1、第四节 一元二次函数和一元二次不等式4.2一元二次不等式及其解法 教学设计 本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性.一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合、函数等知识的巩固和运用具有重要作用，也与后面的线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关，许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法.因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用.一 教学目标：1.正确理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系，掌握一二次不等式的解法；2.通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力和从“
2、特殊到一般”的归纳能力；二. 核心素养1.数学抽象：一元二次不等式的概念2.逻辑推理：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3.数学运算：解一元二次不等式4. 直观想象：利用二次函数图像分析一元二次不等式的解集，直观的解释不等式解集的正确性5. 数学建模：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。 1.教学重点：一元二次不等式的解法2.教学难点：理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系PPT1.知识引入汽车在行驶过程中，由于惯性的作用，刹车后还要继续
3、向前滑行一段距离才能停住，一 般称这段距离为“刹车距”.刹车距S(单位:m)与车速弑单位:km/h)之间具有确定的函数关 系，不同车型的刹车距函数不同.它是分析交通事故的一个重要依据.甲、乙两辆汽车相向而行，由于突发情况，两车相撞.交警在现场测得甲车的刹车距接近 但未超过12 m,乙车的刹车距刚刚超过10 m.已知这两辆汽车的刹车距函数如下：s甲=0. 01x2十0. 1x，s乙=0. 005x2十0. 05x，车速超过40 km/h属违章.试问：哪一辆车违章超速行驶？由题意，只需分另U解出使不等式0. 01x2十0. 1x12和0. 005x2十0. 05x10成立的x的取值范围，再确认两车
4、的行驶速度，就可以判断哪一辆车违章超速行驶.一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式.通常，它们都可以化为ax2+bx+c0 的形式，其中a,b,c均为常数，且a0.使一元二次不等式成立的 所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集.图 1-21类比初中数学中用一次函数的图象求解一次不等式，我们可以 利用一元二次函数的图象求一元二次不等式的解集.以不等式 x2-2x-30为例，画出一元二次函数y=x2-2x-3 的图象(如图1-21)并观察，可知它与x轴交点的横坐标分别是-1 和 3.即当x1=1 ,x2 = 3 时x2 -2x-3 = 0.进而，
5、当 一1X3 时， 一元二次函数y=x2-2x-3的图象在x轴的下方，满足y0.也就是说，一元二次不等式x22x3 0的解集是x|-1x0时,解形如ax2十bx十c0(0)或ax2十bx十c0(a0)的求解思路学生动手：请学生仿照以上方法，画出当a0的解集.图 1-23解：因为 ,所以方程9x2 6x+1 =0。有两个相等的实数根，解得画出一元二次函数y = 9x2-6x+ 1的图象(如图1-23),可知该 函数的图象是开口向上的抛物线，且与x轴仅有一个交点观察图象可得原不等式的解集为例3求不等式3x2十5x20的解集.解法1因为 = 524X3X( 2)0。,所以方程3x2+5x2 =0有两
6、个不相等的实数根，解得x1 = 2, x2=画出一元二次函数y = 3x2 +5x-2的图象(如图1 - 24),可知该函数的图象是开口向 上的抛物线，且与x轴有两个交点( -2,0)和.观察图象可得原不等式的解集为解法二：将原不等式可以转化为：（x+2）(3x-1)0即：所以不等式的解集：思考交流根据不等式3x2+5x-20的解集，你能得出不等式3x2+5x-20的解集吗？例4求关于x的不等式 的解集，其中a是常数.解 依题意知方程 的根为 x1= 1 ,x2=a,且一元二次函数y =x2+(1 -a)x-a的图象是开口向上的抛物线.当a1时，如图1- 25,一元二次函数y=x2十(1a)x
7、一a的图象与x轴从左至右有两个交点(a,0)与(一1,0).所以原不等式的解集为(a,1). 当a = - 1时，如图1 - 26，一元二次函数y =x2+(1a)x一a的图象与x轴只有一 个交点(一1,0).所以原不等式的解集为.当a一1时，如图1 - 27,一元二次函数y=x2十(1一a)x-a 的图象与x轴从左至右有两个交点(一1,0)与(a,0).所以原不等式 的解集为(1,a).综上所述，当a一 1时，原不等式的解集为(1,a)【知识同步练习】求不等式x2-2x+2m-m20的解集.解：当m1时，解集为xx2-m,或xm；当m=1时，解集为x Rx1；当m1时，解集为xxm，或x2-
8、m .【题型扩充】：（1） 已知不等式ax2+bx+20的解为- x ，求a，b值.解：方法一：显然a0，由(x+ )(x- )0，得6x2+x-10，变形得-12x2-2x+20，故a=-12,b=-2.方法二：利用韦达定理：x=- 与x= 是ax2+bx+2=0的两根，故有 解得 （2） 已知f(x)=x2+2(a-2)x+4.(1)如果对一切xR，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围.(2)如果对x-3，1，f(x)0成立，求实数a的取值范围.解：f(x)的图像开口向上.(1)对一切实数x，f(x)0，则0，即(a-2)2-40，0a4；(2)当x-3，1时，f(x)0，对称轴2-a可在区间内，也可在区间外， 或 或 解得- a41.一元二次不等式这一概念；2. 解一元二次不等式ax2+bx+c0、ax2+bx+c0) 的步骤是： (1)化成标准形式 ax2+bx+c0(a0) ax2+bx+c0) (2)判定与0的关系，并求出方程ax2+bx+c=0 的实根; (3)写出不等式的解集.
