1、23平面向量的数量积23.1向量数量积的物理背景与定义学习目标1. 了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2. 掌握平面向量数量积的定义，理解其几何意义.3. 会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直知识链接1如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为，那么力F所做的功W是多少？答W|F|s|cos .2向量的数量积与数乘向量的区别是什么？答向量的数量积ab是一个实数，不考虑方向；数乘向量a是一个向量，既有大小，又有方向要点一两个向量的夹角(1)已知两个非零向量a，b(如图所示)，作a，b，则AOB称作向量a和向量b的夹角
2、，记作a，b，并规定它的范围是0，(2)当a，b时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作ab.在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直思考：在正ABC中， = _， = _， = _规律方法两向量共起点和共终点时夹角就是对应的三角形的内角，首位顺次相连时夹角为对应内角的补角要点二向量在轴上的正射影如图，已知向量a和轴l，作a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为，则由三角函数中的余弦定义有al|a|cos
3、.例1 (1)已知=5,，l=60,求在l上正射影的数量.(2)已知 =5,，l=120,求在l上正射影的数量.解(1)=5cos60=5 = (2)=5cos120=5(-cos60) =5(-) = -思考：当为锐角，钝角，0，90，180角时，向量在轴上正射影的数量是怎样的？(1)当为锐角时，正射影和轴l同向，|a|cos0.(2)当为钝角时，正射影和轴l反向，|a|cos0.(3)当= 0时，|a|; (4)当= 180时，-|a|.(5)当= 90时，0. 跟踪演练已知|p|=2，|q|=3，且p与q的夹角=120，则向量p在q方向上的正射影的数量为_；向量q在p方向上的正射影的数量
4、为_。规律方法向量p在q方向上的正射影的数量，本质是向量p的正射影的数量，而向量q只是提供了一个方向。要点三向量的数量积(内积)定义|a|b|cos叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab.即ab|a|b|cos例2 已知|a|=3，|b|=4，a与b的夹角=135，求ab解ab=|a|b|cos= 34135= - 跟踪演练1、已知|a|、|b|、a，b求ab（1）|a|=8 ，|b|=4，a，b=60（2）|a|=7 ，|b|=12，a，b=120（3）|a|=4 ，|b|=2，a，b=90（4）|a|=4 ，|b|=1，a，b=0（5）|a|=3，|b|=4，a，b=1802、|a|=
5、8 ，e是单位向量，a，e=60，求ae3、|a|=3 ，求aa4、ab=5，|a|b|=10，求a，b要点四平面向量的数量积的性质(1)如果e是单位向量，则aeea|a|cosa，e(a0)(2)abab0，且ab0ab(a0，b0)(3)aa|a|2或|a|.(4)cosa，b(|a|b|0)(5)|ab|a|b|.1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功。2.向量在轴上的正射影及其数量。3.掌握了平面向量数量积的定义，会数量积求向量的夹角4.总结了平面向量数量积的性质，会用其解决问题。练习1判断正误，并简要说明理由(1)a00；(2)0a0；(3)a与b是两个单位向量，则a2b2.练习2 已知a、b、c是三个非零向量，则下列问题中真命题的个数为()ab|a|b|ab；a、b反向ab|a|b|；ab|ab|ab|；|a|b|ac|bc|.A1 B2 C3 D4练习3在ABC中，|13，|5，|12，则的值是_练习4已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)；(2)；(3).练习5 已知向量a，b的夹角为120，且|a|4，|b|2求 (1) |ab| (2) |3a4b|.练习6 已知向量a，b满足|a|2，|b|3，|ab|4，求|ab|.练习7 已知单位向量e1，e2的夹角为60，求向量ae1e2，be22e1的夹角
