1、第2章一元二次方程（易错30题专练）一选择题（共15小题）1（海州区期末）下列方程是一元二次方程的是（）Ax20Bxy+10Cx22x3Dx24x10【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可【解答】解：A、是一元一次方程，故此选项不符合题意；B、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、不是等式，故不是一元二次方程，故此选项不符合题意；D、是一元二次方程，故此选项符合题意；故选：D【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”2（市中
2、区期末）某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）A100（1+x）2280B100（1+x）+100（1+x）2280C100（1x）2280D100+100（1+x）+100（1+x）2280【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量增长前的量（1+增长率），如果设二、三月份每月的平均增长率为x，根据“计划二、三月份共生产280台”，即可列出方程【解答】解：设二、三月份每月的平均增长率为x，则二月份生产机器为：100（1+x），三月份生产机器为：100（1+x）2；又知二、三月份共生产280台；所以，可列方程：10
3、0（1+x）+100（1+x）2280故选：B【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，根据增长率的一般规律，列出方程；平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量3（滨江区期末）下列配方正确的是（）Ax2+2x+5（x+1）2+6Bx2+3x（x+）2C3x2+6x+13（x+1）22Dx2【分析】完全平方公式的掌握a2+2ab+b2（a+b）2，a22ab+b2（ab）2【解答】解：A选项，（x2+2x+1）+4（x+1）2+4；故A不符合题意；B选项，（x2+2x+（）2）（）2（x+）2（）2，故B不符合题意；C选项，3x2+6x+13（x2
4、+2x+1）23（x+1）22，故C符合题意；D选项，x2x+x22x+（）2（）2+（x）2+，故D不符合题意；故选：C【点评】本题考查完全平方公式在配方法中的运用4（江西模拟）关于x的方程（a3）3x20是一元二次方程，则（）Aa3Ba3Ca3Da3【分析】根据一元二次方程的定义得出a272且a30，求出即可【解答】解：关于x的方程（a3）3x20是一元二次方程，a272且a30，解得：a3，故选：C【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键5（永嘉县校级期末）方程（m2）mx+50是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A3B2C3D2或3【分析】根
5、据一元二次方程的定义得出m20且m2+m42，求出m即可【解答】解：方程（m2）mx+50是关于x的一元二次方程，m20且m2+m42，解得：m3，故选：A【点评】本题考查了一元二次方程的定义和解一元二次方程，能根据一元二次方程的定义得出m20和m2+m42是解此题的关键6（江北区期末）下列各式的变形中，正确的是（）A（3x）（3+x）x29B（x3）（x+3）x29Cx24x+3（x2）2+1D（x+1）2x22x+1【分析】利用完全平方公式、平方差公式、配方法把各个选项中的算式进行计算，判断即可【解答】解：A、（3x）（3+x）9x2，故本选项错误；B、（x3）（x+3）x26x9，故本选
6、项错误；C、x24x+3x24x+41（x2）21，故本选项错误；D、（x+1）2x22x+1，故本选项正确；故选：D【点评】本题考查的是整式的运算，掌握配方法的一般步骤、平方差公式、完全平方公式是解题的关键7（怀化期末）一元二次方程x22x+30的二次项系数是（）A1B2C2D3【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c0（a，b，c是常数且a0）特别要注意a0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项根据定义即可判断【解答】解：方程x22x+30的二次项系数为1，一次项系数为2，常数项
7、为3，故选：A【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c0（a，b，c是常数且a0）特别要注意a0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项8（温岭市一模）已知y0是关于y的一元二次方程（m1）y2+my+4m240的一个根，那么m的值是（）A0B1C1D1【分析】把解代入所给的方程，求出m的值【解答】解：把y0代入（m1）y2+my+4m240得：4m240，即m210解得：m11，m21当m1时，关于y的方程由于二次项系数为0不再是一元二次方程，所以m
8、1故选：C【点评】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解法，难度不大本题易错，容易出现求出m就作答，忽略需满足方程是一元二次方程的条件9（金乡县二模）用配方法解方程x26x40，下列配方正确的是（）A（x3）213B（x+3）213C（x6）24D（x3）25【分析】方程常数项移到右边，两边加上9变形得到结果即可【解答】解：方程x26x40变形得：x26x4，配方得：x26x+913，即（x3）213，故选：A【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键10（包头）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x212x+m+20的
9、两根，则m的值是（）A34B30C30或34D30或36【分析】分三种情况讨论，当a4时，当b4时，当ab时；结合韦达定理即可求解；【解答】解：当a4时，b8，a、b是关于x的一元二次方程x212x+m+20的两根，4+b12，b8不符合；当b4时，a8，a、b是关于x的一元二次方程x212x+m+20的两根，4+a12，a8不符合；当ab时，a、b是关于x的一元二次方程x212x+m+20的两根，122a2b，ab6，m+236，m34；故选：A【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键11（嘉兴期末）已知实数x满
10、足（x2x）24（x2x）120，则代数式x2x+1的值是（）A7B1C7或1D5或3【分析】由整体思想，用因式分解法解一元二次方程求出x2x的值就可以求出结论【解答】解：（x2x）24（x2x）120，（x2x+2）（x2x6）0，x2x+20或x2x60，x2x2或x2x6当x2x2时，x2x+20，b24ac141270，此方程无实数解当x2x6时，x2x+17故选：A【点评】本题考查了整体思想在一元二次方程的解法中的运用，因式分解法解一元二次方程的运用，代数式求值的运用，解答时因式分解法解一元二次方程是关键12（永嘉县校级模拟）代数学中记载，形如x2+10x39的方程，求正数解的几何方
11、法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+2564，则该方程的正数解为853”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（）A6B33C32D3【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论【解答】解：x2+6x+m0，x2+6xm，阴影部分的面积为36，x2+6x36，设4a6，则a，同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向
12、外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为36+（）2436+945，则该方程的正数解为333故选：B【点评】此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程13（东安县期末）若关于x的一元二次方程（k1）x22kx+k30有实数根，则k的取值范围为（）Ak0Bk0且k1CkDk且k1【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式得到k10且（2k）24（k1）（k3）0，然后求出两不等式的解集的公共部分即可【解答】解：根据题意得k10且（2k）24（k1）（k3）0，解得k且k1故选：D【
13、点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根14（武义县期末）关于x的方程m2x28mx+120至少有一个正整数解，且m是整数，则满足条件的m的值的个数是（）A5个B4个C3个D2个【分析】根据公式法或因式分解法解方程，根据方程的解为正整数及m为整数，即可确定出m的值【解答】解：m2x28mx+120，解法一：（8m）24m21216m2，x，x1，x2，解法二：（mx2）（mx6）0，x1，x2，关于x的方程m2x28mx+120至少有一个正整数解，且m是整
14、数，0，0，m1或2或3或6，则满足条件的m的值的个数是4个，故选：B【点评】此题考查了用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键15（永年区期中）对于一元二次方程ax2+bx+c0（a0），下列说法：若a+b+c0，则b24ac0；若方程ax2+c0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c0必有两个不相等的实根；若c是方程ax2+bx+c0的一个根，则一定有ac+b+10成立；若x0是一元二次方程ax2+bx+c0的根，则其中正确的（）A只有B只有CD只有【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨
15、论，可得答案【解答】解：若a+b+c0，则x1是方程ax2+bx+c0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知b24ac0，故正确；方程ax2+c0有两个不相等的实根，04ac0，4ac0，则方程ax2+bx+c0的判别式b24ac0，方程ax2+bx+c0必有两个不相等的实根，故正确；c是方程ax2+bx+c0的一个根，则ac2+bc+c0，c（ac+b+1）0若c0，等式仍然成立，但ac+b+10不一定成立，故不正确；若x0是一元二次方程ax2+bx+c0的根，则由求根公式可得：x0或x02ax0+b或2ax0+b故正确故选：B【点评】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系
16、，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键二填空题（共9小题）16（襄城区模拟）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请8队参赛【分析】本题可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果【解答】解：赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，共7428场比赛设比赛组织者应邀请x队参赛，则由题意可列方程为：28解得：x18，x27（舍去），所以比赛组织者应邀请8队参赛故答案为：8【点评】本题是一元二次方程的求法，虽然不难求出x
17、的值，但要注意舍去不合题意的解17（昌图县期末）已知（m1）x|m+1|+2mx+40是关于x的一元二次方程，则m的值是3【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案【解答】解：（m1）x|m+1|+2mx+40是关于x的一元二次方程，|m+1|2，m10，解得：m3，故答案为：3【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握次数是解题关键18（常州）若关于x的方程x2+ax20有一个根是1，则a1【分析】把x1代入方程得出1+a20，求出方程的解即可【解答】解：关于x的方程x2+ax20有一个根是1，把x1代入方程得：1+a20，解得：a1，故答案为：1【点评】本题考查了一元二次方程的
18、解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键19（舟山）在x2+（4x）+40的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根【分析】要使方程有两个相等的实数根，即0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数即可【解答】解：要使方程有两个相等的实数根，则b24acb2160得b4故一次项为4x故答案为4x【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（b24ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根上述结论反过来也
19、成立20（石鼓区期末）已知a是方程x2x10的一个根，则a43a2的值为0【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立【解答】解：把xa代入方程可得，a2a10，即a2a+1，a43a2（a2）23a2（a+1）23a2a2a10【点评】代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取等量关系a2a+1，然后利用“整体代入法”求代数式的值解此题的关键是降次，把a43a2变形为（a2）23a2，把等量关系a2a+1代入求值21（磴口县校级二模）若（x2+y2）25（x2+y2）60，则x2+y26
20、【分析】设x2+y2t则原方程转化为关于t的一元二次方程t25t60，即（t6）（t+1）0；然后解关于t的方程即可【解答】解：设x2+y2t（t0）则t25t60，即（t6）（t+1）0，解得，t6或t1（不合题意，舍去）；故x2+y26故答案是：6【点评】本题考查了换元法解一元二次方程解答该题时，注意x2+y2t中的t的取值范围：t022（2014哈尔滨）若x1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+10的一个解，则m的值为1【分析】根据x1是已知方程的解，将x1代入方程即可求出m的值【解答】解：将x1代入方程得：13+m+10，解得：m1故答案为：1【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程
21、的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值23（桓台县二模）若关于x的方程x3+36x+a0有一个根是2，则66a的值是14【分析】将x2代入方程求a，再求原代数式的值【解答】解：关于x的方程x3+36x+a0有一个根是2872+a0a8066a668014故答案为：14【点评】本题考查高次方程解的含义，将x的值代入方程求出a值是求解本题的关键24（鄞州区期中）设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且（x2+y2）（x2+y21）20，则这个直角三角形的斜边长为【分析】利用换元法解方程（x2+y2）（x2+y21）20，即可得到x2+y25，进而得出这个直角三角形的斜边长为【解答】解：设x2+
22、y2t，则原方程可化为：t（t1）20，t2t200，即（t+4）（t5）0，t15，t24（舍去），x2+y25，这个直角三角形的斜边长为，故答案为：【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力和勾股定理，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键三解答题（共6小题）25（嘉峪关校级期中）解方程（1）（x1）（x+3）12 （2）（x3）23x（3）3x2+5（2x+1）0【分析】（1）方程整理为一般形式后，左边利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；（2）方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有
23、一个为0转化为两个一元一次方程来求解；（3）方程整理为一般形式后，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出值【解答】解：（1）方程整理得：x2+2x150，分解因式得：（x3）（x+5）0，解得：x13，x25；（2）方程变形得：（x3）2+（x3）0，分解因式得：（x3）（x3+1）0，解得：x13，x22；（3）方程整理得：3x2+10x+50，这里a3，b10，c5，1006040，x【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及公式法，熟练掌握各种解法是解本题的关键26（永嘉县校级期中）选择适当方法解一元二次方程：（1）（x5）2360；（2）2x2+4x50【分析】（1）因式分解法
24、求解（2）用公式法解方程【解答】解：（1）原方程化为：（x5）262x56x11或x211（2）a2，b4，c54242（5）56由求根公式x得：xx1或x2【点评】本题考查一元二次方程的解法，根据方程特征选择适当的解法是求解本题的关键27（东阳市期末）阅读理解：我们一起来探究代数式x2+2x+5的值，探究一：当x1时，x2+2x+5的值为8；当x2时，x2+2x+5的值为13，可见，代数式的值因x的取值不同而变化探究二：把代数式x2+2x+5进行变形，如：x2+2x+5x2+2x+1+4（x+1）2+4，可以看出代数式x2+2x+5的最小值为4，这时相应的x1根据上述探究，请解答：（1）求代
25、数式x28x+17的最大值，并写出相应x的值（2）把（1）中代数式记为A，代数式9y2+12y+37记为B，是否存在，x，y的值，使得A与B的值相等？若能，请求出此时xy的值，若不能，请说明理由【分析】探究一：把x1和x2分别代入代数式x2+2x+5中，再进行计算即可得出答案；探究二：先将代数式x2+2x+5配方后得：（x+1）2+4，可得结论；（1）将代数式x28x+17配方后可得结论；（2）存在AB，列式可得x和y值，相乘可得xy的值【解答】解：探究一：当x1时，x2+2x+512+2+58；若x2，x2+2x+522+22+513；故答案为：8，13；探究二：x2+2x+5（x2+2x+
26、1）+4（x+1）2+4，（x+1）2是非负数，这个代数式x2+2x+5的最小值是4，此时x1故答案为：4，1；（1）x28x+17（x+4）2+33，当x4时，代数式x28x+17有最大值是33；（2）Ax28x+17，B9y2+12y+37，当AB时，则BA0，（9y2+12y+37）（x28x+17）0，9y2+12y+4+x2+8x+160，（3y+2）2+（x+4）20，3y+20，x+40，x4，y，xy4（）【点评】此题考查了配方法的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式进行解答28在实数范围内定义运算“”，其法则为：aba2b
27、2，求方程a9的解【分析】理解新定义，根据定义把方程转化为一般式求解，结合字母的取值范围确定原方程的解【解答】解：由题意得：，（2分）即a2a60解得：a12，a23（2分）又有意义，a30，a3a3（2分）【点评】此题考查对新定义的理解和综合应用能力，注意定义中的字母取实数这一前提条件29（西湖区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2（m+4）x+2m+40（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；（2）若该方程只有一个小于4的根，求m的取值范围；（3）若x1，x2为方程的两个根，且nx12+x224，判断动点P（m，n）所形成的数图象是否经过点A（5，9），并说明理由【分析】（1）由（m+
28、4）24（2m+4）m20知方程有两个实数根；（2）由一元二次方程的求根公式得出方程的两个根，由于其中一个等于2，已经小于4，故令另外一个含有m的根大于等于4，即可求出m的值；（3）先由韦达定理得出x1+x2m+4，x1x22m+4，代入nx12+x224，从而将动点P（m，n）仅用含m的代数式表示，再将点A（5，9）代入验证即可【解答】（1）证明：（m+4）24（2m+4）m20，该一元二次方程总有两个实数根；（2）解：关于x的一元二次方程x2（m+4）x+2m+40a1，b（m+4），c2m+4由一元二次方程的求根公式得：xx1m+2，x22该方程只有一个小于4的根m+24m2；（3）由韦
29、达定理得：x1+x2m+4，x1x22m+4nx12+x2242x1x24（m+4）22（2m+4）4m2+4m+4动点P（m，n）可表示为（m，m2+4m+4）当m5时，m2+4m+42520+49动点P（m，n）所形成的数图象经过点A（5，9）【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根；同时本题还考查了公式法求解方程及韦达定理得应用，以及点的坐标与函数的对应关系30（永嘉县校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m210（1）若方程有两个不相等的实数根，求
30、实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足x1+x2+x1x25，求实数m的值【分析】（1）当方程有两个不相等的实数根时，0，列式计算出m的值；（2）根据根与系数的关系求出两根的和与两根的积，代入x1+x2+x1x25中得：m14，m22，再根据的取值确定其m的值【解答】解：（1）2（m+1）241（m21）0，4（m+1）24m2+40，8m8，m1，则当m1时，方程有两个不相等的实数根；（2）x1+x22（m+1）2m2，x1x2m21，x1+x2+x1x25，2m2+m215，m22m80，（m4）（m+2）0，m14，m22，方程两实数根分别为x1，x2，0，m1，m4【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2，x1x2，一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的两个实数根；当0时，方程有两个相等的两个实数根；当0时，方程无实数根上面的结论反过来也成立要注意第（2）中根据已知式子得出m的值后，利用根的判别式进行取舍
