1、第二讲 章末复习知识梳理典型例题考点一、比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件作差比较法证明的一般步骤是：作差；恒等变形；判断结果的符号；下结论其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法例1设a，b为实数，0n1,0m1，mn1，求证：(ab)2.证明(ab)20，(ab)2.考点二 综合法证明不等式综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证
2、明的不等式成立综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当时，取等号”的理由要理解掌握例2已知a，b，c为ABC的三条边，求证：a2b2c22(abbcca)证明设a，b两边的夹角为，则由余弦定理：cos 因为0，cos 1.1.即a2b2c22ab.同理可证：b2c2a22bc，c2a2b22ac.将上面三个同向不等式相加，即得：a2b2c2b0.求证：.证明 要证只需证：，只
3、需证：()2()2，只需证：aabb2，只需证：0b0.上式显然成立，原不等式成立即90，D是BC的中点，求证：ADBC，因为BDDCBC，所以在ABD中，ADBD，从而BBAD.同理CCAD.所以BCBADCAD.即BCA.因为BC180A，所以180AA即A90，与已知矛盾，故ADBC不成立由(1)(2)知ADBC成立.考点五 放缩法证明不等式放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式关系的传递性，作适当的放大或缩小，证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当放缩，否则达不到目的例5已知a，b，c为三角形的三条
4、边，求证：，也可以构成一个三角形【解答】设f(x)，x(0，)设0x10，f(x)在(0，)上为增函数a，b，c为三角形的三条边，于是abc，即，同理，0，b0，所以2，即ab2，当且仅当即a，b2时取“”，所以ab的最小值为2.【答案】C2设a(m21)(n24)，b(mn2)2，则()AabBabCab Dab解析：ab(m21)(n24)(mn2)24m2n24mn(2mn)20，ab.答案：D3已知a，b，c，d为实数，ab0，则下列不等式中成立的是()Abcad BbcadC. D.解析：将两边同乘以正数ab，得bcad，所以bcad.答案：B4用反证法证明命题“如果ab，那么 ”时
5、，假设的内容应是()A. B.C.且 D.或，的反设应为或0，ab5，则的最大值为_【解析】令t，则t2a1b32929a1b313ab13518，当且仅当a1b3时取等号，此时a，b.tmax3.【答案】36设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d0)的等差数列(1)证明：2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列；(2)是否存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在a1，d及正整数n，k，使得a，a，a，a依次构成等比数列？并说明理由【解】(1)证明：因为2an1an2d(n1,2,3)是同一个常数，所以2a1，2a2，2a3，2a4依次构
6、成等比数列(2)不存在，理由如下：令a1da，则a1，a2，a3，a4分别为ad，a，ad，a2d(ad，a2d，d0)假设存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列，则a4(ad)(ad)3，且(ad)6a2(a2d)4.令t，则1(1t)(1t)3，且(1t)6(12t)4，化简得t32t220(*)，且t2t1.将t2t1代入(*)式，得t(t1)2(t1)2t23tt13t4t10，则t.显然t不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列(3)不存在，理由如下：假设存在a1，d及正整数n，k，使得a，a，a，a依次构成等比数列
7、，则a(a12d)n2k(a1d)2(nk)，且(a1d)nk(a13d)n3k(a12d)2(n2k)，分别在两个等式的两边同除以a及a，并令t，则(12t)n2k(1t)2(nk)，且(1t)nk(13t)n3k(12t)2(n2k)将上述两个等式两边取对数，得(n2k)ln(12t)2(nk)ln(1t)，且(nk)ln(1t)(n3k)ln(13t)2(n2k)ln(12t)化简得2kln(12t)ln(1t)n2ln(1t)ln(12t)，且3kln(13t)ln(1t)n3ln(1t)ln(13t)再将这两式相除，化简得ln(13t)ln(12t)3ln(12t)ln(1t)4ln
8、(13t)ln(1t)(*)令g(t)4ln(13t)ln(1t)ln(13t)ln(12t)3ln(12t)ln(1t)，则g(t).令(t)(13t)2ln(13t)3(12t)2ln(12t)3(1t)2ln(1t)，则(t)6(13t)ln(13t)2(12t)ln(12t)(1t)ln(1t)令1(t)(t)，则1(t)63ln(13t)4ln(12t)ln(1t)令2(t)1(t)，则2(t)0.由g(0)(0)1(0)2(0)0，2(t)0，知2(t)，1(t)，(t)，g(t)在和(0，)上均单调故g(t)只有唯一零点t0，即方程(*)只有唯一解t0，故假设不成立所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a，a，a，a依次构成等比数列
