1、高考资源网（） 您身边的高考专家河南省新乡、许昌、平顶山2013届高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A=xR|x2=x，B=xR|x3=x，则集合AB的子集个数为（）A1B2C4D8考点：并集及其运算；子集与真子集3801346专题：阅读型分析：把集合A和集合B化简后求出AB，写出AB的所有子集即可得到答案解答：解：因为A=xR|x2=x=0，1，B=xR|x3=x=1，0，1，所以AB=1，0，1，所以其子集有：，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1共8个故选D点评
2、：本题并集及其运算，考查了子集与真子集，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型2（5分）在复平面内复数，对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（）A1BCiDi考点：复数的代数表示法及其几何意义3801346专题：计算题分析：由复数的代数运算可化简AB的坐标，进而由中点坐标公式可得C的坐标，可得对应的复数解答：解：=，同理可得=，由中点坐标公式可得C：=故点C对应的复数是故选B点评：本题考查复数的代数运算和几何意义，属基础题3（5分）（2012许昌模拟）设函数f（x）=sin2（x+）cos2（x+）（xR），则函数f（x）是（）A最小正周期为的奇函数B最小正周期
3、为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法3801346专题：三角函数的图像与性质分析：利用倍角公式及诱导公式，化简函数的解析式，进而求出其周期，并判断其奇偶性，可得答案解答：解：函数f（x）=sin2（x+）cos2（x+）=cos2（x+）=cos（2x+）=sin2x=2，函数f（x）的最小正周期T=又f（x）=sin（2x）=sin2x=f（x）故f（x）为奇函数故函数f（x）是最小正周期为的奇函数故选A点评：本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换，三角函数的周期性，三角函数的奇偶性，其中利用倍角公式及诱导公式，化简函
4、数的解析式，是解答本题的关键4（5分）（2012许昌县一模）一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）ABCD考点：由三视图求面积、体积3801346专题：计算题分析：三视图复原的几何体，下部是放倒的四棱柱，上部是正方体，根据三视图的数据，求出几何体的表面积解答：解：三视图复原的几何体，下部是放倒的四棱柱，底面是直角梯形，边长分别为：3，2，1，；高为：1；上部是正方体，也可以看作是三个正方体和半个正方体的组合体，所以几何体的体积为：313+=，故选C点评：本题是基础题，考查几何体的三视图的视图能力，计算能力，空间想象能力，转化思想的应用5（5分）（2012许昌模
5、拟）曲线y=x与y=围成的图形的面积为（）ABCD考点：定积分3801346专题：计算题分析：联立两个解析式得到两曲线的交点坐标，然后对函数解析式求定积分即可得到曲线y=x与y=所围成的图形的面积解答：解：联立的：因为x0，所以解得x=0或x=1所以曲线y=x与y=所围成的图形的面积S=01（x）dx=x2|01=故选C点评：本题主要考查了点定积分，解题的关键是理解定积分在求面积中的应用，会求一个函数的定积分，属于基础题6（5分）（2012许昌模拟）设向量，均为非零向量，（+2），（+2），则，的夹角为（）ABCD考点：数量积表示两个向量的夹角3801346专题：计算题分析：由已知（+2），（
6、+2），可得（+2）=0，（+2）=0，进而根据向量的夹角公式可求答案解答：解：（+2），（+2），（+2）=0，（+2）=0，即=2=2，cos=故选D点评：本题主要考查了平面向量的数量积的性质：若=0=0的应用，即若知道向量垂直，则可得向量的数量积为07（5分）（2012许昌模拟）如果双曲线=1（m0，n0）的渐近线方程渐近线为y=x，则椭圆的离心率为（）ABCD考点：圆锥曲线的共同特征3801346专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线的渐近线方程，确定m，n的关系，再确定椭圆几何量之间的关系，即可求得结论解答：解：由题意，m=4n椭圆中，a2=m=4n，b2=nc2=
7、mn=4nn=3ne=故选A点评：本题考查双曲线、椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题8（5分）（2012许昌县一模）若是锐角，且cos（）=，则sin的值等于（）ABCD考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系3801346专题：计算题分析：由于=（+），利用两角差的正弦即可求得sin的值解答：解：是锐角，+，又cos（）=，sin（+）=sin=sin（+）=sin（+）coscos（）sin=（）=故选A点评：本题考查两角和与差的正弦，求得sin（+）是基础，考查转化与运算能力，属于中档题9（5分）（2012许昌县一模）某学校对高一新生的体重进行了抽样调查右图是根据
8、抽样调查后的数据绘制的频率分布直方图，其中体重（单位：kg）的范围是45，70，样本数据分组为45，50），50，55），55，60），60，65），65，70，已知被调查的学生中体重不足55kg的有36，则被调查的高一新生体重在50kg至65kg的人数是（）A90B75C60D45考点：用样本的频率分布估计总体分布3801346专题：计算题；概率与统计分析：先确定样本容量，再根据被调查的高一新生体重在50kg至65kg的频率，即可求得结论解答：解：由题意可知：被调查的学生中体重不足55kg的频率是（0.04+0.02）5=0.3，样本容量是=120被调查的高一新生体重在50kg至65kg的人
9、数是（0.04+0.06+0.05）5120=90故选A点评：本题是对频率、频数运用的简单考查，考查学生的读图能力，属于基础题10（5分）（2012许昌模拟）已知a0，则f（x）=lg（ax2bxc）的值域为R的充要条件是（）Ax0R，ax02bx0+cBx0R，ax02bx0+cCxR，ax2bx+cDxR，ax2bx+c考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断3801346专题：函数的性质及应用分析：已知a0，则f（x）=lg（ax2bxc）的值域为R，就是g（x）=ax2+ax+1的值域为0，+），本题中函数f（x）=lg（ax2bxc）的值域为R故内层函数的定义域不是全体实数，可由0保
10、障 f（x）=lg（ax2bxc）的值域为R定义域不是全体实数，从而求出a的范围；解答：解：a0，则f（x）=lg（ax2bxc）的值域为R，令g（x）=ax2bxc，g（x）=ax2bxc的值域为0，+），=（b）24a（c）=b2+4ac0，说明方程ax2bxc=0，有实数根，与x轴有交点，也即x0R，ax02bx0c0，若x0R，ax02bx0+c，说明存在x0使得g（x）=ax2bxc0，又a0，开口向上，g（x）与x轴有交点，可得0，所以f（x）=lg（ax2bxc）的值域为R，故f（x）=lg（ax2bxc）的值域为R的充要条件是：x0R，ax02bx0+c，故选B；点评：本题考查
11、二次函数的性质，难点在于对g（x）=ax2bxc的值域为0，+）的理解与应用，常与函数f（x）=lg（ax2bxc）的定义域为R相混淆，也是易错点，属于中档题11（5分）（2012许昌模拟）已知（12x）8=a0+a1x+a2x2+a8x8，则a1+2a2+3a3+8a8=（）A8B8C16D16考点：二项式定理3801346专题：计算题分析：利用导数法与赋值法可求得a1+2a2+3a3+8a8的值解答：解：（12x）8=a0+a1x+a2x2+a8x8，两端求导得：8（12x）7（2）=a1+2a2x+3a3x2+8a8x7，令x=1得：a1+2a2+3a3+8a8=8（1）（2）=16故选
12、D点评：本题考查导数与二项式定理的应用，对（12x）8=a0+a1x+a2x2+a8x8两端求导是关键，也是难点，属于中档题12（5分）（2012许昌模拟）设x，y满足时，则z=x+y既有最大值也有最小值，则实数a的取值范围是（）Aa1Ba1C0a1Da0考点：简单线性规划的应用3801346专题：数形结合；不等式的解法及应用分析：画出约束条件表示的可行域，利用z=x+y既有最大值也有最小值，利用直线的斜率求出a的范围解答：解：满足的平面区域如下图所示：而xay2表示直线xay=2左侧的平面区域直线xay=2恒过（2，0）点，当a=0时，可行域是三角形，z=x+y既有最大值也有最小值，满足题意
13、；当直线xay=2的斜率满足：，即a0或0a1时，可行域是封闭的，z=x+y既有最大值也有最小值，综上所述实数a的取值范围是：a1故选B点评：本题简单线性规划的应用，直线的斜率，目标函数的最值的求法是解题的关键，考查数形结合与计算能力二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）（2012许昌县一模）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2=3c2，则cosC最小值为考点：余弦定理3801346专题：计算题；解三角形分析：利用余弦定理可得a2+b2=c2+2abcosC，与已知条件a2+b2=3c2联立，再利用基本不等式即可求得cosC最小值解答：解：在ABC中，由余
14、弦定理得：a2+b2=c2+2abcosC，又a2+b2=3c2，c2=（a2+b2）代入式有：a2+b2=（a2+b2）+2abcosC，cosC=（当且仅当a=b时取“=”）cosC最小值为故答案为：点评：本题考查余弦定理与基本不等式的综合应用，属于中档题14（5分）（2012许昌模拟）已知四面体ABCD中三组对棱分别相等，且长分别为2，则四面体ABCD的外接球的半径为考点：球内接多面体；球的体积和表面积3801346专题：空间位置关系与距离分析：由已知中四面体ABCD中，三组对棱棱长分别相等，且其长分别为2，故可将其补充为一个长方体，根据外接球的直径等于长方体的对角线，即可求出球的半径解
15、答：解：四面体ABCD中，三组对棱棱长分别相等，故可将其补充为一个三个面上对角线长分别为2，的长方体，则其外接球的直径2R=2，则R=故答案为：点评：本题考查的知识点是球的体积，其中利用割补法，补充四面体成正方体，进而求出其外接球的半径是解答本题的关键15（5分）（2012许昌县一模）甲、乙两名同学从四门选修课中各选修两门，则两人所选课程中恰有一门相同的概率为考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率3801346专题：概率与统计分析：甲、乙两名同学从四门选修课中各选修两门的基本事件的总数为=36，两人所选课程中恰有一门相同的事件包含的基本事件的个数为=24，据此即可得出答案解答：解：设四门选
16、修课分别为a，b，c，d甲、乙两名同学从四门选修课中各选修两门分别有以下6种情况：ab，ac，ad，bc，bd，cd所以共有=36个基本事件则两人所选课程中恰有一门相同的情况包括以下情况：（ab，ac），（ac，ab），（ab，ad），（ad，ab），（ac，ad），（ad，ac），；（ba，bc），（bc，ba），（ba，bd），（bd，ba），（bc，bd），（bd，bc）；（ca，cb），（cb，ca），（ca，cd），（cd，ca），（cb，cd）；（da，db），（db，da），（da，dc），（dc，da），（db，dc），（dc，db）等共有基本事件的个数为=24设两人所选课程中
17、恰有一门相同的事件为P，则P=故答案为点评：正确列举总的基本事件个数及该事件所包含的基本事件的个数是解题的关键16（5分）（2012许昌模拟）若关于x的方程有四个不同的实根，则实数k的取值范围是k1考点：根的存在性及根的个数判断3801346专题：数形结合；函数的性质及应用分析：由于关于x的方程有四个不同的实根，x=0是此方程的1个根，故关于x的方程有3个不同的非零的实数解，即方程=有3个不同的非零的实数解，构造函数，利用数形结合的方法，即可求得结论解答：解：由于关于x的方程有四个不同的实根，x=0是此方程的1个根，故关于x的方程有3个不同的非零的实数解方程=有3个不同的非零的实数解，即函数y
18、=的图象和函数g（x）=的图象有3个交点，画出函数g（x）的图象，如图所示：故01，解得k1，故答案为：k1点评：本题考查了方程的根与函数交点的相互转化，考查函数与方程思想，考查数形结合思想在解题中的应用，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（8分）（2012许昌县一模）根据如图的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，x2013；y1，y2，y2013（）写出数列xn，yn的通项公式（不要求写出求解过程）（）求数列xnyn的前n项和Sn（n2013）考点：数列的求和；程序框图3801346专题：计算题分析：（）通过程序框图可得到xn=2n1，yn=3n1
19、，（n2013）；（）依题意，利用分组求和的方法即可求得数列xnyn的前n项和Sn（n2013）解答：解：（）xn=2n1，yn=3n1，（n2013）（）xnyn=2n3n，Sn=（2+4+6+2n）（3+32+33+3n）=n（n+1）（n2013）点评：本题考查程序框图与数列的求和，识图是关键，考查分析与运算、识图的能力，属于中档题18（8分）（2012许昌模拟）已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，BAD=CBA=90，面 PAB面ABCD，PA=PB=AB=AD=2，BC=1（）求证：PDAC；（）若点M是棱PD的中点求二面角MACD的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；
20、直线与平面垂直的性质3801346专题：综合题；空间向量及应用分析：（）取AB中点E，先证明PE面ABCD，可得PEAC，证明ACED，可得AC平面PED，从而PDAC；（）在平面ABCD内，过点E作EGAB，以E为坐标原点，EB，EG，EP分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，确定平面MAC、平面ACD的法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角MACD的余弦值解答：（）证明：取AB中点E，连接PE，DE，AC，设ACDE=FPA=PB，E是AB中点，PEAB面 PAB面ABCD，面 PAB面ABCD=AB，PE面ABCD，PEAC在直角ABC与直角DAE中，ABCDAE，AED=ACBA
21、ED+BAC=90，ACEDPEAC，PEED=EAC平面PEDPD平面PEDPDAC；（）在平面ABCD内，过点E作EGAB，以E为坐标原点，EB，EG，EP分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则M（），A（1，0，0），C（1，1，0），D（1，2，0），=设平面MAC的法向量为=（x，y，z），则由，可得，可取=（1，2，）又平面ACD的法向量为=（0，0，1）二面角MACD的余弦值为=点评：本题考查面面垂直，考查线面垂直、面面角，考查利用向量知识解决立体几何问题，正确求平面的法向量是关键19（8分）（2012许昌模拟）某次体育比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场比赛即
22、结束甲，乙两个代表队最终进入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如下表：出场顺序1号2号3号4号5号获胜概率pq若甲队横扫对手获胜（即3：0获胜）的概率是，比赛至少打满4场的概率为（）求p，q的值；（）求甲队获胜场数的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；概率的基本性质3801346专题：综合题；概率与统计分析：（）利用甲队横扫对手获胜（即3：0获胜）的概率是，比赛至少打满4场的概率为，建立方程组，即可求p，q的值；（）求得甲队获胜场数的可能取值，求出相应的概率，可得分布列和数学期望解答：解：（）由题意p=q=；（）设甲队获胜场数
23、为，则的可取的值为0，1，2，3P（=0）=；P（=1）=；P（=2）=；P（=3）=+=的分布列为 0 1 23 PE=0+1+2+3=点评：本题考查概率知识的运用，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题20（8分）（2012许昌县一模）在平面直角坐标系xOy中，点P（0，1），点A在x轴上，点B在y轴非负半轴上，点M满足：=2，=0（）当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；（）设Q为曲线C上一点，直线l过点Q且与曲线C在点Q处的切线垂直，l与C的另一个交点为R，若以线段QR为直径的圆经巡原点，求直线l的方程考点：圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的综合
24、问题3801346专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）利用=2，可得坐标之间的关系，利用=0，即可求得C的方程；（）设出直线l的方程与y=2x2联立，利用韦达定理，结合，可得结论解答：解：（）设A坐标是（a，0），M坐标是（x，y），B（0，b），则=（xa，y），=（a，b），=（a，1）=2，有（xa，y）=2（a，b），即有xa=2a，y=2b，即x=a，y=2b=0，有a（xa）+y=0x（x+x）+y=0，2x2+y=0即C的方程是y=2x2；（）设Q（m，2m2），直线l的斜率为k，则y=4x，k=直线l的方程为y2m2=（xm）与y=2x2联立，消去y可得2x2+x
25、2m2=0，该方程必有两根m与xR，且mxR=m2（2m2）yR=4（m2）2，mxR+（2m2）yR=0，m2+4（m2）2=0，m=直线l的方程为点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与抛物线的位置关系，正确运用向量知识是关键21（8分）（2012许昌模拟）已知函数f（x）=lnxx+ax2（I）试确定实数a的取值范围，使得函数f（x）在定义域内是单调函数；（II）证明：考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质3801346专题：导数的概念及应用分析：（）使得函数f（x）在定义域内是单调函数，则有f（x）0或f（x）0在定义域内恒成立，由此可求a的范围；（）利用（）问
26、结论，令a=1，此时f（x）0对x（0，1）恒成立，由此构造不等式，再令x=，对进行放缩变形即可解答：（）解：定义域为（0，+）f（x）=令g（x）=2ax2x+1，g（0）=1，g（x）0对x（0，+）恒成立即对x（0，+）恒成立令h（x）=a，此时f（x）在（0，+）上为单调递增函数（）证明：取a=1，由（）知此时f（x）在（0，1）上为单调递增函数f（1）=0，f（x）0对x（0，1）恒成立，即xlnxx2取x=，（0，1），=点评：本题考查导数的应用，一是研究函数单调性，二是证明不等式，证明不等式的关键是利用条件恰当构造不等式，对能力要求较高22（10分）（2012许昌县一模）如图所示
27、四边形ABCD内接于E、O，AC交BD于点E，圆的切线DF交BC的延长线于F，CD平分BDF（）求证：ABAD=ACAE（）若圆的半径为2，弦BD长为2，求切线DF的长考点：与圆有关的比例线段3801346专题：综合题；直线与圆分析：（）证明CDABEA，可得，从而可得结论；（）连接OD，OB，利用OD=OB=2，BD=2，可得BCD=120，从而可得BFD=90，即可求切线DF的长解答：（）证明：由弦切角定理可知CDF=CADCDB=CAB，FDC=BDCCAD=EABACD=ABDCDABEAABAD=ACAE；（）解：连接OD，OB在BOD中，OD=OB=2，BD=2，BCD=120CB
28、D=BDC=CDF=30BFD=90在直角BFD中，DF=切线DF的长为点评：本题考查三角形相似的判定，考查弦切角定理，考查学生的计算能力，属于中档题23（10分）（2012许昌县一模）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知点P的极坐标为（，），直线l过点P，且倾斜角为，方程=1所对应的曲线经过伸缩变换后的图形为曲线C（）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标系方程（）直线l与曲线C相交于两点A，B，求|PA|PB|的值考点：椭圆的参数方程；参数方程化成普通方程3801346专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）确定P的直角坐标，利用直线l过点P，且倾斜角为，
29、可得直线l的参数方程；确定坐标之间的关系，代入方程，化简可得结论；（）直线l的参数方程，代入曲线方程，利用参数的几何意义，即可求|PA|PB|的值解答：解：（）P的直角坐标为（1，1）直线l过点P，且倾斜角为，直线l的参数方程为（t为参数）伸缩变换，代入=1，可得，即x2+y2=4曲线C的直角坐标系方程为x2+y2=4；（）直线l的参数方程为，代入曲线C可得t2+（）t2=0设方程的根为t1，t2，则t1+t2=；t1t2=2|PA|PB|=|t1|t2|=2点评：本题考查直线的参数方程，考查代入法求轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查参数的几何意义，属于中档题24（10分）（2012许昌
30、县一模）已知实数a0且函数f（x）=|x2a|x+a|的值域为P=y|3a2y3a2（）求实数a的值；（）若至少存在一个实数m，使得f（m）f（1m）n成立，求实数n的取值范围考点：带绝对值的函数3801346专题：计算题分析：（1）根据绝对值的性质，|a|b|a+b|a|+|b|可得|x2a|x+a|3a，进而根据函数的值域为P，求出a值；（2）由（1）构造函数h（m）=f（m）f（1m），并结合绝对值的性质，求出函数的最大值，进而得到实数n的取值范围解答：解：（I）实数a0|x2a|x+a|x2a+（xa）|=|3a|=3a3a|x2a|x+a|3a由函数f（x）=|x2a|x+a|的值域为P=y|3a2y3a23a2=3a解得a=1（II）f（x）=|x2|x+1|h（m）=f（m）f（1m）=（|m2|m+1|）（|1m2|1m+1|）=|m2|m+1|m1|+|m+2|=2（|m2|m+1|）=故h（m）的最小值为6若至少存在一个实数m，使得f（m）f（1m）n成立，仅须n6点评：本题考查的知识点是带绝对值的函数，其中熟练掌握绝对的性质|a|b|a+b|a|+|b|是解答的关键高考资源网版权所有，侵权必究！
