1、第八章 立体几何第五讲空间角与距离、空间向量及应用练好题考点自测1.2020安徽省阜阳市模拟在空间直角坐标系中,A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,zR),若A,B,C,D四点共面,则()A.2x+y+z=1 B.x+y+z=0C.x-y+z=-4 D.x+y-z=02.广东高考,5分已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60夹角的是()A.(-1,1,0) B.(1,-1,0)C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)3.下列说法正确的是()A.直线的方向向量是唯一确定的B.若直线a的方向向量和平面的法向量平行,则aC.若两平面的法
2、向量平行,则两平面平行D.若直线a的方向向量与平面的法向量垂直,则a4.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC的一个法向量的是()A.(-1,1,1) B.(1,-1,1)C.(-,-,-) D.(,-)5.2020四川五校联考已知四面体ABCD中,平面ABD平面BCD,ABD是边长为2的等边三角形,BD=DC,BDCD,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为()A. B. C. D.6.2019全国卷,5分已知ACB=90,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到ACB两边AC,BC的距离均为,那么P到平面ABC的距离为.图8-5-17.2020天津,1
3、5分如图8-5-1,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1平面ABC,ACBC,AC=BC=2,CC1=3,点D,E分别在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M为棱A1B1的中点.()求证:C1MB1D.()求二面角B-B1E-D的正弦值.()求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值.拓展变式1.2020山东,12分如图8-5-10,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.图8-5-10 (1)证明:l平面PDC.(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.2.2020全国卷,12分如图8-5-14,在
4、长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.(1)证明:点C1在平面AEF内.(2)若AB=2,AD=1,AA1=3,求二面角A-EF-A1的正弦值.图8-5-143.2021山东新高考模拟如图8-5-23,将长方形OAA1O1(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,其中OA=1,OO1=2,图8-5-23的长为,AB为O的直径.(1)在上是否存在点C(C,B1在平面OAA1O1的同侧),使得BCAB1,若存在,请确定其位置;若不存在,请说明理由.(2)求二面角A1-O1B-B1的余弦值.4.2021河北省六校第一次联考如图8-5-27
5、(1),在RtABC中,B为直角,AB=BC=6,EFBC,AE=2,沿EF将AEF折起,使AEB=,得到如图8-5-27(2)所示的几何体,点D在线段AC上. 图8-5-27(1)求证:平面AEF平面ABC.(2)若AE平面BDF,求直线AF与平面BDF所成角的正弦值.答 案第五讲空间角与距离、空间向量及应用1.A由题意可得=(0,1,-1),=(-2,2,2),=(x-1,y-1,z+2).A,B,C,D四点共面,存在实数,使得=+,即(x-1,y-1,z+2)=(0,1,-1)+(-2,2,2),解得2x+y+z=1,故选A.2.B设选项中的向量与a的夹角为,对于选项A,由于cos =-
6、,此时夹角为120,不满足题意;同理可知选项C,D不满足题意;对于选项B,由于cos =,此时夹角为60,满足题意.故选B.3.CA中,直线的方向向量不是唯一的,有无数多个,故A错误;B中,由条件得a,故B错误;D中,由条件得,a或a,故D错误.易知C正确,选C.4.C由题意,得=(-1,1,0),=(-1,0,1),设n=(x,y,z)为平面ABC的法向量,则即可得x=y=z.故选C.5.A由题意知CD平面ABD.以D为坐标原点,DC所在直线为x轴,DB所在直线为y轴建立如图D 8-5-1所示的空间直角坐标系,则A(0,1,),C(2,0,0),B(0,2,0),D(0,0,0),=(2,-
7、1,-),=(0,-2,0),设异面直线AC与BD所成的角为,则cos =,所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为,故选A.图D 8-5-16.如图D 8-5-2,过点P分别作PEBC交BC于点E,作PFAC交AC于点F.由题意知PE=PF=.过P作PH平面ABC于点H,连接HE,HF,HC,易知HE=HF,则易得点H在ACB的平分线上,又ACB=90,故CEH为等腰直角三角形.在RtPCE中,PC=2,PE=,则CE=1,故CH=,在RtPCH中,可得PH=,即点P到平面ABC的距离为.图D 8-5-27. 依题意,以C为原点,分别以,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图
8、D 8-5-3), 可得C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,3),A1(2,0,3),B1(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3).图D 8-5-3()依题意,=(1,1,0),=(2,-2,-2),从而=2-2+0=0,所以C1MB1D.()依题意,=(2,0,0)是平面BB1E的一个法向量,=(0,2,1),=(2,0,-1).设n=(x,y,z)为平面DB1E的法向量,则即不妨设x=1,可得n=(1,-1,2).因此有cos,n=,于是sin,n=.
9、所以二面角B-B1E-D的正弦值为.()依题意,=(-2,2,0).由()知n=(1,-1,2)为平面DB1E的一个法向量,于是cos=-.所以,直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为.1.(1)因为PD底面ABCD,所以PDAD.又底面ABCD为正方形,所以ADDC.又PDDC=D,因此AD平面PDC.因为ADBC,AD平面PBC,所以AD平面PBC.由已知得lAD.因此l平面PDC.(2)以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图D 8-5-4所示的空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),=(0,1,0),=(1,1,-1).图
10、D 8-5-4由(1)可设Q(a,0,1),则=(a,0,1).设n=(x,y,z)是平面QCD的法向量,则即可取n=(-1,0,a).所以cos= .设PB与平面QCD所成角为,则sin =.因为,当且仅当a=1时等号成立,所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为.2.如图D 8-5-5,以C1为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系C1-xyz.图D 8-5-5 (1)设AB=a,AD=b,AA1=c,连接C1F,则C1(0,0,0),A(a,b,c),E(a,0,c),F(0,b,c),=(0,b,c),=(0,b,c),得=,因此EAC1F,即A,E,F,C1四点共面,所
11、以点C1在平面AEF内.(2)由已知得A(2,1,3),E(2,0,2),F(0,1,1),A1(2,1,0),=(0,-1,-1),=(-2,0,-2),=(0,-1,2),=(-2,0,1).设n1=(x1,y1,z1)为平面AEF的法向量,则即可取n1=(-1,-1,1).设n2=(x2,y2,z2)为平面A1EF的法向量,则即可取n2=(,2,1).因为cos=-,所以二面角A-EF-A1的正弦值为.3.(1)存在符合题意的点C,当B1C为圆柱OO1的母线时,BCAB1.下面给予证明:在上取点C,使B1C为圆柱的母线,则B1CBC,如图D 8-5-6,连接BC,AC,因为AB为O的直径
12、,所以BCAC,又B1CAC=C,所以BC平面AB1C.因为AB1平面AB1C,所以BCAB1.图D 8-5-6(2)取的中点D(D,B1在平面OAA1O1的同侧),连接OD,OC,由题意可知,OD,OA,OO1两两垂直,故以O为坐标原点,以OD,OA,OO1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图D 8-5-6所示的空间直角坐标系O-xyz,因为的长为,所以AOC=A1O1B1=,则O1(0,0,2),B(0,-1,0),B1(,2),D(1,0,0),所以=(0,-1,-2),=(,0).设平面O1BB1的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,得n=(2,-2,1).易知=(1,0,0)
13、为平面O1A1B的一个法向量.设二面角A1-O1B-B1的大小为,由图D 8-5-6可知为锐角,则cos =.所以二面角A1-O1B-B1的余弦值为.4.(1)在ABE中,AE=2,BE=4,AEB=,由余弦定理得AB2=AE2+BE2-2AEBEcosAEB=4+16-224=12,AB=2,EB2=EA2+AB2,EAB=,即EAAB.易知EFEB,EFEA,EAEB=E,EF平面ABE,又AB平面ABE,EFAB.又EAEF=E,EA,EF平面AEF,AB平面AEF,又AB平面ABC,平面AEF平面ABC. (2)如图D 8-5-7,以A为原点,AB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴,过
14、点A垂直于平面ABE的直线为z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),E(0,2,0),F(0,2,2),C(2,0,6),=(0,2,2),=(2,-2,-2),=(2,0,6).图D 8-5-7连接EC,与FB交于点G,连接DG,AE平面BDF,DG为平面AEC与平面BDF的交线,AEGD,=,在四边形BCFE中,EFBC,EFGCBG,=3,=3,=.设D(x0,y0,z0),则=(x0,y0,z0),由=,得D(,0,),=(,-2,-).设平面BDF的法向量为n=(x,y,z),则取x=1,则z=,y=0,n=(1,0,)为平面BDF的一个法向量.设直线AF与平面BDF所成的角为,则sin =,即直线AF与平面BDF所成角的正弦值为.
