1、河南省焦作市2019-2020学年高二数学下学期学业质量测试（期末考试）试题 文（含解析）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出
2、集合B，再求.【详解】解：由，得，所以，因为，所以，故选：D【点睛】此题考查对数不等式，集合的交集运算，属于基础题.2.已知复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法法则求出，从而得到其共轭复数；【详解】解：因为所以所以故选：B【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算以及共轭复数，属于基础题.3.已知向量，若，则与的夹角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出，利用求解.【详解】因为，所以所以.故答案选：C【点睛】本题考查利用向量的数量积计算向量之间的夹角余弦值问题，比较简单，灵活运用向量数量积的运算公式就可以解
3、决问题.4.当时，下列大小关系正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别根据指数函数，幂函数，对数函数单调性即可比较【详解】当时，故，故选：【点睛】本题考查了指数函数，幂函数，对数函数单调性，属于基础题5.函数的部分图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值得变化趋势即可求出【详解】解：，则为偶函数，其图象关于轴对称，故排除，当时， ，故排除，故选：A【点睛】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值得变化趋势，属于基础题6.新中国成立70周年以来，党中央、国务院高度重视改善人民生活，始终把脱贫致富和
4、提高人民生活水平作为一切工作的出发点和落脚点新疆某地区为了带动当地经济发展，大力发展旅游业，如图是20152019年到该地区旅游的游客数量（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（ ）A. 20152019年到该地区旅游的人数与年份成正相关B. 2019年到该地区旅游的人数是2015年的12倍C. 20162019年到该地区旅游的人数平均值超过了220万人次D. 从2016年开始，与上一年相比，2019年到该地区旅游的人数增加得最多【答案】C【解析】【分析】根据条形统计图计算可得；【详解】解：对于A，观察统计图可知，选项A正确；对于B，2019年到该地区旅游的人数是2015年的（倍），所
5、以B正确；对于C，20162019年到该地区旅游的人数平均值为（万人次），故C错误；对于D，由图可知，与上一年相比，2019年到该地区旅游的人数增加得最多，故D正确；故选：C【点睛】本题考查统计图的综合应用，属于基础题7.若直线与不等式组，表示的平面区域有公共点，则实数的最大值是（ ）A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】先作出不等式组，表示的平面区域，结合直线过定点，结合图形可求结果.【详解】作出不等式组，表示的平面区域，如图，直线恒过定点，结合图形可知，直线经过区域的点A时，斜率取最大值，由可得，此时，故选：B.【点睛】本题主要考查利用不等式组表示的区域求解参数，数形结合是求
6、解的常用方法，侧重考查直观想象的核心素养.8.某医疗机构要从甲、乙、丙、丁、戊5个专业人员中随机抽取3个人去参加某社区的新冠肺炎疫情防护工作，则甲、乙不被同时抽到的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】基本事件总数，甲、乙不被同时抽到包含基本事件个数，由此能求出甲、乙不被同时抽到的概率【详解】解：某医疗机构要从甲、乙、丙、丁、戊5个专业人员中随机抽取3个人去参加某社区的新冠肺炎疫情防护工作，基本事件总数，甲、乙不被同时抽到包含的基本事件个数，则甲、乙不被同时抽到的概率为故选：A【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础
7、题9.已知等比数列的各项都为正数，且当时有，则数列的前20项和为（ ）A. 190B. 210C. 220D. 420【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的性质可得，即可求出数列的通项，最后根据等差数列求和公式计算可得；【详解】解：依题意等比数列的各项都为正数，且当时有所以，所以所以所以数列的前20项和为故选：B【点睛】本题考查等比数列的通项公式以及等差数列求和公式的应用，属于基础题.10.已知抛物线的焦点为，为该抛物线上一点，若以为圆心的圆与的准线相切于点，则该抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的定义和三角形的性质，求解即可【详解】解：，为
8、该抛物线上一点，以为圆心的圆与的准线相切于点，过点作轴，解得，抛物线方程为，则该抛物线的准线方程为：故选：【点睛】本题考查抛物线的定义，利用抛物线的定义进行线段的转化是关键，属于中档题11.在三棱锥中，平面，是的中点，则与平面所成的角为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 75【答案】B【解析】【分析】连接，设，则，再由锐角三角函数计算可得；【详解】解：如图，连接，设，由题意知，所以，所以与平面所成的角的正切值为，所以故选：B【点睛】本题考查空间几何体中的线面角的问题，属于基础题.12.已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分
9、析】函数有两个不同的零点等价于函数的图像与直线有两个不同的交点，再利用导数判断函数的单调区间，并求得其最小值，所以只要即可求出的取值范围.【详解】解：因为函数有两个不同的零点，所以函数的图像与直线有两个不同的交点，由得，令，则，当时，；当时，所以 在上单调递减，在上单调递增，所以时，取最小值，且当时， ，当时，所以要使函数图像与直线有两个不同的交点，只要即可，即，故选：B【点睛】此题考查了由函数的零点个数求参数的取值范围，利用了导数求解，考查数学转化思想，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知公差为1的等差数列满足，则首项_.【答案】【解析】【分析】根据等差数列
10、的通项公式，可得，代入即可求出.【详解】因为，所以，即，所以.故答案为:【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题.14.已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，点是双曲线上不同于，的任意一点，若与的面积之比为，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】利用已知条件，得到，即得双曲线的离心率【详解】双曲线的左、右焦点分别为，实轴端点分别为，点是双曲线上不同于，的任意一点，的面积之比为，可得，即，即，所以，所以双曲线的离心率为.故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.若命题“对任意实数，且
11、，不等式恒成立”为假命题，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式求出的最小值，可得不等式恒成立时，的取值范围，再取其补集即可.【详解】若不等式对任意实数，且恒成立，则，当且仅当且，即，时等号成立.所以，故命题为假命题时，的取值范围为.故答案为: 【点睛】本题主要考查命题的真假，基本不等式的应用，属于中档题.16.已知内接于球的一个截面圆中，且球面上的点到面的距离的最大值为，则球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】作出图形，计算出的外接圆半径，当球上的点、与的外接圆圆心三点共线且点位于线段上时，点到面的距离取到最大值，可设球的半径为，根据题意得出关于的等式，求得的值，进而可求
12、得球的表面积.【详解】如下图所示，设的外接圆圆心为点，为球上一点，由正弦定理可得的外接圆半径为，当点、三点共线且点位于线段上时，点到面的距离取到最大值，设球的半径为，由勾股定理得，即，解得，因此，球的表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查球体表面积的求解，根据题意列出有关球半径的等式是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设的内角，的对边分别为，.(1)求角的大小；(2)若，求面积的最大值.【答案】(1)
13、；(2) 【解析】【分析】(1)逆用正弦的二倍角公式及降幂公式可得，再逆用两角差的正弦公式即可求出角；(1)由(1)可得，故只需求出的最大值即可，由余弦定理可得，再利用基本不等式即可求出的最大值.【详解】(1)因为，所以，所以，即，所以，又为的内角，所以.(2)由余弦定理，得，即，所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以，所以面积的最大值为.【点睛】本题主要考查二倍角公式的逆用，两角差的正弦公式的逆用，余弦定理及基本不等式，属于基础题.18.如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，点，分别为，的中点.（）求证：平面；（）求三棱锥的体积.【答案】（）证明见解析；（）【解析】【分析】（）由已知
14、可得，再由直线与平面垂直的判定可得平面，由已知证明，可得平面；（）证明平面，求出三棱锥的体积，结合为的中点，可得三棱锥的体积【详解】（）证明：为的中点，且，又，平面，分别为，的中点，可得平面；（）解：由，可得，又，平面在等边三角形中，由边长为2，得为的中点，三棱锥的体积【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，属于中档题19.为了促进我国人口均衡发展，从2016年1月1日起，全国统一实施全面放开二孩政策，这也是为了重建大国人口观，重新认识人口价值、人口规律、人口问题，某研究机构为了了解人们对全面放开生育二孩政策的态度，随机调查了200人
15、，得到的统计数据如下面的不完整的22列联表所示（单位：人）：支持生育二孩不支持生育二孩合计男性30女性60100合计70（1）完成22列联表，并求是否有90%的把握认为是否“支持生育二孩”与性别有关？（2）现从样本中的女性中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选出2人进行深层次的交流，求选出的2人中至少有1人“支持生育二孩”的概率.参考公式：，其中.参考数据：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246635【答案】（1）列联表见解析，没有90%的把握认为是否“支持生育二孩”与性别有关；（2）【解析】【分析】（1）由表中的已知数据先补充列联表，
16、再计算与临界值2.706比较大小即可；（2）先按比例求出支持生育二孩和不支持生育二孩的人数各为3人，2人，记支持生育二孩的3人为a,b,c, 不支持生育二孩的2人为m,n,然后利用列举法可求得结果.【详解】解：列联表如下：支持生育二孩不支持生育二孩合计男性7030100女性6040100合计13070200因为所以没有90%的把握认为是否“支持生育二孩”与性别有关；（2）由题可知从支持生育二孩中抽取了人，记这3人分别为a,b,c从不支持生育二孩中抽取了人，记这2人分别为m,n，从抽取的5人中随机选取2人所有的可能有：(a,b)，(a,c)，(a,m)，(a,n)，(b,c)，(b,m)，(b,
17、n)，(c,m)，(c,n)，(m,n)共10种，其中2人中至少有1人“支持生育二孩”的(a,b)，(a,c)，(a,m)，(a,n)，(b,c)，(b,m)，(b,n)，(c,m)，(c,n)9种，所以选出的2人中至少有1人“支持生育二孩”的概率为【点睛】此题考查了独立性检验和古典概率，分层抽样，属于基础题.20.已知椭圆，点，分别为椭圆的左焦点、右顶点和下顶点，的面积为，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点为椭圆上一点，直线与椭圆交于不同的两点，且（点为坐标原点），求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质可知，又椭圆的离心率为，由此即可求出椭
18、圆方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，化简可得，由此得到韦达定理，再根据，可由坐标运算求出点坐标，再将点坐标带入椭圆方程，建立关于的方程，解方程，即可求出结果.【详解】（1）设，由题意可知，由椭圆的离心率为，即联立 ，解得 ；所以椭圆的标准方程；（2）由题意，将直线方程与椭圆方程联立可得，又直线与椭圆交于不同的两点，则 即或；设，则，所以，设，又，所以，所以，又点为椭圆上一点，所以，即所以，所以，即，可得，可得，且满足或；故.【点睛】本题主要考查了利用椭圆性质求椭圆方程，同时考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题.21.已知函数.（）当时，求的单调区间；（）若，证明：不等式在上恒成立.【答案
19、】（）单调递增区间为，单调递减区间为；（）证明见解析.【解析】【分析】（）将代入，求出函数的导函数，进而分析定义域内导函数符号的变化情况，进而得到的单调区间;（）构造函数，通过导数研究函数的单调性，只需证明在上，即可证得结论.【详解】（）当时， ，则当 时，当 时， ；故 为的单调递增区间, 为的单调递减区间.（）证明：令，求导可得：，令，则，当时，在上单调递减，即，在上单调递减，在上恒成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及不等式恒成立问题，考查逻辑推理能力和计算能力，分类讨论的思想，属于中档题.（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
20、计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（）已知点是曲线上的任意一点，当点到直线的距离最大时，求经过点且与直线平行的直线的方程.【答案】（），（）【解析】【分析】（）消去直线的参数即可得到直线的普通方程,利用极坐标和直线坐标互化的公式可得到曲线C的直角坐标方程. （）设直线的方程为，得到当点到直线的距离最大时，为经过圆心与直线垂直的直线与圆的交点，利用点到直线的距离可求出的值.【详解】解：（）直线参数方程为（为参数），消去即.因为，所以极坐
21、标方程化直角坐标方程为：.（）曲线的方程为，即，圆心，圆心到直线的距离为点到直线的距离最大时，为过圆心且与直线垂直的直线与圆的交点，此时，点到直线的距离为， 设直线：，则，即（舍）或.所以直线的方程为.【点睛】本题考查直线的参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线平行以及点到直线的距离，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知（其中）.（1）若，求不等式的解集；（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）时，不等式可化为，对分三种情况讨论，即可求得不等式的解集；（2）不等式对任意恒成立等价于，即恒成立，利用在区间上单调递减即可求得，进而求出的取值范围.【详解】解：（1），当时，不等式可化为，当时，即成立， 当时，即，所以 当时，即 不成立，综上所述，不等式的解集为；（2）因为，所以，所以不等式对任意恒成立等价于，时，恒成立，时，即恒成立，因为在区间上单调递减，所以所以，解得，所以的取值范围为【点睛】此题考查不等式恒成立问题，考查绝对值不等式的解法，考查等价转化思想、分类讨论思想，考查运算能力，属于中档题.
