1、第十一章立体几何初步11.1空间几何体11.1.3多面体与棱柱11.1.4棱锥与棱台课后篇巩固提升基础达标练1.下列四种说法:底面是矩形的平行六面体是长方体;棱长相等的直四棱柱是正方体;有两条侧棱垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;侧面对角线相等的平行六面体是直平行六面体.其中,正确的个数是()A.1B.2C.3D.4答案A解析不正确,除底面是矩形外还应满足侧棱与底面垂直才是长方体;不正确,当底面是菱形时就不是正方体;不正确,两条侧棱垂直于底面一边不一定垂直于底面,故不一定是直平行六面体;正确,对角线相等的平行四边形是矩形,由此可以推测此时的平行六面体是直平行六面体.故选A.2.(202
2、0山东高一期中)下列命题正确的是()A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体是棱柱B.有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱C.若棱柱被一平面所截,则分成的两部分一定是棱柱D.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱答案B解析对于A,如图所示的几何体中有两个面平行,其余各面都是四边形,该几何体不是棱柱,故A不正确;对于B,由棱柱的定义可知正确;对于C,分成的两部分不一定是棱柱,故C不正确;对于D,如图所示的几何体中有两个面平行,其余各面都是平行四边形,该几何体不是棱柱.3.下列命题中正确的是()A.用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面
3、之间的部分是棱台B.两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台C.棱台的底面是两个相似的正方形D.棱台的侧棱延长后必交于一点答案D解析A中的平面不一定平行于底面,故A错;B中侧棱不一定交于一点;C中底面不一定是正方形.故选D.4.(2020河北衡水中学高三月考)如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1 cm,高为5 cm,一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为()A.12B.13C.61D.15答案C解析将正三棱柱ABC-A1B1C1沿侧棱展开,再拼接一次,其侧面展开图如图所示,在展开图中,最短距离是六个矩形对角线的连线的长度,也即为三棱柱的侧
4、面上所求距离的最小值.由已知求得矩形的长等于61=6,宽等于5,由勾股定理d=62+52=61.5.(多选题)(2020全国高一课时练习)如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是()A.是棱台B.是圆台C.是棱锥D.是棱柱答案CD解析题图中的几何体不是由棱锥被一个平面所截得到的,且上、下底面不是相似的图形,所以不是棱台;题图中的几何体上、下两个面不平行,所以不是圆台;题图中的几何体是三棱锥;题图中的几何体前、后两个面平行,其他面都是平行四边形,且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行,所以是棱柱.6.如图是正方体外面朝上的展开图,则在这个正方体中:AF与CN是异面直线;BM与AN平行;AF与
5、BM成60角;BN与DE平行.以上四个命题中,所以正确命题的序号是()A.B.C.D.答案A解析将正方体的展开图还原为正方体EFMN-ABCD,如图所示,可得AF与CN是异面直线,故正确;连接AN,则BM与AN平行,故正确;因为BMAN,所以NAF是异面直线AF与BM所成的角,因为NAF为等边三角形,所以NAF=60,故正确;BN与DE是异面直线,故错误.7.一个正四棱台,其上、下底面均为正方形,边长分别为8 cm 和18 cm,侧棱长为13 cm,则其表面积为.答案1 012 cm2解析由已知可得正四棱台侧面梯形的高为h=132-18-822=12(cm),所以S侧=412(8+18)12=
6、624(cm2),S上底=88=64(cm2),S下底=1818=324(cm2),于是表面积为S=624+64+324=1012(cm2).8.(2020上海高三专题练习)若A=四棱柱,B=平行六面体,C=直平行六面体,D=正方体,E=正四棱柱,F=长方体,则它们之间的包含关系为.答案DEFCBA解析四棱柱:底面是四边形的柱体是四棱柱;平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体;直平行六面体:侧棱与底面垂直的平行六面体是直平行六面体;长方体:底面是长方形的直平行六面体是长方体;正四棱柱:底面是正方形的长方体是正四棱柱;正方体:各个面都是正方形的正四棱柱.根据以上概念,可得DEFCBA.
7、9.(2020山东烟台理工学校高一期中)已知正四棱锥V-ABCD的底面面积为16,侧棱长为4,则这个棱锥的斜高为,高为.答案2322解析如图所示,由题意知,正四棱锥底面边长为4,又侧棱长为4,所以侧面为等边三角形,取G为CD的中点,在等边三角形VCD中,VG=32VC=23,V在平面ABCD的投影为正方形ABCD的中心O,在RtBCD中,DB=BC2+DC2=42.则DO=12DB=22,所以在RtVOD中,VO=VD2-DO2=22.10.如图,M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是cm.答案13解析由题意,若以BC为轴展开
8、,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2cm,3cm,故两点之间的距离是13cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是17cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13cm.11.观察下列四张图片,结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征.解(1)是上海世博会中国馆,其主体结构是四棱台.(2)是法国卢浮宫,其主体结构是四棱锥.(3)是国家游泳中心“水立方”,其主体结构是四棱柱.(4)是美国五角大楼,其主体结构是五棱柱.能力提升练1.(2020陕西咸阳实验中学高一月考)某同学制作了一个对面图案均相同
9、的正方体礼品盒,如图所示,则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)()答案A解析根据正方体礼品盒的表面展开图的对面是相同的图案可知,展开图同图案不能相邻,B,C,D中都有相同的图案相邻,故选A.2.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示,如图是一个正方体的表面展开图,若图中“2”在正方体的上面,则这个正方体的下面是()A.1B.0C.快D.乐答案B解析如图得到正方体,从图中可以看到“1”在正方体的后面,“快”在正方体的右面,“乐”在前面,下面、左面均为“0”.故选B.3.(多选题)正方体截面的形状有可能为()A.正三角形B.正方形C.正五边形D
10、.正六边形答案ABD解析画出截面图形如图,可以画出正三角形但不是直角三角形(如图);可以画出正方形(如图);经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形.但此时不可能是正五边形(如图);正方体有六个面,用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形,且可以画出正六边形(如图).故选ABD.4.(2020河北沧州一中高一期末)鲁班锁(也称孔明锁、难人木、六子联方)起源于中国古代建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多,形状和内部的构造各不相同,一般都是易拆难装.如图,这是一种常见的鲁班锁玩具,图是该鲁班锁玩具的直观图,每条棱的长均为2,则该鲁班锁的表
11、面积为()A.8(6+62+3)B.6(8+82+3)C.8(6+63+2)D.6(8+83+2)答案A解析由题图可知,该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+22的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体,且被截去的正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为2,则该几何体的表面积为S=6(2+22)2-41222+81223=8(6+62+3).故选A.5.在五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱的对角线共有条.答案10解析在上底面选一个顶点,同时在下底选一个顶点,且这两个顶点不在同一侧面上,这样上底面每个顶点对应两条对角线,所以共有10条.6.已知棱长为a,
12、各面均为等边三角形的四面体S-ABC(即正四面体S-ABC),则其表面积为.答案3a2解析由于四面体S-ABC的四个面是全等的等边三角形,所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍.所以SSBC=12a2sin60=34a2.因此,四面体S-ABC的表面积S=434a2=3a2.7.中国古代,建筑工匠们非常注重在建筑中体现数学美,方形和圆形的应用比比皆是.在唐、宋时期的单檐建筑中较多存在21的比例关系,这是当时工匠们着意设计的常见比例,今天,A4纸之所以流行的重要原因之一,就是它的长与宽的比无限接近21,我们称这种满足了21的矩形为“优美”矩形.现有一长方体ABCD-A1B1C1D1,A
13、D1=26,AC=25,AC1=27,则此长方体的表面六个矩形中,“优美”矩形的个数为.答案4解析由题意,该长方体如图所示,AD1=26,AC=25,AC1=27,CC1=AC12-AC2=22,AD=AD12-DD12=AD12-CC12=4,CD=AC2-AD2=2,AB=CD=2,AA1=CC1=22,AA1AB=2.ADAA1=2,ADAB=2,此长方体的表面六个矩形中,“优美”矩形的个数为4.8.(2020全国高一课时练习)正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底面的平面所截,得到正六棱台和较小的棱锥.(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比;(2)若大棱锥的侧棱长为12 cm,小棱锥的底
14、面边长为4 cm,求截得的棱台的侧面积与全面积.解(1)设小棱锥的底面边长为a,斜高为h,则大棱锥的底面边长为2a,斜高为2h,S大棱锥侧=6122a2h=12ah,S小棱锥侧=612ah=3ah,棱台的侧面积为12ah-3ah=9ah,因此,大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比为413.(2)小棱锥底面边长为4cm,大棱锥底面边长为8cm.大棱锥的侧棱长为12cm,其斜高为122-42=82(cm),S大棱锥侧=612882=1922(cm2),棱台的侧面积为341922=1442(cm2),S棱台上底面=63442=243(cm2),S棱台下底面=63482=963(cm2),S棱台全=144
15、2+1203(cm2).故棱台的侧面积为1442cm2,全面积为(1442+1203)cm2.素养培优练在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现在将容器绕着某底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中:(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗?(2)水的形状不断变化,可能是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗?(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,上面的第(1)题和第(2)题对不对?解(1)不对.水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状,因而可以是矩形,但不可能是其他非矩形的平行四边形.(2)不对.水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后,剩余部分的几何体,此几何体是棱柱,水比较少量,是三棱柱,水多时,可能是四棱柱或五棱柱,但不可能是棱台或棱锥.(3)不对.只有一条棱着地水面才是矩形;不对.只有一条棱着地水才是棱柱.
