1、四川省棠湖中学2021届高三数学上学期开学考试试题 文一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则 ABCD2已知复数满足，则在复平面内对应的点位于 A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3在某技能测试中，甲乙两人的成绩（单位：分）记录在如下的茎叶图中，其中甲的某次成绩不清晰，用字母代替已知甲乙成绩的平均数相等，那么甲乙成绩的中位数分别为 A20 20B21 20C20 21D21 214已知，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5已知实数x，y满足约束条件，则A有最小值0B有最
2、大值C有最大值0D无最小值6某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是ABCD7某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位：）是（ ）ABC D8如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动若，则面积的最大值为 ABCD9已知定义在上的函数，则在上的最大值与最小值之和等于 ABCD10已知数列的前项和满足，则ABCD11已知F为双曲线的左焦点，过点F的直线与圆于A，B两点（A在F，B之间），与双曲线E在第一象限的交点为P，O为坐标原点，
3、若，则双曲线的离心率为ABCD12已知实数、满足，给出五个关系式：其中不可能成立的关系式有；A1个B2个C3个D4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知等比数列中，则的前5项和为_.14若,满足约束条件则的最大值 15过P(1,2)的直线把圆分成两个弓形，当其中劣孤最短时直线的方程为_.16在三棱锥中，两两垂直，三棱锥的侧面积为13，则该三棱锥外接球的表面积为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）在中，角、的对边分别为、，
4、且（1）若，求的值； （2）若，求的值18（12分）某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制如图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列. （1）求的值；（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列列联表，并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平
5、均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替）列联表 男性女性合计消费金额消费金额合计临界值表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828，其中19（12分）如图，四棱锥的侧面是正三角形，且，是中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面，且，求多面体的体积.20（12分）已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为（1）求椭圆的方程；（2）设点均在椭圆上，点在抛物线上，若的重心为坐标原点，且的面积为，求点的坐标21（12分）已知函数（1）若点，为函数与图象的唯一公共点，且两曲线存在以点为切点的公共切线，求的值：（2）若函数有两个零点，求实数的取值范
6、围（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程：（2）已知，点是曲线上一点，点到曲线的最大距离为，求的值23选修45：不等式选讲（10分）已知不等式的解集为.（1）求集合；（2）已知为集合中的最小正整数，若，且，求证：.2020年秋四川省棠湖中学高三开学考试文科数学参考答案1A2A3B4A5A6B7C8C9C10B11D12B13143151617解：（1
7、）在中，由余弦定理，得，即，解得或（舍，所以；（2）由及得，所以，所以18（1）由频率分布直方图可知，由中间三组的人数成等差数列可知，可解得，（2）周平均消费不低于300元的频率为，因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为人.所以列联表为男性女性合计消费金额204060消费金额251540合计4555100所以有的把握认为消费金额与性别有关.（3）调查对象的周平均消费为，由题意，.该名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为395元.19（1）（1）取的中点，连接，因为是中点，所以，且，又因为，所以，即四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）取中点，连接，因为是正三
8、角形，所以，因为平面平面，且交线为，所以平面，因为，所以平面，所以，故，因为是中点，所以点到平面的距离等于，所以多面体的体积为：.20（1）根据题意得，又因为，解得，则，所以椭圆的方程为：；（2）设，联立椭圆方程，可得， 设，可得，由在抛物线上，可得，则 ，由，则，可得，将代入整理可得，解得或，相应的或1所以，或21（1）由题意可知，与图象的在唯一公共点处的切线相同，又因为，所以，即，由可得或，由点唯一可得或，即或，由可得，综上可得，；（2）由，则，若即时，在上单调递减，在上单调递增，因为时，且（2），故要使得有2个零点，只有（1）即，当时，只有一个零点，故若，即时，当时，在上单调递增，不符合
9、题意；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且时，且（1），故要使得有2个零点，则，即，令（a），则，故（a）在上单调递增，且，故（a）在上恒成立，不可能有2个零点，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且（1），故不可能有2个零点，综上22（1）曲线的参数方程为为参数，转换为直角坐标法方程为曲线的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为（2）设点是曲线上一点，则点到曲线的距离，由于，所以，则：由点到曲线的最大距离为，所以的最大值为4，由于，所以，则，即，故23（1）等价于或或，解得或或，则；（2）证明：由（1）可得，且，则，（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），则，（当且仅当时等号成立），即.
