1、专题2.10 公式法解一元二次方程及根的判别式（基础篇）一、单选题1用公式法解方程时，求根公式中a，b，c的值分别是（）A，B，C，D，2在公式法解方程时，的值是（）A16B4C32D643x是用公式法解一元二次方程得到的一个根，则满足要求的方程是（）A2x22x10B2x22x10C2x22x10D2x22x104已知，且，则的值为（）ABCD5关于x的方程的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D不能确定6下列一元二次方程没有实数根的是（）ABCD7若关于x的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是（）ABC且D8已知a是一元二次方程x23x50的较小的根，
2、则下面对a的估计正确的是（）A2a1B2a3C4a3D4a59常数a，c在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程根的情况是（）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C无实数相D无法确定10已知函数的图象如图所示，则一元二次方程的根的存在情况是（）A有两个不相等实数根B有两个相等实数根C没有实数根D不能确定二、填空题11一元二次方程根的判别式的值为_12已知代数式x2-3与代数式的值互为相反数，那么x的值为_13已知若分式的值为，则的值为_14已知，求_15已知方程如果设那么原方程可以变形为关于y的整式方程是_16关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是_17有一个数值转换机
3、，其流程如图所示：若输入，则输出的的值为_.18若直线不经过第一象限，则关于x的一元二次方程方程根的存在情况是_三、解答题19不解方程，判断下列方程的根的情况（1）；（2）20用公式法解下列方程：（1）；（2）；（3）（4）21求证：不论为何实数，关于的式子都可以分解成两个一次因式的积.22已知关于x的一元二次方程x2（m2）x+2m80(1)求证：方程总有两个实数根(2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值23小明同学说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法：若一元二次方程a的系数a、c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根他的发现正确吗？请你先举实例验证一
4、下是否正确，若你认为他的发现是一般规律，请加以证明24已知关于的方程(1)试判断方程根的情况；(2)若=2是方程的一个根，求的值；(3)是否存在实数，使方程与方程有一个相同的根？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由参考答案1C【分析】将一元二次方程化为一般形式，即可求得的值解：化为一般形式为：，故选C【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键2D【分析】首先把方程化简为一般形式，再得出、的值，最后求出判别式的值即可解：，；故选：D【点拨】此题考查了公式法解一元二次方程，解此题时首先要化简还要注意熟练应用公式3D【分析】根据一元二次方程求根公式，对照x得出
5、一元二次方程的字母系数即可得出答案解：一元二次方程的根为，x是用公式法解一元二次方程得到的一个根，满足要求的方程为：，故选：D【点拨】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键4D【分析】将等式变形为，利用将原式降次最后化简为2x，利用求根公式求的根，由，舍去负根，讲x代入即可解：将方程变形， ，由=1+4=5，由，则，原式=故选择：D【点拨】本题考查代数式的求值问题，关键是会将方程变形，利用得到的等式进行降次化简是解题关键5A【分析】先求一元二次方程的判别式，由与0的大小关系来判断方程根的情况解：，关于的方程有两个不相等实数根故选：A【点拨】此题考查一元二次方程根的情况与判别
6、式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根6C【分析】对每个选项中方程根判别式进行计算，判断与零的关系，然后找出符合题意的选项解：选项A、，存在一个实数根，不符合题意；选项B、，存在两个不相等的实数根，不符合题意；选项C、，不存在实数根，符合题意；选项D、，存在两个不相等的实数根，不符合题意；故选C【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，会利用根的判别式来判断一元二次方程根的存在情况是解题关键7A【分析】先根据一元二次方程的定义可得，再利用一元二次方程根的判别式可得一个关于的一元一次不等式，解不等式即可得解：方程是关于的一元二次方程，解得，又
7、关于的一元二次方程没有实数根，此方程根的判别式，解得，综上，实数的取值范围是，故选：A【点拨】本题考查了一元二次方程的定义、以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键8A【分析】利用公式法表示出方程的根，再进行估算即可解：一元二次方程，则较小的根，即，故选：A【点拨】此题考查了解一元二次方程-公式法，以及估算，熟练掌握运算法则是解本题的关键9B【分析】观察数轴可得，从而得到，再根据一元二次方程根的判别式，即可求解解：观察数轴得：，方程有两个不相等的实数根故选：B【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据数轴得到是解题的关键10A【分析】根据一次函数的图象可得出，再根据一元
8、二次方程根的判别式即可判断解：由图可得：，一元二次方程有两个不相等的实数根，故选：A【点拨】本题考查了一次函数的图象和一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键111【分析】首先找出一元二次方程中，然后根据根的判别式计算即可解：一元二次方程中，故答案是：1【点拨】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式12【分析】根据相反数的性质列出关于x的方程，再利用公式法求解可得解：根据题意知x2-3+(-x)=0，整理，得：x2-x-3=0，x=，故答案为：【点拨】本题主要考查了解一元二次方程的能力和相反数的性质，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开
9、平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键13，【分析】首先根据分式值为零的条件，可得，然后根据公式法解一元二次方程的步骤，求出的值即可解：分式的值为，=4+8=120，解得，都满足条件，故答案为，【点拨】本题考查分式值为0的条件，一元二次方程的解法，掌握分式值为0的条件是分子为0，分母不等于0，一元二次方程的公式解法是关键14无解【分析】已知方程两边除以y2变形后，将看做一个整体，即可求出值解：已知等式变形得：（）2+1=0，a=1，b=1，c=1，b2-4ac=1-4=-30，即此方程无解无解故答案为无解【点拨】此题考查了解一元二次方程-公式法，熟练
10、掌握求根公式是解本题的关键15【分析】先求出，再代入原方程，去分母即可得解：由题意得：，则原方程可以变形为，方程两边同乘以得：，即，故答案为：【点拨】本题考查了解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键16且【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得=且k0，求出k的取值范围即可解：一元二次方程有两个实数根，且，故答案为：且【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式17无解【分析】将a6代入方程x23xa0中，利用公式法解方程即可解：输入的数a60，代入x23xa0得：x23x60
11、，a1，b3，c6，b24ac924150，此方程无解故答案为无解【点拨】此题考查了解一元二次方程公式法，利用此方法解方程时，找出a，b及c的值，代入求根公式即可求出解18有两个不相等的实数根【分析】根据一次函数的性质求得a的取值范围，再利用一元二次方程的判别式判断根的情况即可解：直线不经过第一象限，a0，对于关于x的一元二次方程方程，有a0，且判别式=164a=4（4a），当a0时，判别式0，方程有两个不相等的实数根，故答案为：有两个不相等的实数根【点拨】本题考查一次函数的性质、一元二次方程根的判别式，解答的关键是熟练掌握一元二次方程的根与判别式=的关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当
12、=0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根19（1）见分析；（2）见分析；【分析】（1）（2）先计算出判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断解：（1）一次函数中，；，方程没有实数根（2）一次函数中，；，方程有两个相等的实数根【点拨】本题考查了根的判别式：用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与=b2-4ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0时，方程有两个相等的两个实数根；当0时，方程无实数根20（1），；（2）；（3）；（4）没有实数根【分析】求出判别式判断有无实数根，再根据公式法逐一代入求解即可解：（1） 故原
13、方程有两个不同实数根；或 （2） 故原方程有两个相等的实根；（3） 故原方程有两个不同的实数根；（4） 故原方程无实数根【点拨】本题考查一元二次方程解法的公式法，掌握判别式的使用和公式是本题关键21证明见分析.【分析】求出方程=0的值，根据取值范围解答即可解：关于的方程，整理得，不论为何实数，关于的方程都有两个不相等的实数根.不论为何实数，关于的式子都可以分解成两个一次因式的积.【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为a(xx1)(xx2)0.22(1)见分析(2)1或2或3【分析】（
14、1）先计算根的判别式的值得到=（m-6）20，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式得到x1=m-4，x2=2，则m-40，从而得到正整数m的值（1）解：证明：=（m-2）2-4（2m-8）=m2-12m+36=（m-6）20，方程总有两个实数根；（2）x=，x1=m-4，x2=2，方程有一个根是负整数，m-40，正整数m的值为1或2或3【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与=b2-4ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根23小明的发现正确，见分析.【分析】根据判别式的值、根与
15、系数的关系即可证明解：小明的发现正确，如x2+x20，a1，c2，解方程得：x12，x21，若 a，c 异号，则b24ac0，故这个方程一定有两个不相等的实数根【点拨】本题考查根与系数的关系，根的判别式等知识，灵活运用所学知识是解题的关键24（1）方程有两个不相等的实数根；（2）；（3）存在，【分析】(1)计算的值，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若则方程无解；(2)根据题意，将=2代入方程中，解出的值即可；(3) 先解一元二次方程的根，再将其代入方程，即可解出的值解：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2)将=2代入得，(3)解得，当时，当时，此时方程无解，综上所述，存在使得使方程与方程有一个相同的根【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、方程有相同解等知识，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键
