1、河南省焦作市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 文（含解析）考生注意：1.答题前，考生务心将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则集合子集的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先求
2、出集合，再根据含有个元素的集合有个子集，计算可得.【详解】解：故集合含有个元素，则有个子集故选：【点睛】本题考查集合的子集，分式不等式的解法，属于基础题.2.设命题，则为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】由全称命题“，”的否定为“，”代入即可得解.【详解】解：由全称命题“，”的否定为“，”，则命题，则，故选：D.【点睛】本题考查全称命题的否定,属基础题.3.记等差数列的前项和为，已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设等差数列的首项为公差为，由得到方程组，求出，再用求和公式计算可得.【详解】解：设等差数列的首项为公差为，由解得故选：【点睛
3、】本题考查等差数列的通项公式及前项和公式的应用，属于基础题.4.执行如图所示的算法流程图，则输出的的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【详解】解：，是，是，是，否，输出，故选：【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键属于基础题5.某公司有名员工，编号依次为，现采用系统抽样方法抽取一个容量为的样木，且随机抽得的编号为.若这名员工中编号为的在研发部.编号为的在销售部、编号为的在后勤部，则这三个部门被抽中的员工人数依次为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先计算出组距，再根据系统抽样的规则计
4、算可得。【详解】解：依题意可得组距为，按照系统抽样随机抽得的编号为，则编号为，将入样，当时，解得，当时，解得，当时，解得，所以编号为的在研发部有人入样；编号为的在销售部有人入样；编号为的在后勤部有人入样；故选：【点睛】本题考查系统抽样的应用，属于基础题.6.在区间上，初等函数存在极大值是其存在最大值的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】由函数最值，极值的概念，结合充分必要条件判断即可得解.【详解】解：由初等函数在区间存在极大值推不出其在区间存在最大值；若初等函数在区间存在最大值，则其在区间必存在极大值，即在区间上，初等
5、函数存在极大值是其存在最大值的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题考查充要条件的判断以及函数的性质，属基础题.7.已知函数，若函数在上存在零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由在上单调递增，由零点存在定理得，函数在存在零点等价于，再解不等式组即可得解.【详解】解：因为在上单调递增，所以由零点存在定理得，函数在存在零点等价于，解得，所以实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查函数零点存在定理.，属基础题.8.已知在正方体中，分别为的中点，则异面直线和所成的角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量
6、法求出异面直线所成的角.【详解】解：如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，设异面直线和所成的角为，则故选：【点睛】本题考查利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题.9.已知双曲线与圆恰好有个不同的公共点，是双曲线的右焦点，过点的直线与圆切于点，则到左焦点的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】由双曲线与圆的位置关系，求出，从而求出，再根据等体积法求出的坐标，最后利用两点的距离公式计算可得.【详解】解：因为双曲线与圆恰好有个不同的公共点，所以，因为过点的直线与圆切于点，所以过作轴于，则所以，即所以到左焦点的距离为故选：【点睛】本题考查双曲线的方程和性质、直线与
7、圆锥曲线的位置关系，属于中档题.10.在中，是线段上靠近的三等分点，是线段的中点，与交于点若，则的值分别为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】取的中点为，连接，可证是的中点，从而根据平面向量的线性运算计算可得.【详解】解：取的中点为，连接，由已知得，所以，又因为是的中点，所以是的中点，所以所以，故选：【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.11.欲制作一个容积为的圆柱形蓄水罐（无盖），为能使所用的材料最省，它的底面半径应为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先将表面积表示为半径的函数，再利用导数求极值点即可得解.【详解】解：设圆柱的底面半径为，高
8、为，表面积为，则由题意有，所以.则水罐的表面积.令，得.检验得，当时表面积取得最小值，即所用的材料最省.故选：C.【点睛】本题考查导数的应用，重点考查了运算能力，属中档题.12.已知椭圆的右焦点和坐标原点是某正方形的两个顶点，若该正方形至少有一个顶点在椭圆上，则椭圆的离心率不可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】依题意，如图所示，椭圆有，三种情况，不妨设，再分别计算可得.【详解】解：如图所示，椭圆有，三种情况，不妨设，则，对于，点在椭圆上，则，解得，由题知，所以，则，所以，故成立；对于，点在椭圆上，所以，故成立；对于，点在椭圆上，解得又，所以，故成立；故选：【点睛】本题考
9、查椭圆的标准方程和简单几何性质，考查分类讨论思想，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的值为_.【答案】【解析】【分析】由三角函数的诱导公式求值即可.【详解】解：，故答案为：.【点睛】本题考查利用诱导公式求三角函数值，属基础题.14.如图.将一个圆周进行等分，得到分点，先在从这个半径中任意取个，若，则的概率为_【答案】【解析】【分析】首先求出使的角，即所对应的半径，再利用古典概型的概率公式计算可得.【详解】解：或，则，所以满足条件的半径有共个故概率故答案为：【点睛】本题考查古典概型的概率公式的应用，属于基础题.15.已知函数.若在区间上恒成立.则实数的取值范围是_
10、【答案】【解析】【分析】首先解不等式，再由在区间上恒成立，即得到不等组，解得即可.【详解】解：且，即解得，即因为在区间上恒成立，解得即故答案为：【点睛】本题考查一元二次不等式及函数的综合问题，属于基础题.16.已知直线与曲线和曲线均相切，则_.【答案】或8【解析】【分析】先由导数的几何意义求得的值，然后联立直线方程与曲线的方程，消后得到关于的二次方程，再利用判别式求解即可.【详解】解：因为直线的斜率为1，设，则.令得，所以直线与曲线的切点为，所以.将代入，得.因为直线与曲线相切，所以，解得或，故答案为：或8.【点睛】本题考查导数的几何意义和曲线的切线问题，属中档题.三、解答题：共70分.解答应
11、写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设函数，不等式的解集中恰有两个正整数.（1）求的解析式;（2）若，不等式在时恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由不等式的解集中恰有两个正整数，则解集包含和两个正整数，故解集为，即和为的根，即可求出参数的值，得到函数的解析式；（2）因为不等式在时恒成立，所以在上，成立，所以且解得即可.【详解】解：（1）由题可知，解得或，因为不等式的解集包含和两个正整数，故解集为，所以的根为和由得所以. .（2）因为不等式在时恒成立，所以在上，成立，所以且所以且解得.又所以所以实数的取值范围为【点睛】本题考查函数解析式，不等式恒成立问题，属
12、于中档题.18.记数列的前项和为，已知.（1）求数列的通项公式;（2）设，数列的前项和为，求满足的的最小值.【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）利用计算可得；（2）由（1）可得，即可得到，再解一元二次不等式即可；【详解】解：（1）因为，所以，所以因为，所以所以所以，易知，所以所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以（2）由（1）得所以，即又因，所以可得所以满足的的最小值为.【点睛】本题考查数列的通项公式和前项和之间的关系以及数列的性质，属于中档题.19.在中，角对边分别为，已知（1）求的大小;（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再根
13、据同角三角函数的基本关系计算可得；（2）由余弦定理及基本不等式求出的最大值，再根据面积公式计算可得.【详解】解：（1）由正弦定理及得所以又因为，所以（2）由余弦定理，得，即因为，所以当且仅当时，取得最大值.此时，的面积所以的面积的最大值为【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，三角恒等变换的应用，属于中档题.20.如图，在平行六面体中，底面为菱形，和相交于点为的中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求证：.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由为的中位线，所以，再结合线面平行的判定定理即可得证；（2）证明及即可.【详解】证明：（1）如图，连接.因为，所以相互平分
14、，所以为和的中点.又因为为的中点，所以为的中位线，所以.又因为平面，平面，所以平面.因为四边形为菱形，所以.（2）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因平面，所以.又因，所以.因为，所以.【点睛】本题考查空间线面关系的证明,属中档题.21.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与圆的一个交点为.（1）求抛物线及圆的方程；（2）设直线与圆相切于点，与抛物线交于两点，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）将点分别代入两方程求解即可；（2）由弦长公式，结合三角形的面积公式求解即可.【详解】解：（1）因为抛物线与圆的一个交点为，所以，所以，即抛物线的方程为.设圆的方程为，所以，所以，即圆
15、的方程为.（2）由题意得.因为是圆的切线，所以，所以.所以直线的方程为，即.由与联立消去得，则.设点和点的横坐标分别为.则，.所以.所以.【点睛】本题考查圆锥曲线的方程以及直线与圆锥曲线的位置关系，属中档题.22.已知函数，.（1）若的图像在处的切线经过点，求的值；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，再结合直线的斜率公式求解即可；（2）当时，不等式恒成立等价于，恒成立，再构造函数，求最值即可得解.【详解】解：（1）由题知的定义域为.又，则.又因为，所以切点为.所以，解得.（2）当时，.当时，不等式恒成立即不等式，恒成立.设，则.因为，所以.所以在上单调递减，从而.要使原不等式恒成立，即恒成立，故.即的取值范围为.【点睛】本题考查导数的计算、导数的几何意义以及利用导数研究函数的性质，属中档题.
