1、1.2.2同角三角函数的基本关系学 习 目 标核 心 素 养1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用(重点)2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明(难点)1.通过利用单位圆推导出同角三角函数的基本关系式，培养学生逻辑推理和直观想象素养.2.通过同角基本关系式的运用，提升学生的运算能力.1平方关系(1)公式：sin2cos21.(2)语言叙述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1.思考：对任意的角，sin22cos221是否成立？提示成立平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关2商数关系(1)公式：tan .(2)语言叙述：同一个角的正弦、余弦的商等于角
2、的正切平方关系公式的推导如图，设P(x，y)根据单位圆中三角函数定义知，sin y，cos x，在RtOPM中，OM2MP21，因此x2y21，即sin2cos21.1化简的结果是()AcosBcosCsin DsinAcos.2若sin ，且是第二象限角，则tan 的值等于()A B.C DAsin 且是第二象限角，cos ，tan .3已知tan ，且，则sin 的值是 由tan 得，即cos 2sin .又sin2cos21，5sin21，sin ，又，sin .4已知2，则sin cos 的值为 由已知得2，解得tan 3，sin cos .知一求二【例1】(1)已知，tan 2，则c
3、os .(2)已知cos ，求sin ，tan 的值思路点拨：(1)根据tan 2和sin2cos21列方程组求cos .(2)先由已知条件判断角是第几象限角，再分类讨论求sin ，tan .(1)由已知得由得sin 2cos 代入得4cos2cos21，所以cos2，又，所以cos 0，所以cos .(2)解cos 0，是第二或第三象限的角如果是第二象限角，那么sin ，tan .如果是第三象限角，同理可得sin ，tan .利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：(1)已知角的某一种三角函数值，求角的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系(2)若
4、角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号1已知sin 3cos 0，求sin ，cos 的值解sin 3cos 0，sin 3cos .又sin2cos21，(3cos )2cos21，即10cos21，cos .又由sin 3cos ，可知sin 与cos 异号，角的终边在第二或第四象限当角的终边在第二象限时，cos ，sin ；当角的终边在第四象限时，cos ，sin .给值求值探究问题1齐次式包含齐次分式和齐次关系式，如何由某角的正切值求该角的齐
5、次分式或齐次关系的值？提示：在已知某角的正切值的情况下，把齐次式转化为含正切的关系式代入求值2sin cos 与sin cos 有怎样的关系，在求值中能否相互转化？提示：(sin cos )212sin cos ，若含sin cos t，则sin cos .这三者在求值中是可以转化的【例2】(1)已知sin cos ，(0，)，则tan .(2)已知2，计算下列各式的值：；sin22sin cos 1.思路点拨：(1)法一：法二：(2)(1)法一：(构建方程组)因为sin cos ，所以sin2cos22sin cos ，即2sin cos .因为(0，)，所以sin 0，cos 0.所以si
6、n cos .由解得sin ，cos ，所以tan .法二：(弦化切)同法一求出sin cos ，整理得60tan2169tan 600，解得tan 或tan .由sin cos 0知|sin |cos |，故tan .(2)解由2，化简得sin 3cos ，所以tan 3.法一(换元)原式.法二(弦化切)原式.原式111.1将本例(1)条件“(0，)”改为“，”其他条件不变，结果又如何？解由例(1)求出2sin cos ，因为，所以sin 0，cos 0，所以sin cos .与sin cos 联立解得sin ，cos ，所以tan .2将本例(1)的条件“sin cos ”改为“sin c
7、os ”，其他条件不变，求cos sin .解因为sin cos 0，所以，所以cos sin 0，cos sin .1sin cos ，sin cos ，sin cos 三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin cos )212sin cos .2已知tan m，求关于sin ，cos 的齐次式的值：解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于sin ，cos 的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos 0，所以可除以cos ，这样可将被求式化为关于tan 的表达式，然后代入tan m的值，从而完成被求式的求值提醒：求sin cos
8、或sin cos 的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号应用同角三角函数关系式化简【例3】(1)化简 .(2)化简.(其中是第三象限角)思路点拨：(1)将cos21sin2代入即可化简(2)首先将tan 化为，然后化简根式，最后约分(1)1原式1.(2)原式.又因为是第三象限角，所以sin 0.所以原式1.角函数式化简的常用方法(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2cos21，以降低
9、函数次数，达到化简的目的.提醒：在应用平方关系式求sin 或cos 时，其正负号是由角所在的象限决定，不可凭空想象.2化简下列各式：(1)tan (是第二象限角)；(2).解(1)tan tan tan .因为为第二象限角，所以sin 0，cos 0，所以原式1.(2)2.应用同角三角函数关系式证明探究问题1证明三角恒等式常用哪些方法？提示：(1)从右证到左(2)从左证到右(3)证明左右归一(4)变更命题法如：欲证明，则可证MQNP或证等2在证明sin cos 时如何巧用“1”的代换提示：在求证sin cos 时，观察等式左边有2sin cos ，它和1相加应该想到“1”的代换，即1sin2c
10、os2，所以等式左边sin cos 右边【例4】求证：.思路点拨：解答本题可由关系式tan 将两边“切”化“弦”来证明，也可由右至左或由左至右直接证明证明法一：(切化弦)左边，右边.因为sin21cos2(1cos )(1cos )，所以，所以左边右边所以原等式成立法二：(由右至左)因为右边左边，所以原等式成立1证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)2技巧感悟：朝目标奔常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)提醒：解决此类问题要有整体代换思想3求证
11、：(1)1tan2；(2).证明(1)左边1右边1tan2.(2)左边右边故等式成立1利用同角三角函数的基本关系式，sin ，cos ，tan 可知一求二2利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求是：项数尽量少；次数尽量低；分母、根式中尽量不含三角函数；能求值的尽可能求值3已知sin cos ，sin cos ，sin cos 三个中的一个，便可求出另外两个，进而求出sin ，cos ，tan 等4关于sin ，cos 的齐次式，不管是等式还是给定条件后的分式，可同除以cos 化成的正切函数进行相关计算注意“1”的代换1下列各式中成立的是()Asin2cos21Btan (任意)Ccos21sin2 Dsin CA中不是同角；B中k(kZ)；D中符号不能确定；只有C正确2已知，cos ，则tan ()A B.C D.A因为cos ，且，所以sin ，所以tan .3已知tan ，则的值是 因为tan ，所以.4(1)化简，其中是第二象限角；(2)求证：1tan2.解(1)因为是第二象限角，所以sin 0，cos 0，所以sin cos 0，所以sin cos .(2)证明：1tan21.
