1、江苏省常州市四校联考2021届高三上学期期末测试数学试题202101一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1已知集合A2，1，0，1，2，B，则ABA B1，2 C2，0，2 D2，1，1，22当复数时，实数a的值可以为A0 B1 C1 D132020年12月30日，国家药品监督管理局附条件批准国药集团中国生物北京生物制品研究所有限责任公司的新型冠状病毒灭活疫苗（Vero 细胞）注册申请该疫苗是首家获批的国产新冠病毒灭活疫苗，适用于预防由新型冠状病毒感染引起的疾病（COVID19）2021年1月
2、3日，北京市人民政府新闻办公室召开疫情防控第200场例行新闻发布会，表示不在1859岁接种年龄段范围的人员，需要等待进一步临床试验数据近日专家对该年龄内和该年龄段外的110人进行了临床试验，得到如下22列联表：能接种不能接种总计1859岁内40 20601859岁外203050总计6050110附：，其中；0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是 A在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“能接种与年龄段无关”B在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“能接种与年龄段有关”C有99%以上的把握认为“能接种与年龄段无关”D有99%以上的把握认
3、为“能接种与年龄段有关”4函数的图象大致为 A B C D5设随机变量(，1)，函数没有零点的概率是0.5，则P(01)附：若(，)，则P(X)0.6826，P(X)0.9544A0.1587 B0.1359 C0.2718 D0.34136在探索系数A，b对函数(A0，0)图象的影响时，我们发现，系数A对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”运用上述四种变换，若函数的
4、图象经过四步变换得到函数的图象，且已知其中有一步是向右平移个单位，则变换的方法共有A6种 B12种 C16种 D24种7俄国著名飞机设计师埃格西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产的直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的1992年，为了远程性和安全性上与美国波音747竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了A340，是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的A310假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1p，且各引擎是否有故障是独立的，已知A340飞机至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；A310飞机需要2个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行若
5、要使A340飞机比A310飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是A(，1) B(，1) C(0，) D(0，)8已知数列满足()，设，且，则数列的首项的值为A B1 C D2二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）92020年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行下图是该地某小区2019年12月至2020年12月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图（图中月份代码113分别对应2019年12月2020年12月）根据散点图选择和
6、两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：R20.9230.973注：是样本数据中x的平均数，是样本数据中y的平均数，则下列说法正确的是A当月在售二手房均价y与月份代码x呈负相关关系B由预测2021年3月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米C曲线与都经过点(，)D模型回归曲线的拟合效果比模型的好10若，且，则下列结论正确的是An6B展开式中二项式系数和为729C展开式中所有项系数和为126D11已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，且A(，)，.下列结论正确的是Ap4 BCBF3 DAOB的面积为12若函数是连续的平滑曲线，
7、且在a，b上恒非负，则其图象与直线xa，xb，x轴围成的封闭图形面积称为在a，b上的“围面积”根据牛顿莱布尼兹公式，计算围面积时，若存在函数满足，则的值为在a，b上的围面积下列围面积计算正确的有A函数在0，1上的围面积为B函数在0，2上的围面积为C函数在0，上的围面积为D函数在e，e2上的围面积为e2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上）13在四边形ABCD中，AB8，若，则 14在平面直角坐标系xOy中，设双曲线C：(a0，b0)的右焦点为F，若双曲线的右支上存在一点P，使得OPF是以P为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为 15在ABC
8、中，已知AC1，A的平分线交BC于D，且AD1，BD，则ABC的面积为 16矩形ABCD中，AB，BC1，现将ACD沿对角线AC向上翻折，得到四面体DABC，则该四面体外接球的体积为 ；设二面角DACB的平面角为，当在，内变化时，的范围为 （第一空2 分，第二空3分）四、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边在；这三个条件中任选一个，作出解答（1）求角B的值；（2）若ABC为锐角三角形，且b1，求ABC的面积的取值范围18（本小题满分12分）某公司在市场调查中，
9、发现某产品的单位定价x（单位：万元/吨）对月销售量y（单位：吨）有影响对不同定价和月销售量数据作了初步处理：0.244390.164820683956表中经过分析发现可以用来拟合y与x的关系（1）求关于x的回归方程；（2）若生产1吨产品的成本为1.6万元，那么预计价格定位多少时，该产品的月利润取最大值，求此时的月利润附：对于一组数据(，)，(，)，(，)，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，19（本小题满分12分）已知等差数列和等比数列满足，（1）求和的通项公式；（2）将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前100项和20（本小题满分12分）在多面体ABCDE中，平面
10、ACDE平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CDAE，ACAE，ABBC，CD1，AEAC2，F为DE的中点，且点E满足（1）证明：GF平面ABC；（2）当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角ABED的余弦值21（本小题满分12分）已知函数（1）当函数在处的切线斜率为2时，求的单调减区间；（2）当x1时，求a的取值范围22（本小题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，且过点A(2，3)，右顶点为B（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点A作两条直线分别交椭圆于点M，N，满足直线AM，AN的斜率之和为3，求点B到直线MN距离的最大值江苏省常州市四校联考2021届高三上学期期末测试数学试题20210
11、1一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1已知集合A2，1，0，1，2，B，则ABA B1，2 C2，0，2 D2，1，1，2答案：D解析：因为B5，5，2，2，1，1，A2，1，0，1，2， 所以AB2，1，1，2，选D2当复数时，实数a的值可以为A0 B1 C1 D1答案：C解析：，选C32020年12月30日，国家药品监督管理局附条件批准国药集团中国生物北京生物制品研究所有限责任公司的新型冠状病毒灭活疫苗（Vero 细胞）注册申请该疫苗是首家获批的国产新冠病毒灭活疫苗，适用于预防由新型冠状
12、病毒感染引起的疾病（COVID19）2021年1月3日，北京市人民政府新闻办公室召开疫情防控第200场例行新闻发布会，表示不在1859岁接种年龄段范围的人员，需要等待进一步临床试验数据近日专家对该年龄内和该年龄段外的110人进行了临床试验，得到如下22列联表：能接种不能接种总计1859岁内40 20601859岁外203050总计6050110附：，其中；0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是 A在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“能接种与年龄段无关”B在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“能接种与年龄段有关”C有99%以上的把
13、握认为“能接种与年龄段无关”D有99%以上的把握认为“能接种与年龄段有关”答案：D解析：本题通过计算后求得K27.86.635，可判断D符合题意4函数的图象大致为 A B C D答案：A解析：首先注意到原函数是奇函数，排除B、D，其次当x0时，可判断出0，故选A5设随机变量(，1)，函数没有零点的概率是0.5，则P(01)附：若(，)，则P(X)0.6826，P(X)0.9544A0.1587 B0.1359 C0.2718 D0.3413答案：B解析：P(01)，选B6在探索系数A，b对函数(A0，0)图象的影响时，我们发现，系数A对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换
14、”；系数对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”运用上述四种变换，若函数的图象经过四步变换得到函数的图象，且已知其中有一步是向右平移个单位，则变换的方法共有A6种 B12种 C16种 D24种答案：B解析：四种变换中，相位变换在周期变换的前面，所以满足条件的变换方法有种7俄国著名飞机设计师埃格西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产的直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的1992年，为了远程性和安全性上与美
15、国波音747竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了A340，是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的A310假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1p，且各引擎是否有故障是独立的，已知A340飞机至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；A310飞机需要2个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行若要使A340飞机比A310飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是A(，1) B(，1) C(0，) D(0，)答案：C解析：，选C8已知数列满足()，设，且，则数列的首项的值为A B1 C D2答案：C解析：， ， 代入，求得，选C二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计2
16、0分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）92020年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行下图是该地某小区2019年12月至2020年12月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图（图中月份代码113分别对应2019年12月2020年12月）根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：R20.9230.973注：是样本数据中x的平均数，是样本数据中y的平均数，则下列说法正确的是A当月在售二手房均价y与月份代码x呈负相关关系B由预
17、测2021年3月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米C曲线与都经过点(，)D模型回归曲线的拟合效果比模型的好答案：BD解析：y随x的增加而增加，显然A错误；2021年3月，此时x16，代入，求得1.0509，故B正确；曲线经过点(，)，曲线经过点(，)，故C错误；因为0.9730.923，所以模型回归曲线的拟合效果比模型的好，故D正确故选BD10若，且，则下列结论正确的是An6B展开式中二项式系数和为729C展开式中所有项系数和为126D答案：ACD解析：，A正确； 展开式中二项式系数和为64，故B错误； 展开式中所有项系数和，故C正确； 因为，所以1，从而，故D正确故选ACD11已知抛
18、物线C：的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，且A(，a)，.下列结论正确的是Ap4 BCBF3 DAOB的面积为答案：BCD解析：，故A错误；点A(，a)在抛物线上，故求得，B正确；可知点B的横坐标为2，所以BF2(1)3，故C正确；，故D正确故选BCD12若函数是连续的平滑曲线，且在a，b上恒非负，则其图象与直线xa，xb，x轴围成的封闭图形面积称为在a，b上的“围面积”根据牛顿莱布尼兹公式，计算围面积时，若存在函数满足，则的值为在a，b上的围面积下列围面积计算正确的有A函数在0，1上的围面积为B函数在0，2上的围面积为C函数在0，上的围面积为D函数在e，e2上的围面积为e2答案：
19、ACD解析：选项A的，围面积，故A正确； 选项B的，围面积，故B错误； 选项C的，围面积，故C正确；选项D的，围面积，故D正确故选ACD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上）13在四边形ABCD中，AB8，若，则 答案：16解析：根据题意可知四边形ABCD是梯形，且，所以14在平面直角坐标系xOy中，设双曲线C：(a0，b0)的右焦点为F，若双曲线的右支上存在一点P，使得OPF是以P为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为 答案：解析：根据题意可知点(，)在双曲线C上，则，将代入并化简得：15在ABC中，已知AC1，A的平分线交BC于D，且A
20、D1，BD，则ABC的面积为 答案：解析：设BADCAD，则ADB， 根据SACDSABDSABC，得， 化简得， 又， 得， 所以16矩形ABCD中，AB，BC1，现将ACD沿对角线AC向上翻折，得到四面体DABC，则该四面体外接球的体积为 ；设二面角DACB的平面角为，当在，内变化时，的范围为 （第一空2 分，第二空3分）答案：，解析：设AC中点为O，则O为四面体外接球球心，半径OA1，故V球； 取CO中点E，取CD三等分点F，且F靠近点C，连BE、EF、BF， 此时BEF，余弦定理求得BF2， CBF中，用余弦定理求得cosBCF， BCD中，余弦定理求得BD24，根据， 即可确定BD四
21、、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边在；这三个条件中任选一个，作出解答（1）求角B的值；（2）若ABC为锐角三角形，且b1，求ABC的面积的取值范围解：（1）选由正弦定理得： 选 选 （2）由正弦定理得： 锐角三角形 18（本小题满分12分）某公司在市场调查中，发现某产品的单位定价x（单位：万元/吨）对月销售量y（单位：吨）有影响对不同定价和月销售量数据作了初步处理：0.244390.164820683956表中经过分析发现可以用来拟合y与x的关系（1）求关
22、于x的回归方程；（2）若生产1吨产品的成本为1.6万元，那么预计价格定位多少时，该产品的月利润取最大值，求此时的月利润附：对于一组数据(，)，(，)，(，)，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，解：（1）令，则 则 （2）月利润 （当且仅当即时取等号）答：（1）关于的回归方程为；（2）预计价格定位万元/吨时，该产品的月利润取最大值，最大值为万元19（本小题满分12分）已知等差数列和等比数列满足，（1）求和的通项公式；（2）将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前100项和解：（1）由 （2）当的前项中含有的前项时，令 此时至多有项（不符）当的前项中含有的前项时，令 则
23、的前项中含有的前项且含有的前项 20（本小题满分12分）在多面体ABCDE中，平面ACDE平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CDAE，ACAE，ABBC，CD1，AEAC2，F为DE的中点，且点E满足（1）证明：GF平面ABC；（2）当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角ABED的余弦值解：（1）分别取中点，连结.在梯形中，且，且分别为中点四边形是平行四边形 又，为中点，为中点，又为中点 又平面，平面平面 （2）在平面内，过作交于. 平面平面，平面平面，平面，平面 即为四棱锥的高，又底面面积确定，所以要使多面体体积最大，即最大，此时 过点作，易知两两垂直，以为正交基底建立如图所示的平面直
24、角坐标系则 设为平面的一个法向量，则，所以，取 设为平面的一个法向量，则，所以，取 所以， 由图，二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为 21（本小题满分12分）已知函数（1）当函数在处的切线斜率为2时，求的单调减区间；（2）当x1时，求a的取值范围解：（1）定义域为 因为所以在处的切线斜率为所以 所以，令，则 极小值由表可知：的单调减区间为和 （2）由题对任意恒成立所以对任意恒成立方法一：所以对任意恒成立所以对任意恒成立 令 则对任意恒成立因为 所以在上单调增所以对任意恒成立 所以 令 因为 所以在上单调减所以 所以即 方法二：设，则，所以在单调递增，又 若，则，所以恒成立，所以在单调递增，又，所以恒成立，符合题意. 若，则，不符合题意，舍去. 综上所述，. 22（本小题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，且过点A(2，3)，右顶点为B（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点A作两条直线分别交椭圆于点M，N，满足直线AM，AN的斜率之和为3，求点B到直线MN距离的最大值解：（1）由题 所以的标准方程为 （2）若直线斜率不存在，设，则，此时重合，舍去. 若直线斜率存在，设，联立得，所以 由题，即化简得 因此化简得 即 若，则，直线过点，舍去，所以，即，因此直线过点. 又点，所以点到直线距离最大值即,此时，符合题意.所以点到直线距离最大值为 23
