1、第2章 函数概念与基本初等函数第9讲 函数模型及其应用A组基础巩固一、单选题1如图所示的是一份统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的有( C )(1)这几年人民生活水平逐年得到提高；(2)人民生活费收入增长最快的一年是2019年；(3)生活费价格指数上涨速度最快的一年是2020年；(4)虽然2021年生活费收入增长是缓慢的，但由于生活费价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善A1项 B2项C3项 D4项2(2024武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数
2、表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是( A )解析根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图象上每个像素的灰度值增加，所以图象在yx上方，结合选项只有A选项能够较好的达到目的3“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t(单位：天)
3、的河水污染质量指数m(t)(每立方米河水所含的污染物)满足m(t)et(m0为初始河水污染质量指数)，经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：ln 102.30)( C )A1个月 B3个月C半年 D1年解析由题可知，m(t)m0et0.1m0，et0.1，tln 0.12.30，t184(天)，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是半年，故选C.4(2023西安市关山中学高三阶段练习)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效
4、率情况下列叙述中正确的是( D )A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析对于A，由图象可知当速度大于40 km/h时，乙车的燃油效率大于5 km/L，当速度大于40 km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5 km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度
5、为80 km/h时，甲车的燃油效率为10 km/L，即甲车行驶10 km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80 km，燃油为8升，故C错误；对于D，由图象可知当速度小于80 km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，用丙车比用乙车更省油，故D正确故选D.5(2022全国高三专题练习)2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：(1)个税起征点为5 000元；(2)每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点专项附加扣除；(3)专项附加扣除包括：赡养老人费用，子女教育费用，继续教育费用，大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：赡养老人费用：每月扣除2 000元，子女教育
6、费用：每个子女每月扣除1 000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：级数一级二级三级每月应纳税所得额x元(含税)x3 0003 000x12 00012 0001时，甲走在最前面B当x1时，乙走在最前面C当0x1时，丁走在最后面D如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲解析甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i1,2,3,4)关于时间x(x0)的函数关系式分别为f1(x)2x1，f2(x)x2，f3(x)x，f4(x)log2(x1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型当x2时，f1(2)3，f2(2)4，所以A不正确；当x5时，f1(5)31，
7、f2(5)25，所以B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0x1时，丁走在最后面，所以C正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确三、填空题10(2022北京一模)调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/kg的经济效益为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1 kg积1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100 kg，则额外奖励x分(x为正整数)月底积分会按照0.1元/分进行自动
8、兑换(1)当x10时，若某家庭某月产生120 kg生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换_13_元；(2)为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x的最大值为_36_.解析(1)若某家庭某月产生120 kg生活垃圾，则该家庭月底的积分为12010130(分)，故该家庭该月积分卡能兑换1300.113(元)(2)设每个家庭每月产生的垃圾为t kg，每个家庭月底积分卡能兑换的金额为f(t)元当0t100时，f(t)0.1t0.34t0.40.136t恒成立；当t100时，f(t)0.1t0.1x0.34t0.4，可得x(0.36t)min36.故x的最大值为36
9、.11一种药在病人血液中的量不少于1 500 mg才有效，而低于500 mg病人就有危险现给某病人注射了这种药2 500 mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过_2.3_小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效(附：lg 20.301 0，lg 30.477 1，结果精确到0.1 h)解析设应在病人注射这种药x小时后再向病人的血液补充这种药，则5002 500(120%)x1 500，整理可得0.20.8x0.6，所以log0.80.6xlog0.80.2.计算得2.3x7.2.四、解答题12兴泉铁路起于江西，途经三明，最后抵达泉州(途经站点
10、如图所示)这条“客货共用”铁路是开发沿线资源、服务革命老区的重要铁路干线，是打通泉州港通往内陆铁路货运的重要方式，将进一步促进山海协作，同时也将结束多个山区县不通客货铁路的历史目前，江西兴国至清流段已于2021年9月底开通运营，清流至泉州段也具备了开通运营条件，即将全线通车预期该路线通车后，列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2t20.经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当10t20时列车为满载状态，载客量为720人；当2t10时，载客量会减少，减少的人数与(12t)的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人记列车载客量为p(t)(1)求p(t)的表达式；(2)若该
11、线路每分钟的净收益为Q(t)60(元)，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值解析(1)由题知，当10t20时，p(t)720，当2t10时，可设p(t)720k(12t)2，又发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人，p(3)720k(123)2396，解得k4.此时p(t)7204(12t)24t296t144,2t10，p(t)(2)由(1)知：Q(t)2t10时，Q(t)132284，当且仅当t3等号成立，2t10时，Q(t)maxQ(3)84，当10t20上，Q(t)单调递减，则Q(t)maxQ(10)48，综上，时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84
12、元B组能力提升1在如今这个5G时代，6G研究已方兴未艾.2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办会上传出消息，未来6G速率有望达到1 Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平香农公式CWlog2是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比若不改变带宽W.而将信噪比从9提升至161，则最大信息传递率C会提升到原来的( C )参考数据：log231
13、.58，log252.32.A2.4倍 B2.3倍C2.2倍 D2.1倍解析根据已知条件，列出比例式，再结合对数函数的公式，即可求解信噪比从9提升至161，最大信息传递率C会提升到原来的2.2.故选C.2(2023上海浦东新区期中)国际上通常用恩格尔系数衡量一个国家和人民生活水平的状况，它的计算公式为n(x代表人均食品支出总额，y代表人均个人消费支出总额)，且y2x475，各种类型的家庭标准如表：家庭类型贫困温饱小康富裕nn59%50%n59%40%n50%30%n0恒成立，即2mk220k94.k220k94(k10)266，2m3.故m的取值范围是(3，)6方同学积极响应国家“全面实施乡村
14、振兴战略”的号召，大学毕业后回到家乡，利用所学专业进行自主创业，自主研发生产A产品经过市场调研，生产A产品需投入固定成本1万元，每生产x(单位：万元)，需再投入流动成本C(x)(单位：万元)，当年产量小于9万件时，C(x)6x8，当年产量不小于9万件时，C(x)5xln x12.已知每件A产品的售价为5元，若方同学生产的A产品当年全部售完(1)写出年利润P(x)(单位：万元)关于年产量x的函数解析式；(注：年利润年销售收入固定成本流动成本)(2)当年产量约为多少万件时，方同学的A产品所获年利润最大？最大年利润是多少？(注：取e320)解析(1)因为产品售价为5元，则x万件产品销售收入为5x万元依据题意得，当0x9时，P(x)5x17，当x9时，P(x)5x111ln x，所以P(x)xN*.(2)当0x9时，P(x)7，因为x24，所以P(x)73，即当x2时，P(x)取得最大值为P(2)3(万元)，当x9时，P(x)11ln x，P(x)，当9x0，P(x)单调递增，当xe3时，P(x)3，当xe320时，P(x)的最大值为7万元当年产量约为20万件时，方同学的A产品所获得的年利润最大，最大年利润为7万元
