1、第2章一元二次方程单元测试(A卷夯实基础）一选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1（凉山州期末）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）Ax21B（a2+1）x210Cax2x+20Dx2+xx21【思路点拨】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可【答案】解：A、不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、是一元二次方程，故此选项符合题意；C、当a0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；D、化简后不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：B【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应
2、注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”2（兰山区期末）把方程x23（x+1）2x化成一般形式正确的是（）Ax2x30Bx2+x+30Cx25x30Dx2x+30【思路点拨】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c0（a，b，c是常数且a0）【答案】解：x23（x+1）2x，去括号，得x23x32x移项、合并同类项，得x25x30故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c0（a，b，c是常数且a0）在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项
3、3（广丰区期末）若方程（m1）x（m+1）x20是一元二次方程，m的值为（）A1BC1D1【思路点拨】利用一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数最高项次数为2次，这样的整式方程叫一元二次方程，判断即可【答案】解：方程（m1）x（m+1）x20是一元二次方程，m2+12且m10，解得：m1故选：D【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键4（伊川县期末）方程x（2x+1）3（2x+1）的根是（）A3和BC3D3和【思路点拨】提取公因式（2x+1）即可得到（x3）（2x+1）0，然后解两个一元一次方程即可【答案】解：x（2x+1）3（2x+1）x（2x+1）
4、3（2x+1）0（2x+1）（x3）0x13，x2故选：A【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的知识，根据方程的特点选择合适的方法解一元二次方程是解决此类问题的关键一般解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法5（徐汇区期末）下列方程中，没有实数根的是（）Ax23x10Bx23x0Cx22x+10Dx22x+30【思路点拨】各个方程求出根的判别式的值，判断出正负即可确定是否有根【答案】解：A、b24ac（3）241（1）130，方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；B、b24ac（3）241090，方程有两个不相等的实数根，所以B选项不符合题意；C、b24ac（2
5、）24110，方程有两个相等的实数根，所以C选项不符合题意；D、b24ac（2）241380，方程没有实数根，所以D选项符合题意故选：D【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac有如下关系：当b24ac0时，方程有两个不相等的实数根；当b24ac0时，方程有两个相等的实数根；当b24ac0时，方程无实数根6（香洲区期末）已知一个直角三角形的两边长是方程x29x+200的两个根，则这个直角三角形的斜边长为（）A3BC3或D5或【思路点拨】利用因式分解法解方程求出x的值，再分情况讨论求解即可【答案】解：x29x+200，（x4）（x5）0，则x40或x50
6、，解得x14，x25，若4、5均为直角边长度，则斜边长度为，若4、5有一边是斜边长度，则斜边长度为5，故选：D【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法7（丹江口市期末）已知a，b是一元二次方程x23xm210的两个根，则a2+3b+ab的值等于（）A8B9C10D与m的值有关【思路点拨】利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a23am2+1，a+b3，abm21，再将其代入a2+3b+aba23a+3（a+b）+ab中即可求出结论【答案】解：a，b是一元二次方程x23xm210的两个根
7、，a23am2+1，a+b3，abm21，a2+3b+aba23a+3a+3b+aba23a+3（a+b）+abm2+1+33m219故选：B【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出“a23am2+1，a+b3，abm21”是解题的关键8（锦州期末）若关于x的一元二次方程ax24x+20有两个实数根，则a的取值范围是（）Aa2Ba2且a0Ca2Da2且a0【思路点拨】利用二次项系数非零及根的判别式0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围【答案】解：关于x的一元二次方程ax24x+20有两个实数根，解得：a2且a0故选
8、：B【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当0时，方程有两个实数根”是解题的关键9（麦积区期末）2021年3月25日，国家卫健委新闻发言人米锋在发布会上表示，疫情仍在全球扩散蔓延，但我国疫情已得到有效控制新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），则每轮传染中平均每个人传染了几个人（）A12B14C10D11【思路点拨】设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮传染后有x人被传染，第二轮传染后有x（1+x）人被传染，根据经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其
9、正值即可得出结论【答案】解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮传染后有x人被传染，第二轮传染后有x（1+x）人被传染，依题意得：1+x+x（1+x）169，解得：x112，x214（不合题意，舍去）故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键10（深圳期末）文博会期间，某公司调查一种工艺品的销售情况，下面是两位调查员和经理的对话小张：该工艺品的进价是每个22元；小李：当销售价为每个38元时，每天可售出160个；当销售价降低3元时，平均每天将能多售出120个经理：为了实现平均每天3640元的销售利润，这种工艺品的销售价应降低多少元？设这种
10、工艺品的销售价每个应降低x元，由题意可列方程为（）A（38x）（160+120）3640B（38x22）（160+120x）3640C（38x22）（160+3x120）3640D（38x22）（160+120）3640【思路点拨】由这种工艺品的销售价每个降低x元，可得出每个工艺品的销售利润为（38x22）元，销售量为（160+120）个，利用销售总利润每个的销售利润销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解【答案】解：这种工艺品的销售价每个降低x元，每个工艺品的销售利润为（38x22）元，销售量为（160+120）个依题意得：（38x22）（160+120）3640故选：D【点睛】本题考
11、查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键二填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11（岳阳县期末）用配方法将方程x22x30变为（xa）2b的形式，则a+b5【思路点拨】方程整理后，利用完全平方公式配方即可求得a、b的值，进而求得a+b的值【答案】解：方程x22x30，变形得：x22x3，配方得：x22x+14，即（x1）24，a1，b4，a+b5故答案为：5【点睛】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键12（阜南县期末）当x1或2时，代数式（x+1）（x5）与（3x1）（x+1）的值相等【思路点拨】根据题意列出关于x的方程
12、，利用因式分解法求解可得答案【答案】解：根据题意，得：（x+1）（x5）（3x1）（x+1），（x+1）（x5）（3x1）（x+1）0，（x+1）（2x4）0，则x+10或2x40，解得x11，x22当x1或2时，代数式（x+1）（x5）与（3x1）（x+1）的值相等，故答案为：1或2，【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键13（锦州期末）若m是方程3x2+2x30的一个根，则代数式6m2+4m的值为6【思路点拨】利用一元二次方程解的定义得到3m2+2m3，再把6m
13、2+4m变形为2（3m2+2m），然后利用整体代入的方法计算【答案】解：m是方程3x2+2x30的一个根，3m2+2m30，3m2+2m3，6m2+4m2（3m2+2m）236故答案为：6【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解14（郸城县期中）若关于x的方程kx26x+90有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k1且k0【思路点拨】根据一元二次方程的定义和的意义得到k0且0，即（6）24k90，然后求出两个不等式的公共部分即可【答案】解：关于x的方程kx26x+90有两个不相等的实数根，k0且0，即（6）24k90，k1且k0故答案为：k
14、1且k0【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c0（a0）根的判别式b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了一元二次方程的定义15（道县期末）已知一个三角形的两边长为3和4，若第三边长是方程x212x+350的一个根，则第三条边是5【思路点拨】先利用因式分解法解方程得到x15，x27，然后根据三角形三边的关系确定第三边的长【答案】解：x212x+350，（x5）（x7）0，x50或x70，所以x15，x27，当三角形第三边为7时，因为3+47不符合三角形三边的关系，所以三角形第三边为5故答案为：5【点睛】本题考查了解一元二次方
15、程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法也考查了三角形三边的关系16（仙居县期末）如图，在一块长22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草若花草的种植面积为240m2，则小路宽为2m【思路点拨】设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22x）m，宽（14x）m的矩形的面积，根据花草的种植面积为240m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论【答案】解：设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22x）m，宽（14x）m的矩形的面积，依题意得：（22x）（14x）24
16、0，整理得：x236x+680，解得：x12，x234（不合题意，舍去）故答案为：2【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键三解答题（共7小题，共66分）17（兰州期末）解方程：（1）x22x30（公式法）；（2）3x27x+40（配方法）；（3）（x2）2（2x+3）2（因式分解法）；（4）（x1）22x2（适当的方法）【思路点拨】（1）利用公式法求解即可；（2）利用配方法求解即可；（3）利用因式分解法求解即可（4）利用因式分解法求解即可【答案】解：（1）x22x30，a1，b2，c3，（2）2+41（3）160，x，x13，x21（2）3x27x
17、+40，x2x，x2x+（）2+（）2，即（x）2，x，；（3）（x2）2（2x+3）2，（x2）2（2x+3）20，（x2+2x+3）（x22x3）0，即（3x+1）（x5）0，3x+10，x50，x1，x25；（4）（x1）22x2，（x1）22（x1）0，（x1）（x12）0，x10或x30，x13，x21【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用公式法、直接开方法、因式分解法以及配方法，本题属于基础题型18（铁锋区期末）解方程：（1）4（2x1）2250；（2）3x（x1）22x【思路点拨】（1）将常数项移到方程的右边，再将二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方
18、配成完全平方式后，再开方即可得；（2）先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案【答案】解：（1）4（2x1）2250，4（2x1）225，（2x1）2，2x1，解得x1，x2；（2）3x（x1）22x，3x（x1）+2（x1）0，（x1）（3x+2）0，则x10或3x+20，解得x11，x2【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键19（北京期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*ba2ab如：2*12
19、2212根据这个法则，（1）计算：3*23；（2）判断（t+2）*（2t+1）0是否为一元二次方程，并求解；（3）判断方程（x+2）*13的根是否为x1，x2，并说明理由【思路点拨】（1）利用题中的新定义列式计算可得结果；（2）利用题中的新定义判断即可；（3）利用题中的新定义判断即可【答案】解：（1）根据题中的新定义得：3*23232963，故答案为：3；（2）已知等式变形得：（t+2）2（t+2）（2t+1）0，整理得t2+t20，是一元二次方程；解方程得t2+t20，得（t+2）（t1）0，即t+20或t10，解得t12，t21；（3）方程变形得：（x+2）2（x+2）3，整理得：x2+4
20、x+4x230，即x2+3x10，a1，b3，c1，x，解得：x1，x2故方程（x+2）*13的根不是x1，x2【点睛】此题考查了根与系数的关系，实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键20（海淀区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2（3k+1）x+2k2+2k0（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）若ABC的一边长a6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求k的取值范围【思路点拨】（1）先计算根的判别式，然后利用非负数的性质证明0，从而得到结论；（2）先利用求根公式得到b2k，ck+1，再利用两边之和大于第三边得到2k+k+16，2k0，k+10，k+1+62k，然后解不
21、等式组得到k的范围【答案】（1）证明：（3k+1）24（2k2+2k）k22k+1（k1）20，无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）解：x，解得x12k，x2k+1，即b2k，ck+1，2k+k+16，2k0，k+10，k+1+62k，k7，即k的取值范围为k7【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根，x1+x2，x1x2也考查了根与系数的关系和三角形三边的关系21（包头期末）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，一月份售出32台，二、三月份这种台灯销售量连续增长，其中三月份售出50台（1）求二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增
22、长率；（2）从四月份起商场决定采取降价促销措施，调查发现，在三月份销量的基础上，如果这种台灯的售价每降价2元，那么月销售量增加4台当每台降价多少元时，四月份销售这种台灯可获利348元？【思路点拨】（1）设二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为x，利用三月份的销售量一月份的销售量（1+月均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设每台降价x元，则每台的销售利润为（40y30）元，四月份可售出（50+2y）台，利用总利润每台的销售利润四月份的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【答案】解：（1）设二月份、三月份两个月这种台灯销售
23、量的月均增长率为x，依题意得：32（1+x）250，解得：x10.2525%，x22.25（不合题意，舍去）答：二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为25%（2）设每台降价y元，则每台的销售利润为（40y30）元，四月份可售出50+4（50+2y）台，依题意得：（40y30）（50+2y）348，整理得：y2+15y760，解得：y14，y219（不合题意，舍去）答：当每台降价4元时，四月份销售这种台灯可获利348元【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键22（安居区期末）为解方程（x21）25（x21）+40，我们可以将x21视为一个整体
24、，然后设x21y，则原方程可化为y25y+40，解此方程得y11，y24当y1时，x211，所以；当y4时，x214，所以所以原方程的根为，以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想运用上述方法解下列方程：（1）（x2x）（x2x4）4；（2）x4+x2120【思路点拨】（1）设x2xa，原方程可化为a24a+40，求出a的值，再代入x2xa求出x即可；（2）设x2y，原方程化为y2+y120，求出y，再把y的值代入x2y求出x即可【答案】解：（1）（x2x）（x2x4）4，设x2xa，则原方程可化为a24a+40，解此方程得：a1a22，当a2时，x2x2，
25、即x2x20，因式分解得：（x2）（x+1）0，解得：x12，x21，所以原方程的解是x12，x21；（2）x4+x2120，设x2y，则原方程化为y2+y120，因式分解，得（y3）（y+4）0，解得：y13，y24，当y3时，x23，解得：x；当y4时，x24，无实数根，所以原方程的解是x1，x2【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程和用因式分解法解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键23（台江区期末）阅读材料：数学课上，老师在求代数式x24x+5的最小值时，利用公式a22ab+b2（ab）2，对式子作如下变形：x24x+5x24x+4+1（x2）2+1因为（x2）20，所以（x2）2
26、+11当x2时，（x2）2+11，因此（x2）2+1有最小值1，即x24x+5的最小值为1通过阅读，解决下列问题：（1）代数式x2+10x6的最小值为31；（2）当x取何值时，代数式x2+6x+8的值有最大值或最小值，并求出最大值或最小值；（3）试比较代数式4x22x与2x2+6x9的大小，并说明理由【思路点拨】（1）仿照阅读材料中的方法把代数式配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；（2）代数式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质判断即可；（3）利用作差法列出关系式，配方后利用非负数的性质确定出大小即可【答案】解：（1）x2+10x6（x2+10x+25）31（x+5）231，（x+5）20，当x+50，即x5时，代数式最小值为31；故答案为：31；（2）x2+6x+8（x26x+9）+17（x3）2+17，（x3）20，（x3）20，当x30，即x3时，代数式有最大值17；（3）（x2）20，（4x22x）（2x2+6x9）4x22x2x26x+92x28x+92（x24x+4）+12（x2）2+110，4x22x2x2+6x9【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键
