1、2013年佛山市普通高中高二教学质量检测 数 学 (理科) 2013.1本试卷共4页，20小题，满分150分考试用时120分钟注意事项：1答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目 2选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答案涂在答题卡的相应位置上3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回.参考公式： 球的表面积公式,其中为球的半径一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项
2、中,只有一项是符合题目要求的1 已知点,则过两点的直线斜率为A. B. C. D. 2. 若直线:,:,且,则实数的值为 A. B. C. D. 3. 若命题:,则命题为 A. , B. ,C. , D. ,第4题图4如图所示的几何体为正方体的一部份,则它的侧视图可能是 A B C D5若空间三条直线满足,则直线与A. 一定平行 B. 一定垂直 C. 一定是异面直线 D. 一定相交6若集合,则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7过双曲线的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是A. B. C. D. 8已知命题:,
3、是奇函数；命题:已知为实数,若,则.则下列判断正确的是A. 为真命题 B. 为真命题C. 为真命题 D. 为假命题9点到直线的距离的最大值等于A. B. C. D. 10. 点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离.已知点,圆:,那么平面内到圆的距离与到点的距离之差为的点的轨迹是A. 双曲线的一支 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 射线二、填空题:本大题共4小题 ,每小题5分，满分20分.11棱长为的正方体的外接球的表面积是 .ABCDA1B1C1D1M第13题图12若直线平分圆的面积，则 .13如图所示,在正方体中,为棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为 .14探照灯反射镜的纵断面
4、是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离是_三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分12分)OxABCy第15题图如图,已知四边形是矩形,是坐标原点,、按逆时针排列,的坐标是,.() 求点的坐标；（）求所在直线的方程.16.(本小题满分13分)第16题图PBAMDC如图,在四棱锥中,四边形为直角梯形,底面,且,为的中点.() 求证:平面；（）求证:平面. 17.(本小题满分13分)已知圆经过点和,且圆心在直线上.() 求圆的方程；（）若直线被圆所截得的弦长为,求实数的值.18.(本小题满分14
5、分) 已知动圆过定点,且与定直线相切.() 求动圆圆心的轨迹的方程；（）若轨迹上有两个定点、分别在其对称轴的上、下两侧,且,在轨迹位于、两点间的曲线段上求一点,使到直线的距离最大,并求距离的最大值.19.(本小题满分14分)如图,在底面为平行四边形的四棱柱中,底面,第19题图BDCAA1B1C1D1,.() 求证:平面平面；（）若二面角的大小为,求直线与平面所成的角的正弦值.20.(本小题满分14分)已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,短轴的一个端点为,离心率.() 求椭圆的方程；（）若、,试探究在椭圆内部是否存在整点(平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点),使得的面积?若存在,请指出共有几
6、个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)2013年佛山市普通高中高二教学质量检测数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.题号12345678910答案ABCDBADCCD二、填空题:本大题共4小题 ,每小题5分，满分20分.11 12 13 14OxABCy三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分12分)如图,已知四边形是矩形,是坐标原点,、按逆时针排列, 的坐标是,.() 求点的坐标； （）求所在直线的方程.解: ()因为四边形是矩形,所在直线的斜率2分 所以的斜率为,所在的直线
7、方程为,4分 因为,设,则, 6分所以或(舍去),所以点的坐标为.8分（）因为与, 所以所在直线的斜率10分 所以所在直线的方程为,即.12分给分说明:第 （）问中的直线若正确地写成一般式或斜截式均给满分.第16题图PBAMDC16.(本小题满分13分)如图,在四棱锥中,四边形为直角梯形, 底面,且,为的中点.() 求证:平面； （）求证:平面.解:() 取的中点,连结,1分 因为为的中点,所以,又3分 所以,所以四边形为平行四边形, 所以,5分第16题答案图EPBAMDCH 又平面,平面, 所以平面.6分 （）在直角梯形中,过作于,由平几知识易得,所以,所以9分又 底面,底面,所以11分又,
8、所以平面.13分17.(本小题满分13分)已知圆经过点和,且圆心在直线上.() 求圆的方程； （）若直线被圆所截得的弦长为,求实数的值.解:()解法一:设圆心,因为,所以,解得4分所以圆心,半径 6分所以圆的方程为 7分解法二:设圆的方程为, 2分依题意得,5分 解得,所以圆的方程为 7分解法三:依题意易得线段的中垂线方程为,2分联立方程组,解得,所以圆心,5分 下同解法一.（）因为直线被圆所截得的弦长为,所以圆心到直线的距离 10分，解得 13分18.(本小题满分14分) 已知动圆过定点,且与定直线相切.() 求动圆圆心的轨迹的方程；（） 若轨迹上有两个定点、分别在其对称轴的上、下两侧,并且
9、,在轨迹位于、两点间的曲线段上求一点,使到直线的距离最大,并求距离的最大值.解:() 因为动圆过定点,且与定直线相切, 所以圆心到定点的距离与到定直线的距离相等, 2分 由抛物线定义可知,的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,4分 所以动圆圆心的轨迹的方程为.5分（）由已知得,设(其中),由得,所以 7分 同理可得,所以直线的方程为. 9分解法一:设抛物线曲线段上任一点,其中, 则点到直线的距离 12分所以当时,距离取得最大值,此时点的坐标为. 14分.xyOF.A.PB解法二:设与平行的直线的方程为,10分当与抛物线相切时,切点到的距离最大.由方程组消元得(*)由得12分此时(*)式的解为,
10、切点,距离最大值为.14分19.(本小题满分14分)如图,在底面为平行四边形的四棱柱中,底面,第19题图BDCAA1B1C1D1,.() 求证:平面平面；（）若二面角的大小为,求直线与平面所成的角的正弦值.解:() 在中,由余弦定理得 所以,所以,即第19题解法一图BDCAA1B1C1D1M 又四边形为平行四边形,所以2分 又底面,底面,所以4分 又,所以平面,5分 又平面,所以平面平面.6分（）由()知平面,所以所以为二面角的平面角, 所以,所以.8分解法一:取的中点,连结,则 又平面平面,平面平面,所以平面 所以为直线与平面所成的角, 10分第19题解法二图BDCAA1B1C1D1xyz
11、在中,所以, 所以直线与平面所成的角的正弦值为.14分解法二: 以为原点,建立空间直角坐标系如图所示, 则, 所以,10分 设平面的法向量为,则,即,令,得,12分设直线与平面所成的角为,则, 所以直线与平面所成的角的正弦值为.14分说明:第（）问可不写出点的坐标,而直接通过,得到所需向量.20.(本小题满分14分)已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,短轴的一个端点为,离心率. () 求椭圆的方程； （）若、,试探究在椭圆内部是否存在整点(平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点),使得的面积?若存在,请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)解:() 设椭圆的方程为, 依题意得,又,3分所以, 所以椭圆的方程为.5分xyOPl1l2B.（）依题意,直线的方程为,7分 因为,所以到直线的距离为, 所以点在与直线平行且距离为的直线上,设, 则,解得9分 当时,由,消元得,即又,所以,相应的也是整数,此时满足条件的点有个.12分当时,由对称性,同理也得满足条件的点有个.综上,存在满足条件的点,这样的点有个. 14分
