45.2018新疆维吾尔生产建设兵团 如图K26-3,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点,点M,N分别是AB,BC边的中点,则MP+PN的最小值是()图K26-3 A. B.1 C. D.26.如图K26-4,在矩形ABCD中,AB=8,BC=16,将矩形ABCD沿EF折叠,使点C与点A重合,则折痕EF的长为()图K26-4 A.6 B.12 C.2 D.47.2016扬州
3、 如图K26-5,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E为AD的中点,若OE=3,则菱形ABCD的周长 为.图K26-58.2017黄冈 已知:如图K26-6,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,则BED=度.图K26-69.2017菏泽 菱形ABCD中,A=60,其周长为24 cm,则菱形的面积为cm2.10.如图K26-7,四边形ABCD为矩形,过点D作对角线BD的垂线,交BC的延长线于点E,取BE的中点F,连接DF,DF=4. 设AB=x,AD=y,则x2+(y-4)2的值为.图K26-711.如图K26-8,正方形ABCD的边长为4,E为BC上的一点,BE=1,F为AB上
4、的一点,AF=2,P为AC上一个动点,则PF+PE的最小值为.12.在矩形ABCD中,AD=5,AB=4,点E,F在直线AD上,且四边形BCFE为菱形,若线段EF的中点为M,则线段AM的长 为.图K26-813.2018内江 如图K26-9,已知四边形ABCD是平行四边形,点E,F分别是AB,BC上的点,AE=CF,并且AED=CFD. 求证:(1)AEDCFD; (2)四边形ABCD是菱形.图K26-914.如图K26-10,在ABCD中,AEBC于点E,延长BC至点F使CF=BE,连接AF,DE,DF. (1)求证:四边形AEFD是矩形; (2)若AB=6,DE=8,BF=10,求AE的长
5、.图K26-1015.2016盐城 如图K26-11,已知ABC中,ABC=90. (1)尺规作图:按下列要求完成作图(保留作图痕迹,请标明字母). 作线段AC的垂直平分线l,交AC于点O; 连接BO并延长,在BO的延长线上截取OD,使得OD=OB; 连接DA,DC. (2)判断四边形ABCD的形状,并说明理由.图K26-1116.2018盐城 在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,如图K26-12所 示. (1)求证:ABEADF; (2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.图K26-1217.2017扬州 如图K26-13,
6、将ABC沿着射线BC方向平移至ABC,使点A落在ACB的平分线CD上,连接AA. (1)判断四边形ACCA的形状,并说明理由; (2)在ABC中,B=90,AB=24,cosBAC=,求CB的长.图K26-13|拓展提升|18.2017南通 如图K26-14,矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点E,F,G,H分别在矩形ABCD各边上,且AE=CG,BF=DH,则四 边形EFGH周长的最小值为()图K26-14 A.5 B.10 C.10 D.1519.2018重庆B卷 如图K26-15,在RtABC中,ACB=90,BC=6,CD是斜边AB上的中线,将BCD沿直线CD翻折至 ECD的位置,
7、连接AE.若DEAC,则AE的长度等于.图K26-1520.2018绍兴 小敏思考解决如下问题: 原题:如图K26-16,点P,Q分别在菱形ABCD的边BC,CD上,PAQ=B,求证:AP=AQ. (1)小敏进行探索,若将点P,Q的位置特殊化:把PAQ绕点A旋转得到EAF,使AEBC,点E,F分别在边BC,CD上, 如图,此时她证明了AE=AF.请你证明. (2)受以上(1)的启发,在原题中,添加辅助线:如图,作AEBC,AFCD,垂足分别为E,F.请你继续完成原题的证明. (3)如果在原题中添加条件:AB=4,B=60,如图.请你编制一个计算题(不标注新的字母),并直接给出答案.图K26-1
8、6参考答案1.C解析 根据菱形的判定定理,四边相等的四边形一定是菱形,故正确;由于矩形的对角线相等,根据三角形的中位线定理,可得顺次连接矩形各边中点所得四边形的四边都相等,由此可判定所得四边形是菱形,故错误;对角线相等的平行四边形是矩形,故错误;平行四边形是中心对称图形,根据中心对称图形的性质,经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等形,面积当然相等,所以经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分,故正确.综上所述,正确的说法有2个.故选C.2.B解析 连接AC和BD,E,F,G,H分别是菱形ABCD各边的中点,EHBDFG,EFACHG,EH=FG=BD,EF
9、=HG=AC,四边形EFGH为平行四边形,四边形ABCD是菱形,ACBD,EFFG,EFGH是矩形.3.C解析 对角线互相垂直是菱形具有的性质,矩形不一定具有.故选C.4.C解析 由BAE=22.5,ADB=45,BAD=90,EFAB,易知ADE是等腰三角形,BEF是等腰直角三角形,DE=AD=4,BE=4-4.设EF=x,则2x2=(4-4)2,解得x=4-2(x=2-4为负值,舍去).故选C.5.B解析 如图,取AD的中点M,连接MN交AC于点P,则由菱形的轴对称性可知M,M关于直线AC对称,从而MP=PM,此时MP+PN的值最小,而易知四边形CDMN是平行四边形,故MN=CD=1,于是
10、,MP+PN的最小值是1,因此选B.6.D解析 设BE=x,则CE=BC-BE=16-x.沿EF折叠后点C与点A重合,AE=CE=16-x.在RtABE中,AB2+BE2=AE2,即82+x2=(16-x)2,解得x=6,AE=16-6=10.由翻折的性质,得AEF=CEF.矩形ABCD的对边ADBC,AFE=CEF,AEF=AFE,AF=AE=10.如图,过点E作EHAD于点H,则四边形ABEH是矩形,EH=AB=8,AH=BE=6,FH=AF-AH=10-6=4.在RtEFH中,EF=4.7.24解析 四边形ABCD为菱形,ACBD,AB=BC=CD=DA,AOD为直角三角形.OE=3,且
11、点E为线段AD的中点,AD=2OE=6.C菱形ABCD=4AD=46=24.8.45解析 由题意得,AB=AE,BAD=90,DAE=AED=60.所以BAE=150,AEB=15.所以BED=AED-AEB=60-15=45.9.18解析 如图,四边形ABCD是菱形,AB=BC=CD=DA,ACBD,DAB=60,ABD是等边三角形,又菱形ABCD周长为24 cm,即BD=AB=6 cm,在RtAOD中,OD=3 cm,AO=3(cm),AC=2AO=6 cm,菱形的面积=ACBD=66=18(cm2).10.16解析 在矩形ABCD中,CD=AB=x,BC=AD=y.在RtBDE中,BDE
12、=90,F为BE的中点,所以BF=EF=DF=4,所以CD2+CF2=DF2,即x2+(4-y)2=x2+(y-4)2=16.11.解析 如图,作E关于直线AC的对称点E,连接EF,则EF的长即为PE+PF的最小值.过点F作FGCD于点G.由正方形的对称性,易知DE=BE=1.易证四边形BCGF是矩形,所以CG=BF=AB-AF=2,FG=BC=4.在RtEFG中,GE=CD-DE-CG=4-1-2=1,GF=4,所以EF=.12.5.5或0.5解析 四边形BCFE是菱形,BE=BC=AD=5.如图,在RtAEB中,由勾股定理,得AE=3,EF=BC=5,M是EF的中点,EM=2.5,AM=3
13、+2.5=5.5.如图,在RtAEB中,由勾股定理,得AE=3,EF=5,M是EF的中点,EM=2.5,AM=3-2.5=0.5.13.证明:(1)四边形ABCD是平行四边形,A=C,在AED和CFD中,AEDCFD(ASA).(2)由(1)得AEDCFD,AD=DC,四边形ABCD是平行四边形,四边形ABCD是菱形.14.解:(1)证明:CF=BE,CF+EC=BE+EC.即EF=BC.在ABCD中,ADBC且AD=BC,ADEF且AD=EF.四边形AEFD是平行四边形.AEBC,AEF=90.AEFD是矩形.(2)AEFD是矩形,DE=8,AF=DE=8.AB=6,BF=10,AB2+AF
14、2=62+82=102=BF2.BAF=90.AEBF,SABF=ABAF=BFAE.AE=.15.解:(1)完成的作图如图所示.作出AC的垂直平分线l,得到点O;作出点D.(2)四边形ABCD为矩形.理由:线段AC的垂直平分线l交AC于点O,OA=OC,又OD=OB,四边形ABCD为平行四边形.又ABC=90,四边形ABCD为矩形.16.解:(1)证明:四边形ABCD是正方形,ABD=45,ADB=45,AB=AD.ABE=ADF=135.又BE=DF,ABEADF(SAS).(2)四边形AECF是菱形.理由:连接AC交BD于点O,图略.则ACBD,OA=OC,OB=OD.又BE=DF,OE
15、=OF,四边形AECF是菱形.17.解:(1)四边形ACCA为菱形.理由如下:ABC是由ABC平移得到的,AACC且AA=CC,四边形ACCA是平行四边形,AAC=ACC.CD平分ACC,ACA=ACC,AAC=ACA,AC=AA,四边形ACCA为菱形.(2)B=90,cosBAC=,=.AB=24,AC=26,BC=10,CB=CC-BC=AC-BC=16.18.B解析 作点F关于CD的对称点F,易证四边形EFGH为平行四边形,AEHCGF,AH=CF=CF.当H,G,F三点共线时,GH+GF最小,即GH+GF最小.过点F作点FMAD,交AD延长线于点M.则HM=5,FM=10,根据勾股定理
16、可求得HF=5,所以GH+GF为5,即四边形EFGH周长的最小值为10.19.2解析 在RtABC中,ACB=90,BC=6,CD是斜边AB上的中线,CD=AB=DA=DB.令B=x,则DCB=B=x,由翻折知,DE=DB,ECD=DCB=x=CED.DEAC,ACE=CED=x.由ACB=90,得3x=90,x=30,从而B=30,于是AC=AB.在RtABC中,tanB=,得AC=BCtanB=6tan30=2.AB=2AC=4,ED=BD=AB=2,AC=DE,又ACDE,从而四边形ACDE是平行四边形.又CD=DE,四边形ACDE是菱形.AE=AC=2.20.解析 (1)可先求出AFC
17、=AFD=90,然后证明AEBAFD即可;(2)先求出EAP=FAQ,再证明AEPAFQ即可;(3)可以分三个不同的层次,直接求菱形本身其他内角的度数或边的长度,也可求菱形的周长.可求PC+CQ,BP+QD,APC+AQC的值.可求四边形APCQ的面积、ABP与AQD的面积和、四边形APCQ周长的最小值等.解:(1)证明:如图,在菱形ABCD中,B+C=180,B=D,AB=AD,EAF=B,C+EAF=180,AEC+AFC=180.AEBC,AEB=AEC=90,AFC=90,AFD=90,AEBAFD,AE=AF.(2)证明:如图,PAQ=EAF=B,EAP=EAF-PAF=PAQ-PAF=FAQ.AEBC,AFCD,AEP=AFQ=90.AE=AF,AEPAFQ,AP=AQ.(3)答案不唯一,举例如下:层次1:求D的度数.答案:D=60.分别求BAD,BCD的度数.答案:BAD=BCD=120.求菱形ABCD的周长.答案:16.分别求BC,CD,AD的长.答案:4,4,4.层次2:求PC+CQ的值.答案:4.求BP+QD的值.答案:4.求APC+AQC的值.答案:180.层次3:求四边形APCQ的面积.答案:4.求ABP与AQD的面积和.答案:4.求四边形APCQ周长的最小值.答案:4+4.
