1、专题4.17 三角形的中位线（巩固篇）一、单选题1如图，在ABC中，D是AB上一点，ADAC，AECD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD16，则EF的长为（）A32B16C8D42如图，在ABC中，AB10，BC16，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若AFB90，则线段EF的长为（）A2B3C4D53下列命题是假命题的是（）A任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边B三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半C如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等D一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4如图，ABC中，ABA
2、C12，BC10，AD平分BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为（）A11B17C18D165如图，四边形ABCD四边的中点分别为E，F，G，H，对角线AC与BD相交于点O，若四边形EFGH的周长是3，则ACBD的长为（）A3B6C9D126如图，在ABC中，ACB=90,分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于AC）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD，下列结论错误的是（）AAD=CDBA=DCECADE=DCBDA=2DCB7如图，在中，是的中点，在上，且，连接，交于点，若，则（）A15B18C20D258如图，ABC的
3、周长为a，以它的各边的中点为顶点作A1B1C1，再以AB1C1各边的中点为顶点作A2B2C2，再以AB2C2各边的中点为顶点作A3B3C3，如此下去，则AnBnCn的周长为（）AaBaCaDa9如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，若MPN=130，则NMP的度数为（）A10B15C25D4010如图，在中，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点，现给出以下四个结论：；是等腰直角三角形；当在内绕顶点旋转时（点不与点，重合），上述结论中始终正确的是（ ）ABCD二、填空题11如图，在中，分别为，的中点若的长为10，则的长为_12如图，在中，点、分别在、上，
4、将沿翻折，使与的中点重合，则的长为_13如图，已知在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F，G分别是AD，AE的中点，且FG2 cm，则BC的长度是_ cm14如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接若，则的长为_15如图，在平行四边形纸片ABCD中，将纸片沿对角线AC对折至CF，交AD边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是_16如图，在边长为4的等边中，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为_17如图，在RtABC中，C90，AC1，BC2，D为AB的中点，E为边BC上一点，将ADE沿DE翻折得到ADE，AD与BC交于F若ADE与BDE重叠
5、部分的面积占ABE面积的，则BF的长为_18如图，在中，将平移5个单位长度得到，点、分别是、的中点，的最小值等于_三、解答题19如图所示，点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，求证：四边形是平行四边形20如图，在ABC中，ABAC，ADBC于点D（1）若DEAB交AC于点E，证明：ADE是等腰三角形；（2）若BC12，DE5，且E为AC中点，求AD的值21如图，在ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF3BF，连接DB，EF（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；（2）若ACB90，AC12cm，DE4cm，求四边形DEFB的周长22在中，分别是上的点，且，
6、作平分交于点，在上取点，使，连接并延长，交的延长线于点，连接.（1）求证：；（2）若，求的大小（3）在（2）的条件下，若四边形的面积为，请直接写出的面积（用含的式子表示）23如图，直线与轴相交于点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点求直线的函数关系式；点是上的一点，若的面积等于的面积的倍，求点的坐标设点 的坐标为，是否存在 的值使得 最小？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由24（1）探究：如图（1），点P在线段AB上，在AB的同侧作APC和BPD，满足PC=PA，PD=PB，APCBPD，连接CD，点E、F、G分别是AC、BD、CD边中点，连接EF、FG、EG求证：
7、EFGGEF（2）应用：如图（2），点P在线段AB上方，APCBPD90，图（1）题中的其他条件不变，若EF2，则四边形ABDC的面积为参考答案1C【分析】根据等腰三角形的性质和中位线的性质求解即可解：ADAC，是等腰三角形，AECD，E是CD的中点，F是BC的中点，EF是BCD的中位线，故答案为：C【点拨】本题考查了三角形的线段长问题，掌握等腰三角形的性质和中位线的性质是解题的关键2B【分析】根据直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到DF=5，由三角形中位线的性质得到DE=8，最后由线段的和差解题即可解：AFB=90，点D是AB的中点，DF=AB=5，BC= 16，D、E分别是AB，AC
8、的中点，DE=BC=8，EF=DE-DF=3，故选：B【点拨】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键3C【分析】根据三角形两边之差小于第三边、中位线定理、平行四边形的判定方法依次即可求解解：选项A：三角形的两边之差小于第三边，故选项A正确，不符合题意；选项B：三角形的中位线平行且等于第三边的一半，故选项B正确，不符合题意；选项C：一个角的两边分别平行另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故选项C不正确，是假命题，符合题意；选项D：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项D正确，不符合题意；故选：C【点拨】本题考查了三角形中位线定理，三角形三边之间的关系，平行四边形的
9、判定等知识点，熟练掌握各个基本定理和性质是解决本类题的关键4B【分析】根据等腰三角形的性质得到BD=DC，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案解：AB=AC，AD平分BAC，点E为AC的中点，CDE的周长=CD+CE+DE=17，故选：B【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键5A【分析】先由三角形的中位线定理推知四边形EFGH是平行四边形，然后求解即可解：如图，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，EH、FG分别是ABD、BCD的中位线，EF、HG分别是ACD、ABC的中
10、位线，根据三角形的中位线的性质知：EFAC，GHAC且EF=GH=AC，EH=FG=BD，四边形EFGH是平行四边形，四边形EFGH的周长是3，即EF+GH+EH+FG=3，AC+BD=3，故选：A【点拨】本题主要考查中点四边形，解题时，利用三角形中位线定理判定四边形EFGH是平行四边形是解题的关键6D【分析】根据题意可知DE是AC的垂直平分线，由此即可一一判断解：DE是AC的垂直平分线，DA=DC，AE=EC，故A正确，DEBC，A=DCE，故B正确，ADE=CDE=DCB，故C正确，故选D【点拨】本题考查作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，解题
11、的关键是熟练运用这些知识解决问题7D【分析】过D作DGAB，交CE于G，连接DE，根据三角形中位线的定理可得CGEG，通过DGFAEF，可得AF=DF，再利用三角形的面积可求解解：过D作DGAB，交CE于G，连接DE，D为BC的中点，DG为BCE的中位线，BE2GD，CGEG，AE=GD，DGAB，AEF=DGF，EAF=GDF，DGFAEF，AF=DF，SABD30，SAED10，SAEF5，S四边形DCEFSABDSAEF30525，故选：D【点拨】本题主要考查三角形的面积，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键8A【分析】根据三角形中位线的性质可
12、知的周长的周长，的周长的周长，以此类推找出规律，写出代数式，再整理即可选择解：以ABC的各边的中点为顶点作，的周长的周长以各边的中点为顶点作，的周长的周长，的周长故选：A【点拨】本题主要考查三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质求出前2个三角形的面积总结出规律是解答本题的关键9C分析：根据中位线定理和已知，易证明PMN是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出PMN的度数解：在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，PN，PM分别是CDB与DAB的中位线，PM=AB，PN=DC，PMAB，PNDCAB=CD，PM=PN，PMN是等腰三角形MPN=130，
13、PMN=25故选C【点拨】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的判定和性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识10B【分析】根据等腰直角三角形的性质得出B=C=BAP=CAP=45，AP=PC=PB，APC=EPF=90，求出APE=CPF，证APECPF，推出AE=CF，EP=PF，推出SAEP=SCPF，求出S四边形AEPF=SAPC=SABC，EF不是ABC的中位线，故EFAP，即可得出答案解：ABC中，AB=AC，BAC=90，P是BC中点，B=C=BAP=CAP=45，AP=PC=PB，APC=EPF=90，EPF-APF=APC-APF，APE=CPF，在APE和CPF中，
14、APECPF（ASA），AE=CF，EP=PF，EPF是等腰直角三角形，正确；正确；ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，AP=BC，EF不是ABC的中位线，EFAP，故错误；APECPF，SAEP=SCPF，S四边形AEPF=SAEP+SAPF=SCPF+SAPF=SAPC=SABC，正确；正确的有，故选：B【点拨】本题考查了等腰三角形性质，三角形中位线的性质，三角形三边关系定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力1110【分析】根据三角形中位线定理求出AB，根据直角三角形的性质解答解：E、F分别为BC、AC的中点，AB2EF20，ACB90，点D为AB的
15、中点，故答案为：10【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键12【分析】过点M作于N，则，可得MN是的中位线，利用三角形中位线定理可得MN=AC=3，BN=CN=BC=4，设CF=x，则NF=4-x，由折叠的性质可得MF=CF，在中，利用勾股定理即可求解解：过点M作于N，是的中点，MN是的中位线，MN=AC=3，BN=CN=BC=4，设CF=x，则NF=4-x，将沿翻折，使与的中点重合，MF=CF=x，在中，解得，CF=故答案为：【点拨】本题考查折叠的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握三角形的中位线
16、定理，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键138【解析】略14【分析】延长DC交EF于点M（图见详解），根据平行四边形与等边三角形的性质，可证CFM是等边三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C、G是DM和DE的中点，根据中位线的性质，可得出CG=，代入数值即可得出答案解：如下图所示，延长DC交EF于点M，平行四边形的顶点C在等边的边上，是等边三角形，在平行四边形中，又是等边三角形， ， G为的中点，是的中点，且是的中位线，故答案为：【点拨】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长DC交EF于点M，利用平行四边形、等边三角形性质求出
17、相应的线段长，证出是的中位线是解题的关键15【分析】为等边三角形，点A为BF的中点，可得，求得，再证明出点E为AD的中点，得到，可求出面积解：折叠至处，AB=AF=2cm，BC=BF=CF=4cm，为等边三角形，又四边形ABCD为平行四边形，cm，CD=AB=2cm，=，点A为BF的中点，AE为的中位线，点E为AD的中点，=为折叠重合部分的面积，故答案为：【点拨】本题考查了折叠问题以及等边三角形和平行四边形的综合问题，还涉及勾股定理，需要有一定的推理论证能力，熟练掌握等边三角形和平行四边形的性质是解题的关键16【分析】连接DE，根据题意可得DEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长解
18、：连接DE，D、E分别是AB、BC的中点，DEAC，DE=ACABC是等边三角形，且BC=4，DEB=60，DE=2 EFAC，C=60，EC=2，FEC=30，EF=DEG=180-60-30=90G是EF的中点，EG=在RtDEG中，DG= 故答案为【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键17#【分析】依据勾股定理可得AB的长，由DEF与ABE面积关系推出F为BE中点，再根据三角形中位线定理以及勾股定理即可得出CE的长，进而得到BF的长解：如图，RtABC中，C90，AC1，BC2，点D是AB的中点，SBDESABE，又DEF
19、的面积占ABE面积的，SFDESABESDBE，F是BE的中点，又D是AB的中点，DF是ABE的中位线，DFAE，23，又21，13，AEADAB，RtACE中，BE2，BFBE，故答案为：【点拨】本题考查勾股定理、三角形中位线定理、折叠图形的特征等知识点，将题目中三角形面积关系转化为线段间的关系是解题关键18【分析】取A1B1的中点P，连接QP、PP，如图，根据平移的性质得到PP7，B1C1BC4，再利用PQ为A1B1C1的中位线得到PQ=2，利用三角形三边的关系得到PPPQPQPP+PQ（当且仅当P、P、Q三点共线时取等号），从而得到PQ的最小值解：取A1B1的中点P，连接QP、PP，如图
20、：ABC平移5个单位长度得到A1B1C1，PP5，B1C1BC3，Q是A1C1的中点，P为A1B1的中点，PQ为A1B1C1的中位线，PQB1C1，PPPQPQPP+PQ（当且仅当P、P、Q三点共线时取等号），即，PQ的最小值为故答案为【点拨】本题主要考查平移的性质和三角形三边关系，三角形的中位线的性质，掌握三角形三边关系是解题的关键19见分析【分析】连接BD，利用三角形的中位线定理证明得出，从而得到四边形是平行四边形解：如图，连接点E，H分别是线段的中点，是的中位线，EHBD，同理，四边形是平行四边形【点拨】此题主要考查了三角形中位线定理和平行四边形的判定方法，题目比较典型，又有综合性，难度
21、不大，解题的关键是正确的添加辅助线，把四边形的问题转化为三角形的问题20（1）见分析；（2）8【分析】（1）根据“三线合一”性质先推出BAD=CAD，再结合平行线的性质推出BAD=ADE，从而得到ADE=EAD，即可根据“等角对等边”证明；（2）根据题意结合中位线定理可先推出AC=2DE，然后在RtADC中利用勾股定理求解即可解：（1）证：在ABC中，ABAC，ABC为等腰三角形，ADBC于点D，由“三线合一”知：BAD=CAD，DEAB交AC于点E，BAD=ADE，CAD=ADE，即：ADE=EAD，AE=DE，ADE是等腰三角形；（2）解：由“三线合一”知：BD=CD，BC=12，DC=6
22、，E为AC中点，DE为ABC的中位线，AB=2DE，AC=AB=2DE=10，在RtADC中，AD=8【点拨】本题考查等腰三角形的性质与判定，勾股定理解三角形，以及三角形的中位线定理等，掌握等腰三角形的基本性质，熟练运用中位线定理和勾股定理计算是解题关键21（1）见分析；（2）平行四边形DEFB的周长【分析】（1）证DE是ABC的中位线，得DEBC，BC2DE，再证DEBF，即可得出四边形DEFB是平行四边形；（2）由（1）得：BC2DE8（cm），BFDE4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BDEF，再由勾股定理求出BD10（cm），即可求解解：（1）证明：点D，E分别是AC，AB的中点，
23、DE是ABC的中位线，DE/BC，BC2DE，CF3BF，BC2BF，DEBF，四边形DEFB是平行四边形；（2）解：由（1）得：BC2DE8（cm），BFDE4cm，四边形DEFB是平行四边形，BDEF，D是AC的中点，AC12cm，CDAC6（cm），ACB90，BD10（cm），平行四边形DEFB的周长2（DE+BD）2（4+10）28（cm）【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFB为平行四边形是解题的关键22（1）见分析；（2）；（3）.【分析】（1）由已知证明可得出=90，即（2）根据已知由中垂线性质可得
24、，即，由即可得出.(3)由已知可推出.解：（1）证明：平分，在和中，即；（2），由中垂线性质得：，在中，又，（3）由已知可得：.【点拨】本题考查三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理的性质及判定是解题关键.23（1）y=x-2；（2）（ ，）或（， ）；（3）（，3）【分析】（1）把点（3，-1），点B（6，0）代入直线l2，求出k、b的值即可；（2）设点P的坐标为（t， t-2），求出D点坐标，再由SABP=2SABD求出t的值即可；（3）作直线y=3，作点A关于直线y=3的对称点A，连结AB，利用待定系数法求出其解析式，根据点Q（m，3）在直线AB上求出m的值，进而可得出结论解：（1）
25、由题知：解得：，故直线l2的函数关系式为：y=x-2；（2）由题及（1）可设点P的坐标为（t， t-2）解方程组 ，得 ，点D的坐标为（，-）SABP=2SABD，AB|t-2|=2AB|-|，即|t-2|=，解得：t=或t=，点P的坐标为（ ，）或（， ）；（3）作直线y=3（如图），再作点A关于直线y=3的对称点A，连结AB由几何知识可知：AB与直线y=3的交点即为QA+QB最小时的点Q点A（3，0），A（3，6）点B（6，0），直线AB的函数表达式为y=-2x+12点Q（m，3）在直线AB上，3=-2m+12解得：m=，故存在m的值使得QA+QB最小，此时点Q的坐标为（，3）【点拨】此题
26、考查一次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点，轴对称最短路线问题，三角形的面积公式，解题关键在于在解答（3）时要注意作出辅助线，利用轴对称的性质求解24（1）见分析；（2）4【分析】（1）连接AD，BC，可证得APDCPB，从而得到AD=CB再由三角形中位线定理，可得EG=GF，即可求证；（2）连接AD、BC交于点M，BC、PD交于点N，可证得APDCPB，从而得到AD=CBADP=CBP，再由CND=PNB，ADBC，再由三角形中位线定理，可得GEF为等腰直角三角形，从而得到，再由，即可求解解：证明：（1） 如图，连接AD，BC，APC=BPD，APD=CPBPA=PC，PD=PB，
27、APDCPB，AD=CBE、G、F分别为AC、CD、DB的中点，EG=AD，GF=BC，EG=GF，GEF=GFE（2）如图，连接AD、BC交于点M，BC、PD交于点N，APC=BPD=90，APC+CPD=BPD+CPD，即APD=CPB，PA=PC，PD=PB，APDCPB（SAS），AD=CB，ADP=CBP，CND=PNB，DMN=BPD=90，ADBC，E、G、F分别为AC、CD、DB的中点，EG是ACD的中位线，GF是DCB的中位线，EG=AD，GF=BC， EGAD，GFBC，GE=GF，GEGF，GEF为等腰直角三角形，EF=2，故答案为：4【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及三角形中位线的性质是解题的关键
