1、第二节两直线的位置关系热点命题分析学科核心素养本节内容单独考查较少，多与其他知识交汇考查常涉及充要条件、直线与圆锥曲线的位置关系等内容，多为选择题.通过两直线的位置关系、对称问题的考查，提升数学运算核心素养.授课提示：对应学生用书第152页知识点一两直线的位置关系1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1l2k1k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直2两直线相交
2、直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组的解一一对应相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解 温馨提醒 两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况；两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况1已知过点A(2，m)和B(m,4)的直线与直线2xy10平行，则实数m的值为()A0B8C2D10答案：B2已知P(2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m()A1B2C3D4答案：A3(易错题)直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m()A2B3 C2或3D3答
3、案：C知识点二距离公式1两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|.特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|.2点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.3两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离d. 温馨提醒 运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件，盲目套用公式导致出错1已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a()A.1B1 C2D2答案：A2直线2x2y10，xy20之间的距离是
4、()A.B C.D答案：B授课提示：对应学生用书第153页题型一两直线的位置关系自主探究1(2021济南模拟)“m3”是“直线l1：2(m1)x(m3)y75m0与直线l2：(m3)x2y50垂直”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案：A2(2021衡水中学一调)直线l1：(3a)x4y53a和直线l2：2x(5a)y8平行，则a()A7或1B7C7或1D1答案：B3(2021洛阳统一考试)已知b0，直线(b21)xay20与直线xb2y10垂直，则ab的最小值为()A1B2C2D2答案：B两直线位置关系的三种判断方法方法平行垂直适合题型化成斜截式k1k2
5、，且b1b2k1k21斜率存在一般式设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1B2A2B10，且B1C2B2C10设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1A2B1B20无限制直接法k1与k2都不存在，且b1b2k1与k2中一个不存在，另一个为零k不存在题型二距离问题自主探究1(2020高考全国卷)点(0，1)到直线yk(x1)距离的最大值为()A1BC.D2答案：B2过点P(3，1)引直线，使点A(2，3)，B(4,5)到它的距离相等，则这条直线的方程为()Ax3B4xy130C4xy130Dx3或4xy130答案：D3(2021厦门模
6、拟)若两平行直线3x2y10,6xayc0之间的距离为，则c的值是()A2B2C2或6D6答案：C4(2021广州模拟)已知点P(4，a)到直线4x3y10的距离不大于3，则a的取值范围是()A0,10B(0,10)C0,5D5,10答案：A距离问题的常见题型及解题策略(1)求两点间的距离关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可(2)解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在(3)求两条平行线间的距离要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解也可以转化成点到直线的距离问题题型三对
7、称问题多维探究对称问题是高考常考内容之一，也是考查转化能力的一种常见题型常见的命题角度有：(1)点关于点对称；(2)点关于线对称；(3)线关于线对称.考法(一)点关于点对称例1过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_解析设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为：x4y40.答案x4y40点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P(x，y)满足考法(二)点关于线对
8、称例2(2021长沙一调)已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_解析设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为，即6xy60.答案6xy60解决点关于直线对称的问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直.考法(三)线关于线对称例3已知直线l：xy10，l1：2xy20.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是()Ax2y10Bx2y10Cxy10Dx2y10答案B线关于线
9、的对称的求解方法(1)若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解(2)若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴对称的对称点，最后由两点式求解.对点训练已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程解析：(1)设A(x，y)，由已知得解得所以A.(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上设M(a，b)，则解得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,
10、3)又因为m经过点N(4,3)，所以由两点式得直线m的方程为9x46y1020.(3)设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，因为P在直线l上，所以2(2x)3(4y)10，即2x3y90.两直线位置关系应用中的核心素养数学运算直线系方程的应用1平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系例1求与直线3x4y50平行且过点(2,3)的直线l的方程答案3x4y180先设与直线AxByC0平行的直线系方程为AxByC10(C1C)，再由其他条件求C1.2垂直直线系由于直线A1x
11、B1yC10与A2xB2yC20垂直的充要条件为A1A2B1B20，因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系，可以考虑用直线系方程求解例2求经过A(2,4)，且与直线2xy10垂直的直线l的方程答案x2y60先设与直线AxByC0垂直的直线系方程为BxAyC10，再由其他条件求出C1.3过直线交点的直线系例3过直线x2y10与直线2xy10的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_解析设所求直线方程为x2y1(2xy1)0，当直线过原点时，10得，1，此时所求直线方程为x3y0；当直线不过原点时，令x0，得y，令y0，得x.由题意得，解得或1(舍)此时所求直线方程为5x5y40.
12、综上所述，所求直线方程为x3y0或5x5y40.答案x3y0或5x5y40过直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(为参数)，其中不包括直线l2.4过定点的直线系例4直线(m1)x(m3)y(m11)0(m为常数)恒过定点的坐标为_答案1.过定点(x0，y0)的直线系方程为yy0k(xx0)(k为直线的斜率)或A(xx0)B(yy0)0(A、B不同时为0)2求直线系过定点问题的常用方法恒等式法：将直线方程化为参数的恒等式形式，利用参数取值的任意性，得关于x，y的方程组求出定点坐标特殊直线法：给出任意两个参数值，得到两条直线，求其交点即为定点题组突破1与直线x2y30平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程是_答案：x2y402直线mxym10(m为参数)经过定点的坐标为_答案：(1,1)3过直线x2y40和直线xy20的交点，且与直线3x4y50垂直的直线方程为_答案：4x3y60
