1、2020年石嘴山市三中11月月考数学试卷（文科）2020.11.27一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 集合，集合，全集为，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A. B. C. D. 2. 最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，如图所示，满足“勾三股四弦五”，其中股，为弦上一点（不含端点），且满足勾股定理，则（ ）A. B. C. D. 3. 若，则等于（ ）A. B. C. D. -34. 若函数与函数在公共点处有共同的切线，则实数的值为（ ）A. 4B. C. D. 5. 已知，为的三个内角，的对边，向量，若，且，则角，的大小分别为（
2、 ）A. ，B. ，C. ，D. ，6. 已知向量与的夹角为，当时，实数为（ ）A. 1B. 2C. D. 7. 函数的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 8. 已知，则等于（ ）A. B. C. D. 9. 已知等差数列的公差为2，若，成等比数列，那么等于（ ）A. 2B. 1C. -1D. -210. 毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据“勾股定理”所画出来的一个可以无限重复的图形，也叫“勾股树”，其是由一个等腰直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到.图1所示是第1代“勾股树”，重复图1的作法，得到第2代“勾股树”（如图2），如此继续.若“勾股树”上共得到8191个正方形，设初始
3、正方形的边长为1，则最小正方形的边长为（ ）A. B. C. D. 11. 设函数的图象为，下面结论中正确的是（ ）A. 函数的最小正周期是B. 图象关于点对称C. 图象向右平移个单位后关于原点对称D. 函数在区间上是增函数12. 数列满足，则数列的前40项和为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若平面向量与的夹角是，且，则等于_.14. 已知数列的前项和满足，则其通项_.15. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数，则的表达式为_.16. 在中，、所对的边分别为、，已知三个内角度数之比，那么三边长之比等于_.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分
4、）17. 已知平面向量，.（1）若，求的值；（2）若，求.18. 等差数列满足，.（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足，求数列的前项和.19. 为建设美丽新农村，某村对本村布局重新进行了规划，其平面规划图如图所示，其中平行四边形区域为生活区，为横穿村庄的一条道路，区域为休闲公园，的外接圆直径为.（）求道路的长；（）该村准备沿休闲公园的边界修建棚栏，以防村中的家畜破坏公园中的绿化，试求栅栏总长的最大值.20. 已知函数，是的一个极值点，求：（1）实数的值；（2）在区间上的最大值和最小值.21. 佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产
5、这种机器的月固定成本为400万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）.若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完.（）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式；（）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.22. 已知函数.（）当时，求在上最值；（）若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围.2020年石嘴山市三中11月月考数学试卷（文科）答案和解析一、选择题1-5：AAACC6-10：CDDAB11-12：BD【解析】1. 解：集合，集合，图中阴影部分表示的集合是.故选A. 由已知中的韦恩图，我们可得图中阴影部分
6、表示的集合是，根据已知中的集合，可得答案.本题考查的知识点是Venn图表达集合的关系及运算，其中分析出图中阴影部分表示的集合是，是解答本题的关键.2. 解：根据题意，满足“勾三股四弦五”，其中股，则为，且，满足勾股定理，则为，且，则有，又由，则，故选：A.根据题意，可得中，由相似三角形的性质可得，而，即可得答案.本题考查向量夹角的计算，注意向量夹角的定义，属于基础题.3. 【分析】由已知展开两角差的正切求得，再由万能公式求得的值.本题考查三角函数的化简求值，考查了万能公式的应用，是基础题.【解答】解：由，得，即，解得，.故选：A.4. 解：由已知得，设切点横坐标为，解得，.故选：C.根据公共点
7、处函数值相等、导数值相等列出方程组求出的值和切点坐标，问题可解.本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力，属于基础题.5. 【分析】本题考查向量数量积及向量垂直的充要条件，同时考查正弦定理及两角和与差的三角函数，根据向量垂直，可得，分析可得，再根据正弦定理可得，进而可得，可得，再根据三角形内角和定理可得，进而可得答案.【解答】解：根据题意，可得，即，即，又，因为，正弦定理可得，即，又，.故选C6. 解：向量与的夹角为，由知，解得.故选：C.根据两向量垂直时数量积为0，列方程求出的值.本题考查了平面向量的数量积与垂直的应用问题，是基础题.7. 解：函数，定义域为，所
8、以函数为偶函数，所以图象关于轴对称，. 令，解得，所以时最大，故选：D.由三角函数的化简可得函数的解析式，再由函数的奇偶性可得函数是偶函数，再由的函数的最大值时的值可选出结果.本题考查求函数的解析式即函数奇偶性的性质，属于中档题.8. 解：设，则，解得.故选：D.本题考查函数的解析式，属于基础题.设，求出，进而得到，由此能够求出.9. 解：由题意可得，解得，故选：A.由题意可得的方程，解方程可得.本题考查等差数列和等比数列的性质，属基础题.10. 解：第1代“勾股树”中，正方形的个数为，最小正方形的边长为，第2代“勾股树”中，正方形的个数为，最小正方形的边长为，第3代“勾股树”中，正方形的个数
9、为，最小正方形的边长为，以此类推，第代“勾股树”中，正方形的个数为，最小正方形的边长为，若“勾股树”上共得到8191个正方形，则，解得，此时最小正方形的边长为.故选：B.第1代“勾股树”中，正方形的个数为，最小正方形的边长为，第2代“勾股树”中，正方形的个数为，最小正方形的边长为，第3代“勾股树”中，正方形的个数为，最小正方形的边长为，以此类推，第代“勾股树”中，正方形的个数为，最小正方形的边长为，根据已知可求得值，即可求解.本题考查正方形的性质及勾股定理的应用，考查归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题.11. 解：函数的图象为，故函数的最小正周期为，故
10、A错误；令，求得，可得图象关于点对称，故B正确；图象向右平移个单位后，得到的图象，显然，所得图象不关于原点对称，故C错误；当区间，函数在区间上没有单调性，故D错误，故选：B.由题意利用正弦函数的图象和性质，得出结论.本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题.12. 解：由题设可得：当时，有，即：，.故选：D.由题设条件推出相邻项之间的关系式，即可得到结果.本题主要考查由数列的递推式求数列的和，属于基础题.二、填空题13. 14. 15. 16. 【解析】13. 解：，的夹角是，共线，设，的夹角是，.故答案为：.根据两个向量的夹角是，得到两个向量共线且方向相反，设出要求的向量，根据之金额各向
11、量的模长做出向量的坐标，把不合题意的舍去.本题考查向量的数量积的坐标表示，是一个基础题，解题时注意向量的设法，这是本题要考查的一个方面，注意把不合题意的舍去.14. 解：由，得.当时，当时，时不成立.故答案为.由对数式变形得到数列的前项和，分类讨论求解其通项.本题考查阿勒数列的概念及简单表示法，考查了由数列前n项和求通项，关键是注意分类讨论，是基础题.15. 解：将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象又因为得到函数，则，故答案为：.由题意利用函数的图象变换规律，得出结论.本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题.16. 解：三个内角度数之比，.故答案为：.由三个内角度数之比，求得三角形的
12、内角，再利用正弦定理，即可求得结论.本题考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于基础题.三、解答题17. 解：（1）由得，即，解得或；（2）由，则，即，得或.当时，此时；当时，则.故.【解析】本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量共线，垂直的充要条件.（1）利用两个向量互相垂直，可以求出的值；（2）由两个向量的互相平行先求出的值，再求模长.18. 解：（1）设等差数列的公差为，由，可得，解得，可得；（2）设等比数列的公比为，由，可得，解得，则数列的前项和为.【解析】（1）设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式，解方程可得公差和首项，进而得到所求通项公式；（2）设等比数列的公比为，运用等比数列的
13、通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得所求和.本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题.19. 解：（）因为的外接圆直径为由正弦定理，即，所以，在中，由正弦定理可得，所以.所以的值是；由题意可得，在中，由余弦定理可得，所以，所以，所以可得：，所以的最大周长为：.【解析】（）在中，由正弦定理可得，再由三角形的内角和，可得的值，由正弦定理可得的值；（）由余弦定理和均值不等式可得的最大值，进而可得三角形的周长的最大值.本题考查三角形的正余弦定理及均值不等式，属于中档题.20. 解：（1）在处有极值，.，.经检验时是的一个极值点，故
14、；（2）由（1）知，.令，得，.当变化时，的变化情况如下表： -102300-22-22从上表可知在区间上的最大值是2，最小值是-2.【解析】（1）由是的一个极值点，得，解出可得；（2）由（1）可求，令，得，.当变化时，的变化情况列成表格，由极值、端点处函数值可得函数的最值；本题考查利用导数研究函数的极值、最值，属中档题，正确理解导数与函数的关系是解题关键.21. 解：（）当时，当时，；（）当时，当时，取最大值1400万元；当时，当且仅当，即时取最大值1500.综上，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，最大约利润为1500万元.【解析】（）直接由已知分类写出分段函数解析式；（）当时，利
15、用配方法求最值，当时，利用基本不等式求最值，取两段函数最大值的最大者得结论.本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用配方法及基本不等式求最值，是中档题.22. 解：（），当时，令可得可得，令可得可得，故在上单调递增，在上单调递减，故，；（），故，（i）时，在上单调递增，恒成立，（ii）时，当时，单调递增，当时，单调递减，存在，使得，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，又因为，.【解析】（）把代入，然后对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的最值；（）由已知不等式恒成立转化为求解函数的最值，结合导数对进行分类讨论，然后结合导数与单调性关系及函数性质可求.本题主要考查了利用导数求解函数的最值，及由不等式的恒成立求解参数范围问题，体现了分类讨论思想的应用.
