1、立体几何中的向量方法分类专项训练类型一利用空间向量证明平行问题例1在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点求证：MN平面A1BD.变式1.如图所示，在长方体OAEBO1A1E1B1中，|OA|3，|OB|4，|OO1|2，点P在棱AA1上，且|AP|2|PA1|，点S在棱BB1上，且|SB1|2|BS|，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQRS.类型二利用空间向量证明垂直问题例2如图所示，在棱长为1的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBFx，其中0x1，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.求证A1FC1E；变式
2、1在棱长为错误！未找到引用源。的正方体错误！未找到引用源。中，点错误！未找到引用源。是棱错误！未找到引用源。的中点，点错误！未找到引用源。在棱错误！未找到引用源。上，且满足错误！未找到引用源。.（1）求证：错误！未找到引用源。；（2）在棱错误！未找到引用源。上确定一点错误！未找到引用源。，使错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。四点共面，并求此时错误！未找到引用源。的长.类型三利用空间向量求异面直线所成角例3在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为( )A. B. C. D
3、. 变式1如图，正四面体错误！未找到引用源。中， 错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。分别是棱错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。的中点，则直线错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。所成的角的余弦值为（ ）A. 错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引用源。 C. 错误！未找到引用源。 D. 错误！未找到引用源。类型四 利用空间向量求直线与平面所成角例4如图，在长方体错误！未找到引用源。中，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。分别是错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。的中点证明错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。、
4、错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。四点共面，并求直线错误！未找到引用源。与平面错误！未找到引用源。所成的角的正弦值大小.变式 1 如图，长方体错误！未找到引用源。中,错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，点错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。分别在错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。上，错误！未找到引用源。过点错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。的平面错误！未找到引用源。与此长方体的面相交，交线围成一个正方形DD1C1A1EFABCB1（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（）求直线错误！未找到引用源。与平面错误！未找到引用源。所
5、成角的正弦值变式2： 如图，三棱柱错误！未找到引用源。中， 错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。分别为棱错误！未找到引用源。的中点.（1）在平面错误！未找到引用源。内过点错误！未找到引用源。作错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。交错误！未找到引用源。于点错误！未找到引用源。，并写出作图步骤，但不要求证明.（2）若侧面错误！未找到引用源。侧面错误！未找到引用源。，求直线错误！未找到引用源。与平面错误！未找到引用源。所成角的正弦值.类型五 二面角例5 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且错误！未找到引用源。.（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若
6、PA=PD=AB=DC，错误！未找到引用源。，求二面角A-PB-C的余弦值.变式 1如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，错误！未找到引用源。 E是PD的中点。（1）证明：直线错误！未找到引用源。 平面PAB；（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为错误！未找到引用源。 ，求二面角错误！未找到引用源。的余弦值。变式2 如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点.（）设是上的一点，且，求的大小；（）当，求二面角的大小.考点6 利用向量求空间距离例6 （1）在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角
7、形，平面SAC平面ABC，SASC2，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示，（1）求点B到平面CMN的距离(2)如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2.(1)求点A到平面MBC的距离；(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值【变式一】设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A. B. C. D. 参考答案例1则M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是，设平面A1BD的法向量是n(x，y，z)则n0，且n0，得取x1，得y1，z1.n(1，1，1)又n(1，1，1)0，n
8、，又MN平面A1BD，MN平面A1BD.法二()，又MN与DA1不共线，MNDA1，又MN平面A1BD，A1D平面A1BD，MN平面A1BD.例2. (2)(x,1，1)，(1,1,0)， (0，x，1)，设，解得，1.例3.【解析】建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.变式1.错误！未找到引用源。 .例4【解析】解：如图，以错误！未找到引用源。为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。、错误
9、！未找到引用源。、错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。因为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，因此直线错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。共面，即错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。共面因此直线与平面所成的角的正弦值大小为错误！未找到引用源。变式1.错误！未找到引用源。变式2.（2）错误！未找到引用源。.例5. 试题解析：（1）由已知错误！未找到引用源。，得ABAP，CDPD.由于ABCD ，故ABPD ，从而AB平面PAD.又AB 错误！未找到引用源。平面PAB，所以平面PAB平面PAD.由（1）
10、及已知可得错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。.所以错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。.设错误！未找到引用源。是平面错误！未找到引用源。的法向量，则错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，可取错误！未找到引用源。.设错误！未找到引用源。是平面错误！未找到引用源。的法向量，则错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，可取错误！未找到引用源。.则错误！未找到引用源。，所以二面角错误！未找到引用源。的余弦值为错误！未找到引用源。.变式1 （2）变式2（1）（）.例6.（1）则B(0,2，0)，C(2,0,0)，S(0,0,2)，M(1，0)，N(0，)(3，0)，(1,0，)，(1，0)设n(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则取z1，则x，y，n(，1)点B到平面CMN的距离d（2）.(1)设n(x，y，z)是平面MBC的法向量，则(1，0)，(0，)，由n得xy0；由n得yz0.取n(，1,1)，(0,0,2)，则d.(2)(1,0，)，(1，2)设平面ACM的法向量为n1(x，y，z)，由n1，n1得解得xz，yz，取n1(，1,1)又平面BCD的法向量为n2(0,0,1)所以cosn1，n2.设所求二面角为，则sin .变式1，
