1、第1讲 数列的概念与简单表示法A组基础巩固一、单选题1(2023河北省“五个一”名校联盟高三上学期数学摸底试卷)数列1,3,6,10,15，的一个通项公式是an( C )A. Bn2nC. D2n2n解析因为数列1,3,6,10，的前n项可写为，则可知其一个通项公式是，也可以通过验证法排除得到选项C.2已知数列，3，则5是这个数列的( B )A.第11项 B第12项C.第13项 D第14项解析根据题意，归纳数列的通项公式，进而可得an5，解可得答案.根据题意，数列，3，则通项公式an，若an5，解可得n12，即5是这个数列的第12项，故选B.3(2023安徽淮南一模)设Sn是数列an的前n项和
2、.若a1，an11，则S2 025( B )A. BC. D解析在数列an中，a1，an11，则a211，a312，a41，以此类推可知，对任意的nN*，an3an，即数列an是以3为周期的周期数列.又2 0253675，因此S2 025675S3675.故选B.4若数列an的前n项和Sn满足3Sn2an1，则a5( D )A.32 B C D16解析方法一：因为3Sn2an1，所以当n2时，3Sn12an11，两式作差得3an2an2an1(n2)，即an2an1(n2)，又当n1时，3S12a11，所以a11，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列.所以an1(2)n1，则a51(2
3、)5116.故选D.方法二：因为3Sn2an1，所以当n2时，3Sn2(SnSn1)1，整理得Sn2Sn11(n2)，即Sn2(n2)，又当n1时，3S12a11，所以S11，所以S1，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列.所以Sn(2)n1，Sn(2)n1，则a5S5S416(8)16.故选D.5在数列an中，a12，an1anln，则an等于( A )A.2ln n B2(n1)ln nC.2nln n D1nln n解析an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1lnlnln 2ln2ln n2(n2)，当n1时，a12也符合上式.综上，anln n2.6(2023辽宁沈阳交联体
4、期中)已知a11，ann(an1an)(nN*)，则数列an的通项公式是( C )A.an2n1 Bann1C.ann Dann2解析解法一：由ann(an1an)，得(n1)annan1，为常数列，即1，所以ann.故选C.解法二：当n1时，a1a2a1，a22，否定A、B、D，故选C.7数列an的通项公式an，则数列an中的最小项是( B )A.3 B19 C D解析令f(x)x(x0)，运用基本不等式得f(x)2，当且仅当x3时等号成立.因为ann，所以n2，由于nN*，不难发现当n9或n10时，an19最小，故选B.8观察后面的算式：11,12,21,13,22,31,14,23,32
5、,41，则式子35是第( C )A.22项 B23项C.24项 D25项解析两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，35是和为8的第3项，所以是第24项.故选C.二、多选题9已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项可能是( ABD )A.an(1)n11 BanC.an2sin Dancos(n1)110(2022潍坊一模)已知数列an的通项公式为an则( BC )A.a619 Ba7a6C.S522 DS6S5解析因为an所以a14，a22，a310，a46，a516，a610，a722，所以A错误，
6、B正确；S5a1a2a3a4a54(2)10(6)1622，故C正确；因为a610，所以S6S5a60，所以S6S5，故D错误，故选BC.11已知数列an的通项公式为an(nN*).则下列说法正确的是( BC )A.这个数列的第10项为B.是该数列中的项C.数列中的各项都在区间内D.数列an是单调递减数列解析an.令n10，得a10，故选项A不正确；令，得n33，故是该数列中的第33项，故选项B正确；因为an1，又nN*，所以数列an是单调递增数列，所以anan，求实数k的取值范围. 解析(1)由n25n40，解得1nan，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式ann2kn4，可以看作是关于n
7、的二次函数，考虑到nN*，所以3.所以实数k的取值范围为(3，).16已知在数列an中，a11，前n项和Snan.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式.解析(1)由S2a2，得3(a1a2)4a2，解得a23a13；由S3a3，得3(a1a2a3)5a3，解得a3(a1a2)6.(2)由题设知a11.当n2时，有anSnSn1anan1，整理，得anan1，于是a11，a2a1，a3a2，an1an2，anan1，将以上n个等式两端分别相乘，整理，得an，经检验n1时，也满足上式.综上，an的通项公式an.B组能力提升1设数列an的前n项和为Sn，满足Sn(1)nan，则S1S3S5(
8、D )A.0 B C D解析数列an的前n项和为Sn，满足Sn(1)nan，当n为偶数时，SnSnSn1，即有Sn1，所以S1S3S5.故选D.2(2022辽宁省实验中学模拟)设数列an的前n项和为Sn，且Sn2(an1)，则an( C )A.2n B2n1 C2n D2n1解析当n1时，a1S12(a11)，可得a12；当n2时，anSnSn12an2an1，an2an1，数列an为等比数列，公比为2，首项为2，通项公式为an2n.故选C.3(多选题)下列四个命题中，正确的有( ABD )A.数列的第k项为1B.已知数列an的通项公式为ann2n50，nN*，则8是该数列的第7项C.数列3,
9、5,9,17,33，的一个通项公式为an2n1D.数列an的通项公式为an，nN*，则数列an是递增数列解析对于A，数列的第k项为1，A正确；对于B，令n2n508，得n7或n6(舍去)，B正确；对于C，将3,5,9,17,33，的各项减去1，得2,4,8,16,32，设该数列为bn，则其通项公式为bn2n(nN*)，因此数列3,5,9,17,33，的一个通项公式为anbn12n1(nN*)，C错误；对于D，an1，则an1an0，因此数列an是递增数列，D正确.4(多选题)在数列an中，an(n1)n，则数列an中的最大项可以是( AB )A.第6项 B第7项C.第8项 D第9项解析假设an
10、最大，则有即所以即6n7，所以最大项为第6项和第7项.5已知数列an满足：an(nN*)，且数列an是递增数列，则实数a的取值范围是( C )A.(2,3) B2,3)C. D2,3解析根据题意，由数列的通项公式和数列的函数特性分析可得解可得a的取值范围，即可得答案.根据题意，数列an满足：an(nN*)，且数列an是递增数列，必有解可得a3，即a的取值范围为，故选C.6(2024江西省婺源天佑中学高三上学期)若数列an满足an1an2n，则a1a2a8( B )A.28 B32 C36 D40解析由an1an2n可得，a2a12，a3a24a16，a4a36a1，a5a48a18，a6a510a12，a7a612a114，a8a714a1.所以a1a2a832，故选B.7数列an的前n项和为Sn，且Snn(n1)(nN*).(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足：an，求数列bn的通项公式.解析(1)当n1时，a1S12，当n2时，anSnSn1n(n1)(n1)n2n，a12满足该式，数列an的通项公式为an2n.(2)an(n1)，an1.，得an1an2，bn12(3n11).故bn2(3n1)(nN*).
