1、广东省2014届高三理科数学一轮复习试题选编11：空间角与空间距离问题一、解答题 （广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）如图甲,在平面四边形ABCD中,已知,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD平面BDC(如图乙),设点E、F分别为棱AC、AD的中点.(1)求证:DC平面ABC; (2)求BF与平面ABC所成角的正弦值;(3)求二面角B-EF-A的余弦值. 中 学 学 科 网 Z X X 【答案】证明:在图甲中且 (1) , 即 中 学 学 科 网 Z X X 在图乙中,平面ABD平面BDC , 且平面ABD平面BDC=BD AB底面BDC,ABCD 又,DCBC,且
2、 DC平面ABC (2)解法1:E、F分别为AC、AD的中点 EF/CD,又由(1)知,DC平面ABC, EF平面ABC,垂足为点E FBE是BF与平面ABC所成的角 在图甲中, , 设则, 在RtFEB中, 即BF与平面ABC所成角的正弦值为 解法2:如图,以B为坐标原点,BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示, 设,则, 可得, , , 设BF与平面ABC所成的角为 由(1)知DC平面ABC (3)由(2)知 FE平面ABC, 又BE平面ABC,AE平面ABC,FEBE,FEAE, AEB为二面角B-EF-A的平面角 在AEB中, 即所求二面角B-EF-A的余弦为 （广东省华附、省
3、实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）如图,在三棱锥V-ABC中,VC底面ABC,ACBC,D是AB的中点,且AC=BC=a,VDC=q (0q ) ()求证:平面VAB平面VCD;()当角q 变化时,求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围.VBCDA【答案】解法1: 中 学 学 科 网 Z X X ()AC=BC=a, ACB是等腰三角形, 又D是AB的中点, CDAB,又VC底面ABC. VCAB.因VC,CD 平面VCD, AB平面VCD.又AB 平面VAB, ADBCHV 平面VAB平面VCD. () 过点C在平面VCD内作CHVD于H, 则由()知CH平面V
4、AB. 连接BH,BH是CB在平面VAB上的射影,于是 CBH就是直线BC与平面VAB所成的角.在RtCHD中,CH=asinq; 设CBH=j,在RtBHC中,CH=asinj, sinq= sinj , 0q , 0sinq 1,0sinj . 又0j ,0w . 即直线与平面所成角的取值范围为(0, ). 解法2:()以CA, CB, CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 C(0,0,0), A(a,0,0), B(0,a,0), D(,0),V(0,0,atanq ), 于是,=(,- atanq),=(,0),=(-a,a,0). 从而=(-a,a,
5、0)(,0)=-a2+a2+0=0,即, ABCD. 中 学 学 科 网 Z X X 同理=(-a,a,0)(,-atanq)=-a2+a2+0=0,即, ABVD.又CDVD=D,AB平面VCD.又AB 平面VAB. 平面VAB平面VCD. ()设直线BC与平面VAB所成的角为j ,平面VAB的一个法向量为n=(x, y, z), ADBCVxyz 则由n=0, n=0. 得 可取n=(1,1, ),又=(0,-a,0), 于是sinj =| |= sinq , 0q ,0sinq 1,0sinj . 又0j ,0j . 即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为(0, ). （广东省汕头市东
6、山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）如图,在底面为直角梯形的四棱锥中,平面,(1)求直线与平面所成的角;(2)设点在棱上,若平面,求的值.【答案】解1:(1)平面 面 平面平面 过作交于 过点作交于, 平面平面 面 为直线与平面所成的角 在中, , 即直线与平面所成角为 (2)连结,平面,平面 平面 又平面 且 平面平面 又, ,即 解2:如图,在平面内过作直线,交于,分别以、所在的直线为、轴建立空间直角坐标系. 设,则、 (1)设面的法向量为 、 由 得 令可解得 直线与平面所成的角,则 即直线与平面所成的角为 (2) 设面的法向量为 、 由 得 令可解得 若平面,则 而,
7、 所以 （广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）如图,PA垂直O所在平面ABC,AB为O的直径,PA=AB,C是弧AB的中点.(1)证明:BC平面PAC;(2)证明:CFBP;(3)求二面角FOCB的平面角的正弦值.【答案】证明:(1)PA平面ABC,BC平面ABC,BCPA ACB是直径所对的圆周角, ,即BCAC 又,平面 (2)PA平面ABC,OC平面ABC, OCPA C是弧AB的中点,DABC是等腰三角形,AC=BC, 又O是AB的中点,OCAB 又,平面,又平面, 设BP的中点为E,连结AE,则, ,平面. 又平面, 解:(3)由(2)知平面, 是二面角的平面角 又, ,
8、即二面角的平面角的正弦值为 （2011年高考（广东理）如图5,在锥体中,是边长为1的菱形,且,分别是的中点.图5(1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值.【答案】【解析】（）连接， 因为是边长为的菱形，且，是的中点，所以均为正三角形，且，所以所以，从而，取的中点，连接，因为，所以,又，所以平面，所以在中，因为分别是的中点，所以，所以又，所以平面.（）解法一:由（）知为二面角的平面角,易得,在中,由余弦定理得xyzM所以二面角的余弦值为.另法：解法二:先证明平面，即证明即可，在中，；在中，所以在中，在中，故为直角三角形，从而.建立空间直角坐标系如图所示,则,所以,设平面的一个法向量为，则，从而，
9、解得，令得显然平面的一个法向量为，从而，所以二面角的余弦值为. （广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析）如图(4),在等腰梯形CDEF中,CB、DA是梯形的高,现将梯形沿CB、DA折起,使且,得一简单组合体如图(5)示,已知分别为的中点.(1)求证:平面; (2)求证: ;(3)当多长时,平面与平面所成的锐二面角为? 图(4) 图(5)【答案】(1)证明:连,四边形是矩形,为中点, 为中点, 在中,为中点,故 平面,平面,平面; (其它证法,请参照给分) (2)依题意知 且 平面 平面, 为中点, 结合,知四边形是平行四边形 , 而, ,即 又 平面, 平面, (
10、3)解法一:如图,分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系 设,则 易知平面的一个法向量为, 设平面的一个法向量为,则 故,即 令,则,故 , 依题意, 即时,平面与平面所成的锐二面角为 【解法二:过点A作交DE于M点,连结PM,则 为二面角A-DE-F的平面角, 由=600,AP=BF=2得AM, 又得, 解得,即时,平面与平面所成的锐二面角为 】 （广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,E,F分别是AB、PD的中点.(1)求证:AF平面PEC; (2)求二面角P-EC-D的余弦值;(
11、3)求点B到平面PEC的距离.【答案】 （广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word版） ）如图,在三棱拄中,侧面,已知()求证:;()试在棱(不包含端点上确定一点的位置,使得;() 在()的条件下,求二面角的平面角的正切值.【答案】证()因为侧面,故 在中, 由余弦定理有 故有 而 且平面 ()由 从而 且 故 不妨设 ,则,则 又 则 在中有 从而(舍负) 故为的中点时, 法二:以为原点为轴,设,则 由得 即 化简整理得 或 当时与重合不满足题意 当时为的中点 故为的中点使 ()取的中点,的中点,的中点,的中点 连则,连则,连则 连则,且为矩形, 又 故为所求二面角
12、的平面角 在中, 法二:由已知, 所以二面角的平面角的大小为向量与的夹角 因为 故 （广东省惠州市2013届高三第三次（1月）调研考试数学（理）试题）如图,在长方体中,点在棱上移动. (1)证明:;(2)当点为的中点时,求点到平面的距离;(3)等于何值时,二面角的大小为?EDCABA1B1C1D1【答案】(1)证明:如图,连接,依题意有:在长方形中, EDCABA1B1C1D1F (2)解:, , , . , ., . 设点到平面的距离为,. 点到平面的距离为 (3)解:过作交于,连接.由三垂线定理可知,为二面角的平面角. ,. ,. ,. 故时,二面角的平面角为 （广东省惠州市2014届高三
13、第一次调研考试数学（理）试题（word版） ）如图,已知三棱锥的侧棱两两垂直,且,是的中点.(1)求点到面的距离;(2)求二面角的正弦值.ABACAEAOA【答案】解: (1)取的中点,连、 、 则面,的长就是所要求的距离. 、, ,在直角三角形中,有 (另解:由 (2)连结并延长交于,连结、. 则就是所求二面角的平面角 作于,则 在直角三角形中, 在直角三角形中, ,故所求的正弦值是 方法二: (1)以为原点,、分别为、轴建立空间直角坐标系. 则有、 设平面的法向量为 则由 由, 则点到面的距离为 (2) 设平面的法向量为则由知: 由知:取 由(1)知平面的法向量为 则 结合图形可知,二面角
14、的正弦值是 （广东省珠海市2013届高三5月综合考试（二）数学（理）试题）如图,四边形与均为菱形,且.(1)求证:;(2)求证:;(3)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明:设AC与BD相交于点O,连结FO. 因为四边形ABCD为菱形,所以,且O为AC中点. 又FA=FC,所以 因为, 所以. (2)证明:因为四边形与均为菱形, 所以 因为 所以 又, 所以平面 又 所以 (3)解:因为四边形BDEF为菱形,且,所以为等边三角形. 因为为中点,所以 由()知 ,故 . 法一:由两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系. 设AB=2.因为四边形ABCD为菱形, 则BD=2,所以OB=1,.则 所以
15、. 设平面BFC的法向量为则有 所以 取,得 易知平面的法向量为. 由二面角A-FC-B是锐角,得 . 所以二面角A-FC-B的余弦值为 法二:取的中点,连接, 四边形与均为菱形,且 ,设为 为、中点, , , 是二面角的平面角 ,又 二面角A-FC-B的余弦值为(14) （2012年广东理）18.如图所示,在四棱锥中,底面为矩形,平面,点在线段上,平面.(1)证明:平面;(2)若,求二面角的正切值;【答案】【解析】(1)平面,面平面,面又面(2)由(1)得:,平面是二面角的平面角在中,在中,得:二面角的正切值为（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）(本小腼溯分14分)在
16、三棱锥P-ABC中.侧梭长均为4.底边AC=4. AB=2,BC=2,D. E分别为PC. BC的中点.I)求证:平面PAC平面ABC. (II)求三棱锥P-ABC的体积;(III)求二面角C-AD-E的余弦值.【答案】证明:()因为, 取的中点,连接,易得:, , . . 又 平面,又 注意:该步骤要求学生的表达严谨规范,对于几个垂直的证明,如果没有过程,相应步骤得分为0分,而利用结论的后续证明只要正确,可以相应步骤得分) () (注意:该步骤只要计算出错,就0分) ()方法一:过点E 作于H,过点H作于M, 连接,因为平面平面,平面平面=, ,平面,所以平面, (三垂线定理)(注意:也可以
17、证明线面垂直) 即为所求的二面角的平面角 分别为中点, 在中: , 在中, 所以,中, 所以 zxyMHOMH 方法二:以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 , , , 所以,可以设平面的一个法向量为, 平面的一个法向量为, ,所以令,则, 所以,可以设所求的二面角为,显然为锐角 由可得: （2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）如图所示,已知为圆的直径,点为线段上一点,且,点为圆上一点,且.点在圆所在平面上的正投影为点,.(1)求证:;(2)求二面角的余弦值.PABDCO第18题图【答案】解析:()法1:连接,由知,点为的中点, PABDCO又为圆的直径,
18、由知, , 为等边三角形,从而 点在圆所在平面上的正投影为点, 平面,又平面, , 由得,平面, 又平面, (注:证明平面时,也可以由平面平面得到,酌情给分.) 法2:为圆的直径, 在中设,由,得, ,则, ,即 点在圆所在平面上的正投影为点, 平面,又平面, , 由得,平面, 又平面, 法3:为圆的直径, 在中由得, 设,由得, 由余弦定理得, ,即 点在圆所在平面上的正投影为点, 平面,又平面, , 由得,平面, 又平面, PABDCOE()法1:(综合法)过点作,垂足为,连接 由(1)知平面,又平面, ,又, 平面,又平面, , 为二面角的平面角 由()可知, (注:在第()问中使用方法
19、1时,此处需要设出线段的长度,酌情给分.) ,则, 在中, ,即二面角的余弦值为 法2:(坐标法)以为原点,、和的方向分别为轴、轴和轴的正向,建立如图所示的空间直角坐标系. PABDCOyzx (注:如果第()问就使用“坐标法”时,建系之前先要证明,酌情给分.) 设,由,得, , , 由平面,知平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为,则 ,即,令,则, , 设二面角的平面角的大小为, 则, 二面角的余弦值为 （广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学（理）试题）如图,在四棱锥P-ABCD中,AB丄平面PAD,PD=AD, E为PB的中点,向量,点H在AD上,且(I):EF/平面P
20、AD.(II)若PH=,AD=2, AB=2, CD=2AB,(1)求直线AF与平面PAB所成角的正弦值. (2)求平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值.【答案】() 取PA的中点Q,连结EQ、DQ, 则E是PB的中点, ,四边形EQDF为平行四边形, , ()解法一:证明: , PHAD, 又 AB平面PAD,平面PAD,ABPH, 又 PHAD=H, PH平面ABCD; - 连结AE 又且 由()知 , 又 在 又 (2)延长DA,CB交于点M,连接PM,则PM为平面PAD与平面PBC所成二面角的交线. 因为,所以点A,B分别为DM,CM的中点,所以DM=4, 在中:, , 又
21、因为,所以 即为所求的二面角的平面角. 所以在中: 解法二:(向量法)(1)由()可得 又 在平面ABCD内过点,以H为原点,以正方向建立空间直角坐标系 设平面PAB的一个法向量为 , 得y=0 令 得x=3 设直线AF与平面PAB所成的角为 则 (9分 ) (2) 显然向量为平面PAD的一个法向量,且 设平面PBC的一个法向量为, , 由得到 由得到,令,则 所以, 所以平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值为(14分 ) （广东省增城市2013届高三毕业班调研测试数学（理）试题）如图,在三棱锥中,平面, ,且.(1)求证:平面平面;(2)求二面角的平面角的余弦值.VABC【答案】
22、(1)平面 平面 平面平面 过点作于,过点作于, 过点作交于,则/ 平面 在中, 在中, 所以所求二面角的平面角的余弦值是 或解:过点作平面,建立直角坐标系如图 则 设 则 同理设 则 设与的夹角为,则 所以所求二面角的平面角的余弦值是 （广东省惠州市2013届高三10月第二次调研考试数学（理）试题）如图,在三棱柱中,侧棱底面,为的中点, .(1) 求证:平面;(2) 若四棱锥的体积为, 求二面角的正切值.【答案】(1)证明: 连接,设与相交于点,连接, 四边形是平行四边形,点为的中点. 为的中点,为的中位线, , (2)解: 依题意知, , 作,垂足为,则, 设, 在中, 四棱锥的体积 依题
23、意得,即 (以下求二面角的正切值提供两种解法) 解法1:, , 取的中点,连接,则,且. . 作,垂足为,连接,由于,且, . 又,. 由,得,得, 在中, . 二面角的正切值为 解法2: , 平面, 以点为坐标原点,分别以所在直线为轴, 轴和轴,建立空间直角坐标系. 则,. , 设平面的法向量为, 由及,得 令,得. 故平面的一个法向量为, 又平面的一个法向量为, . 二面角的正切值为 （广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）如图甲,设正方形的边长为,点分别在上,并且满足,如图乙,将直角梯形沿折到的位置,使点在平面上的射影恰好在上.(1)证明:平面;(2)求
24、平面与平面所成二面角的余弦值.图甲图乙第18题图【答案】证明:在图甲中,易知,从而在图乙中有, 因为平面,平面,所以平面(条件2分) 解法1、 如图,在图乙中作,垂足为,连接, 由于平面,则, 所以平面,则, 所以平面与平面所成二面角的平面角, 图甲中有,又,则三点共线, 设的中点为,则,易证,所以,; (三角形全等1分) 又由,得, 于是, 图甲图乙在中,即所求二面角的余弦值为 图丙 解法2、 如图,在图乙中作,垂足为,连接,由于平面,则, 所以平面,则,图甲中有,又,则三点共线, 设的中点为,则,易证,所以,则; 又由,得, 于是, 在中, 作交于点,则,以点为原点,分别以所在直线为轴,建
25、立如图丙所示的空间直角坐标系,则、,则(坐标系、坐标、向量各1分) 显然,是平面的一个法向量, 设是平面的一个法向量,则,即,不妨取,则, 设平面与平面所成二面角为,可以看出,为锐角,所以,所以,平面与平面所成二面角的余弦值为 （广东省海珠区2013届高三上学期综合测试（一）数学（理）试题）(本小题满分分)如图,在三棱柱中,侧棱与底面垂直,点分别为和的中点.(1)证明:;(2)证明:平面;(3)求二面角的正弦值.图6【答案】(本小题主要考查空间线面关系、空间向量等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 解 :证明(1)证法一:由题设知, 又
26、 平面,平面, 平面, 平面 又四边形为正方形,为的中点, ,平面,平面 平面 又平面 证法二:(向量法) 以点为坐标原点,分别以直线 为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示 于是, (2)证法一: 连接 由题意知,点分别为和的中点, . 又平面,平面, 平面 证法二:取中点,连,而 分别为与的中点, 平面,平面 平面, 同理可证平面 又 平面平面 平面, 平面 证法三(向量法): 以点为坐标原点,分别以直线 为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示.于是 , 平面 向量是平面的一个法向量 又平面 平面 (3)解法一:以点为坐标原点,分别以直线 为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示. 于
27、是 , 由(1)知是平面的一个法向量, 设平面的法向量为, 设向量和向量的夹角为,则 二面角的的正弦值为 解法二(几何法):如图,将几何体补形成一个正方体,连交于点,连,显然,都在同一平面上. 易证, 平面,平面, ,又 平面. 取中点,连, 分别是的中点 , 平面, 且为垂足,即平面,过点作于, 过作交于,连, 则即是所求二面角的补角 在中, , 在中, 又 在 中, = 所求二面角的正弦值为 （广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）如图5,在四棱锥中,平面,是的中点. (1)求证:平面;(2)若直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等,求四棱锥的体积. 【答案】
28、(1)如图(1),连接,由,得 是的中点,所以 所以 而内的两条相交直线,所以平面 (2)过点作 由(1)平面知,平面.于是为直线与平面 所成的角,且 由知,为直线与平面所成的角 由题意,知 因为所以 由所以四边形是平行四边形,故于是 在中,所以 于是 又梯形的面积为所以四棱锥的体积为 解法2:如图(2),以为坐标原点,所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为: (1)易知因为 所以 而是平面内的两条相交直线,所以 (2)由题设和(1)知,分别是、的法向量 由(1)知, 而直线与所成的角和直线与所成的角相等,所以 由故 解得 又梯形的面积为,所以四棱锥的体积为 （广东省茂名市20
29、13届高三第一次模拟考试数学（理）试题）如图,为矩形,为梯形,平面平面,.(1)若为中点,求证:平面;(2)求平面与所成锐二面角的大小.【答案】(1)证明:连结,交与,连结, 中,分别为两腰的中点 因为面,又面,所以平面 (2)解法一:设平面与所成锐二面角的大小为,以为空间坐标系的原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,则 设平面的单位法向量为,则可设 设面的法向量,应有 即: 解得:,所以 所以平面与所成锐二面角为60 解法二:延长CB、DA相交于G,连接PG,过点D作DHPG ,垂足为H,连结HC 矩形PDCE中PDDC,而ADDC,PDAD=D CD平面PAD CDPG,又CDDH=
30、D PG平面CDH,从而PGHC DHC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角 在中, 可以计算 在中, 所以平面与所成锐二面角为60 （广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）如图,在梯形中,平面平面,四边形是矩形,点在线段上.(1)求证:平面;(2)当为何值时,平面?证明你的结论;(3)求二面角的余弦值.【答案】证明:()在梯形ABCD中, 四边形ABCD是等腰梯形, 且 , 又平面平面ABCD,交线为AC,平面ACFE. ()当时,平面BDF. 现在证明如下: 在梯形ABCD中,设,连结FN,则 而,MFAN, 四边形ANFM是平行四边形. 又平面B
31、DF,平面BDF. 平面BDF. ()方法一;(几何法)取EF中点G,EB中点H,连结DG、GH、DH, 容易证得DE=DF, 平面ACFE, 又, 又, 是二面角BEFD的平面角. 在BDE中, 又在DGH中, 由余弦定理得即二面角BEFD的平面角余弦值为 方法二;(向量法)以C为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系: , 所以, 分别设平面BEF与平面DEF的法向量为, 所以,令,则 又显然,令 所以,设二面角的平面角为为锐角 所以 （2013届广东省高考压轴卷数学理试题）如图甲,直角梯形中,点.分别在,上,且,现将梯形沿折起,使平面与平面垂直(如图乙).()求证:平面;()当的长为何值时,
32、二面角的大小为?【答案】解法一:()MB/NC,MB平面DNC,NC平面DNC, MB/平面DNC 同理MA/平面DNC,又MAMB=M, 且MA,MB平面MAB. . ()过N作NH交BC延长线于H,连HN, 平面AMND平面MNCB,DNMN, DN平面MBCN,从而, 为二面角D-BC-N的平面角. = 由MB=4,BC=2,知60, . sin60 = 由条件知: 解法二:如图,以点N为坐标原点,以NM,NC,ND所在直线分别作为轴,轴和轴,建立空间直角坐标系易得NC=3,MN=, 设,则. (I). , , 与平面共面,又,. (II)设平面DBC的法向量, 则,令,则, . 又平面
33、NBC的法向量. 即: 又即 （广东省“六校教研协作体”2013届高三第二次（11月）联考数学（理）试题）在四棱锥中,侧面底面,底面是直角梯形,.()求证:平面;()设为侧棱上一点,试确定的值,使得二面角的大小为.【答案】证: ()平面底面,所以平面,所以. 如图,以为原点建立空间直角坐标系 则,. 所以 又由平面,可得, 且 所以平面 ()平面的法向量为, ,所以, 设平面的法向量为,由, 得,所以, 所以, 注意到,得 （广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD版）如图,在边长为4的菱形ABCD中,点E,F分别在边CD,CB上,点E与点C,点D不重合, ,沿EF将折
34、起到的位置,使得平面 平面 (1)求证:平面(2)设AOBD=H,当O为CH中点时,若点Q满足,求直线OQ与平面PBD所成角的正弦值.【答案】 （广东省云浮市2012-2013新兴县第一中学高三阶段检测试题数学（三）(理) ）如图,四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,底面ABCD.(I)证明:;(II)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.【答案】解:()因为, 由余弦定理得 从而BD2+AD2= AB2,故BDAD 又PD底面ABCD,可得BDPD 所以BD平面PAD. 故 PABD ()如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-,则 ,. 设平
35、面PAB的法向量为n=(x,y,z),则 即 因此可取n= 设平面PBC的法向量为m,则 , 可取m=(0,-1,) ,故二面角A-PB-C的余弦值为 . （广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）在图(4)所示的长方形ABCD中, AD=2AB=2,E、F分别为AD、BC的中点, M 、N两点分别在AF和CE上运动,且AM=EN=把长方形ABCD沿EF折成大小为的二面角A-EF-C,如图(5)所示,其中(1)当时,求三棱柱BCF-ADE的体积;(2)求证:不论怎么变化,直线MN总与平面BCF平行; (3)当且时,求异面直线MN与AC所成角余弦值.【答案】解:(1)依题
36、意得平面,= 由得, (2)证法一:过点M作交BF于, 过点N作交BF于,连结, 又 四边形为平行四边形, 【法二:过点M作交EF于G,连结NG,则 , 同理可证得,又, 平面MNG/平面BCF MN平面MNG, 】 (3)法一:取CF的中点为Q,连结MQ、NQ,则MQ/AC, 或其补角为异面直线MN与AC所成的角, 且, 即MN与AC所成角的余弦值为 【法二:且 分别以FE、FB、FC所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系 则 , 所以与AC所成角的余弦值为 】 （广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,A
37、D/BC,ADC=90,平面PAD底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.(1)若点M是棱PC的中点,求证:PA / 平面BMQ;(2)求证:平面PQB平面PAD; (3)若二面角M-BQ-C为30,设PM=tMC,试确定t的值 .【答案】 ()AD / BC,BC=AD,Q为AD的中点, 四边形BCDQ为平行四边形,CD / BQ ADC=90 AQB=90 即QBAD. 又平面PAD平面ABCD 且平面PAD平面ABCD=AD, BQ平面PAD BQ平面PQB, 平面PQB平面PAD 另证:AD / BC,BC=AD,Q为AD的中点 BC /
38、 DQ 且BC= DQ, 四边形BCDQ为平行四边形,CD / BQ . ADC=90 AQB=90 即QBAD PABCDQMNxyz PA=PD, PQAD PQBQ=Q,AD平面PBQ AD平面PAD, 平面PQB平面PAD ()PA=PD,Q为AD的中点, PQAD. 平面PAD平面ABCD,且平面PAD平面ABCD=AD, PQ平面ABCD (不证明PQ平面ABCD直接建系扣1分) 如图,以Q为原点建立空间直角坐标系. 则平面BQC的法向量为; , 设, 则, , （广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模）如图6,已知四边形是矩形,三角形是正三角形,且平
39、面平面.(1)若是的中点,证明:;(2)求二面角的余弦值.【答案】 （广东省揭阳一中2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截面得,已知FA平面ABC,AB=2,BD=1,AF=2,CE=3,O为AB的中点.(1)求证:OCDF;(2)求平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小;(3)求多面体ABCFDE的体积V.【答案】解:(1)证法一:FA平面ABC,平面ABC, 又CA=CB且O为AB的中点, 平面ABDF, 平面ABDF, 证法二:如图,以O为原点,OB、OC、Oz分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 即 解
40、法二:设平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小为,依题中的条件可求得DE=由空间射影定理得故平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小为 解法三:延长ED、FD交直线CB、AB于M、N两点,过B点作MN的垂线交MN于Q点,连结DQ, 平面BMN,所以为二面角的平面角, ,故平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小为 (3)解法一:由(1)知平面ABDF,且平面ABC, 所以多面体ABCFDE的体积为解法二:在原来的几何体再补一个相同的几何体得到一个直三棱柱,其底面为ABC,高为4, 所以多面体ABCFDE的体积所以多面体ABCFDE的体积为 （广东省珠海市2013届高三9月摸底（一
41、模）考试数学（理）试题）如图1,在直角梯形中, 为线段的中点.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.(1) 求证:平面;(2) 求二面角的余弦值.ABCD图2MBACD图1M.【答案】解:()在图1中,设,可得,从而,故 取中点连结,则,又面面, 面面,面,从而平面, 又, 平面 另解:在图1中, 设,可得,从而,故 面面,面面,面,从而平面 ()法一.连接,过作于,连接 、分别是、中点 平面 平面 是二面角的平面角 由得, 中 二面角的余弦值为 ()建立空间直角坐标系如图所示,则, , xABCDMyzO设为面的法向量, 则即,解得 令,可得 又为面的一个发向量 二面角的余弦值为.
42、（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD版）等边三角形的边长为3,点、分别是边、上的点,且满足(如图3).将沿折起到的位置,使二面角成直二面角,连结、 (如图4).(1)求证:平面;(2)在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由.BCED图4图3ABCDE【答案】(本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识,考查空间想象能力和运算求解能力等,本小题满分14分) ABCDE证明:(1)因为等边的边长为3,且, 所以,. 在中, 由余弦定理得. 因为, 所以. 折叠后有 因为二面角是直二面角,所以平面平面 又平面
43、平面,平面, 所以平面 (2)解法1:假设在线段上存在点,使直线与平面所成的角为. BCEDHP如图,作于点,连结、 由(1)有平面,而平面, 所以 又, 所以平面 所以是直线与平面所成的角 设,则, 在中,所以 在中, 由, 得 解得,满足,符合题意 所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时 解法2:由(1)的证明,可知,平面. BCEDHxyzP 以为坐标原点,以射线、分别为轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系如图 设, 则, 所以, 所以 因为平面, 所以平面的一个法向量为 因为直线与平面所成的角为, 所以 , 解得 即,满足,符合题意 所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角
44、为,此时 中 学 学 科 网 Z X X （广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题 ）四棱锥PABCD中,侧面PDC是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是ADC的菱形,M为PB的中点,Q为CD的中点.(1) 求证:PACD;(2) 求AQ与平面CDM所成的角.第18题图CBADQPM【答案】CBADQPMN第17题图第18题图CBADQPMNxy z解:(1)连结PQ,AQ. PCD为正三角形, PQCD. 底面ABCD是ADC的菱形, AQCD. CD平面PAQ PACD. (2)设平面CDM交PA于N,CD/AB, CD/平面PAB. CD/MN.由于M
45、为PB的中点,N为PA的中点. 又PD=CD=AD,DNPA. 由(1)可知PACD, PA平面CDM 平面CDM平面PAB. PA平面CDM,联接QN、QA,则AQN为AQ与平面CDM所成的角 在RtDPMA中,AM=PM=, AP=,AN=,sinAQN=. AQN =45 (2)另解(用空间向量解): 由(1)可知PQCD,AQCD. 又由侧面PDC底面ABCD,得PQAQ. 因此可以如图建立空间直角坐标系 易知P(0 , 0 ,)、A(, 0 , 0)、B(, 2 , 0)、 C(0 , 1 , 0)、D(0 , -1 , 0) 由=(, 0 , -),=(0 , -2 , 0),得=
46、0. PACD 由M(, 1 , -),=(, 0 , -),得=0. PACM PA平面CDM,即平面CDM平面PAB. 从而就是平面CDM的法向量 设AQ与平面所成的角为q , 则sinq =|cos|=.中 学 学 科 网 Z X X AQ与平面所成的角为45 （广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）已知梯形中,、分别是、上的点,.沿将梯形翻折,使平面平面(如图).是的中点,以、为顶点的三棱锥的体积记为.(1)当时,求证: ; (2)求的最大值;(3)当取得最大值时,求异面直线与所成的角的余弦值. 【答案】(法一)(1)证明:作,垂足,连结, 平面平面,交线,平
47、面, 平面,又平面,故, ,. 四边形为正方形,故. 又、平面,且,故平面. 又平面,故. (2)解:,平面平面,交线,平面. 面.又由(1)平面,故, 四边形是矩形,故以、为顶点的三棱 锥 的高, 又. 三棱锥的体积 . 当时,有最大值为. (3)解:由(2)知当取得最大值时,故, 由(2)知,故是异面直线与所成的角. 在中, 由平面,平面,故 在中 , . 异面直线与所成的角的余弦值为. 法二:(1)证明:平面平面,交线,平面,故平面,又、平面, ,又,取、分别为轴、 轴、轴,建立空间坐标系,如图所示. 当时,又,. ,. , . ,即; (2)解:同法一; (3)解:异面直线与所成的角等
48、于或其补角. 又, 故 ,故异面直线与所成的角的余弦值为. （广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD版）(本小题满分分)如图, 中,侧棱与底面垂直, ,点分别为和的中点. (1)证明: ; (2)求二面角的正弦值.【答案】(本小题主要考查空间线面关系、空间向量等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 解 : (1)证法一: 连接 由题意知,点分别为和的中点, 又平面,平面, 平面 证法二:取中点,连,而 分别为与的中点, , , , 同理可证 又 平面/平面 平面,平面 证法三(向量法): 以点为坐标原点,分别以直线 为
49、轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,如图所示.于是 , 向量是平面的一个法向量 , 又 平面 (2)解法一: 以点为坐标原点,分别以直线 为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,如图所示. 于是, 由(1)知是平面的一个法向量, 设平面的法向量为, , 设向量和向量的夹角为,则 二面角的的正弦值为 解法二(几何法):如图,将几何体补形成一个正方体,连交于点,连,显然,都在同一平面上 易证, 平面,平面, ,又 平面. 取中点,连, 分别是的中点 , 平面, 且为垂足,即平面,过点作于, 过作交于,连, 则即是所求二面角的补角 在中, , , 在中, 又 在中, 所求二面角的正弦值为 （广东省潮州市2
50、013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）如图所示,已知为圆的直径,点为线段上一点,且,点为圆上一点,且.点在圆所在平面上的正投影为点,.(1)求证:;(2)求二面角的余弦值.PABDCO第18题图【答案】解析:PABDCO ()法1:连接,由知,点为的中点, 又为圆的直径, 由知, 为等边三角形,从而 点在圆所在平面上的正投影为点, 平面,又平面, , 由得,平面, 又平面, (注:证明平面时,也可以由平面平面得到,酌情给分.) 法2:为圆的直径, 在中设,由,得, ,则, ,即 点在圆所在平面上的正投影为点, 平面,又平面, , 由得,平面, 又平面, 法3:为圆的直径, 在中由得, 设,
51、由得, 由余弦定理得, ,即. - 点在圆所在平面上的正投影为点, 平面,又平面, , 由得,平面, 又平面, PABDCOE()法1:(综合法)过点作,垂足为,连接 由(1)知平面,又平面, ,又, 平面,又平面, , 为二面角的平面角 由()可知, (注:在第()问中使用方法1时,此处需要设出线段的长度,酌情给分.) ,则, 在中, ,即二面角的余弦值为 法2:(坐标法)以为原点,、和的方向分别为轴、轴和轴的正向,建立如图所示的空间直角坐标系 (注:如果第()问就使用“坐标法”时,建系之前先要证明,酌情给分.) 设,由,得, , , 由平面,知平面的一个法向量为 PABDCOyzx设平面的
52、一个法向量为,则 ,即,令,则, , 设二面角的平面角的大小为, 则, 二面角的余弦值为 （广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）如图,在直角梯形中,已知,.将沿对角线折起(图),记折起后点的位置为且使平面平面.(1)求三棱锥的体积;(2)求平面与平面所成二面角的平面角的大小.【答案】解:(1)平面平面, 平面,平面平面, 平面, 即是三棱锥的高, 又, , , , 三棱锥的体积. (2)方法一: 平面,平面, 又,平面, 平面, , ,即 由已知可知, ,平面 平面,平面平面 所以平面与平面所成二面角的平面角的大小为. 方法二: 过E作直线,交BC于G,则, 如图建立空间直
53、角坐标系,则, , 设平面的法向量为, 则,即化简得 令,得,所以是平面的一个法向量. 同理可得平面PCD的一个法向量为 设向量和所成角为,则 平面与平面所成二面角的平面角的大小为. （广东省珠海一中等六校2013届高三5月高考模拟考试数学（理）试题）在如图所示的几何体中,是边长为2的正三角形,平面ABC,平面平面ABC,BD=CD,且.(1)若AE=2,求证:AC平面BDE;(2)若二面角ADEB为60.求AE的长.DBECA【答案】【解析】(1)分别取 的中点,连接 ,则,且, 因为,为的中点, 所以, 又因为平面平面, 所以平面 又平面, 所以, 所以,且,因此四边形为平行四边形, 所以
54、,所以,又平面,平面, 所以平面 BEDCAMH(或者建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,计算即证) BEDCAMNP (2)解法一: 过作垂直的延长线于,连接. 因为, 所以平面,平面 则有. 所以平面,平面, 所以. 所以为二面角的平面角, 即 在中,则 ,. 在中,. 设,则,所以,又 在中,即=, 解得,所以 解法二: 由(1)知平面, 建立如图所示的空间直角坐标系. 设,则, , ,. 设平面的法向量 则错误！未找到引用源。所以错误！未找到引用源。 令, 所以 , 又平面的法向量, 所以, 解得, 即 DyBECAM(o)xz （广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理
55、）试题）如图5,在四棱锥中,底面为直角梯形,垂直于底面,分别为的中点. (1)求证:;(2)求平面与平面所成的二面角的余弦值;(3)求点到平面的距离. 【答案】解:(1)证明:因为是的中点, 所以 由底面,得, 又,即,又在平面内, 平面,所以 , 又在平面内, 平面, . (2)方法一: 由(1)知,平面,所以 , 由已知可知, 所以是平面与平面所成的二面角的平面角 在直角三角形中, 因为直角三角形斜边的中点,所以 在直角三角形中, 即平面与平面所成的二面角的余弦值为. 方法二:如图建立空间直角坐标系,则, , 设平面的法向量为,则 即,令,则, 所以平面的一个法向量为 显然是平面的一个法向
56、量 设平面与平面所成的二面角的平面角为,则 即平面与平面所成的二面角的余弦值为. (3)由已知得, 设点到平面的距离为, 则 由,即,得 即点到平面的距离. （广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）如图4,已知四棱锥,底面是正方形,面,点是的中点,点是的中点,连接,.(1) 求证:面;(2)若,求二面角的余弦值.【答案】(本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识,考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法) (1)证法1:取的中点,连接, 点是的中点, 点是的中点,底面是正方形, . 四边形是平行四边形. 平面,平面, 面 证法2:连接并延
57、长交的延长线于点,连接, 点是的中点, , 点是的中点 点是的中点, 面,平面, 面. 证法3:取的中点,连接, 点是的中点,点是的中点, ,. 面,平面, 面 面,平面, 面 ,平面,平面, 平面面 平面, 面 (2)解法1:,面, 面 面, 过作,垂足为,连接, ,面,面, 面 面, 是二面角的平面角 在Rt中,得, 在Rt中,得, 在Rt中, 二面角的余弦值为 解法2:,面, 面. 在Rt中,得, 以点为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴, 建立空间直角坐标系, 则. , 设平面的法向量为, 由, 得 令,得,. 是平面的一个法向量 又是平面的一个法向量, 二面角的余弦值为
58、（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）如图,直角梯形中,过作,垂足为.、分别是、的中点.现将沿折起,使二面角的平面角为.求证:平面平面;求直线与面所成角的正弦值.【答案】证明:DEAE,CEAE, AE平面, AE平面, 平面平面 (方法一)以E为原点,EA、EC分别为轴,建立空间直角坐标系 DEAE,CEAE, 是二面角的平面角,即=, , A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,1,0),E(0,0,0),D(0,1) 、分别是、的中点, F,G =,=, 由知是平面的法向量, 设直线与面所成角, 则, 故求直线与面所成角的正弦值为 (列式1分,计算1分) (
59、方法二)作,与相交于,连接 由知AE平面,所以平面,是直线与平面所成角 是的中点,是的中位线, 因为DEAE,CEAE,所以是二面角的平面角,即=, 在中,由余弦定理得, (或) (列式1分,计算1分) 平面,所以,在中, (列式1分,计算1分) 所以直线与面所成角的正弦值为 （广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.()请画出该几何体的直观图,并求出它的体积;()用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1? 如何组拼?试证明你的结论;()在()的情形下,设正
60、方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点为E, 求平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值.正视图侧视图俯视图【答案】解:()该几何体的直观图如图1所示,它是有一条 侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD是边长为6的 正方形,高为CC1=6,故所求体积是 ()依题意,正方体的体积是原四棱锥体积的3倍, 故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体, 其拼法如图2所示 证明:面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的 ABCDD1A1B1C1图2 正方形,于是 故所拼图形成立 ABCDD1A1B1C1EHxyzG图3()方法一:设B1E,BC的延长线交于点G, 连结GA,在
61、底面ABC内作BHAG,垂足为H, 连结HB1,则B1HAG,故B1HB为平面AB1E与 平面ABC所成二面角或其补角的平面角 在RtABG中,则 , ,故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为 方法二:以C为原点,CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系(如图3),正方体棱长为6,则E(0,0,3),B1(0,6,6),A(6,6,0). 设向量n=(x,y,z),满足n,n, 于是,解得 取z=2,得n=(2,-1,2). 又(0,0,6), 故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为 （广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD版）如图,
62、在长方体ABCD一A1B1C1D1中,AA1=2, AD = 3, E为CD中点,三棱 锥A1-AB1E的体积是6.(1)设P是棱BB1的中点,证明:CP/平面AEB1;(2)求AB的长;(3)求二面角BAB1-E的余弦值.【答案】 （广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）如图4,在三棱柱中,是边长为的等边三角形,平面,分别是,的中点. (1)求证:平面;(2)若为上的动点,当与平面所成最大角的正切值为时,求平面 与平面所成二面角(锐角)的余弦值.【答案】(本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象、推理论证、抽象概括和运
63、算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法) 解法一: (1)证明:延长交的延长线于点,连接. ,且, 为的中点 为的中点, . 平面,平面, 平面 (2)解:平面,平面, 是边长为的等边三角形,是的中点, ,. 平面,平面, 平面 为与平面所成的角 , 在Rt中, 当最短时,的值最大,则最大 当时,最大. 此时,. ,平面, 平面 平面,平面, ,. 为平面 与平面所成二面角(锐角). 在Rt中, 平面 与平面所成二面角(锐角)的余弦值为 解法二: (1)证明:取的中点,连接、. 为的中点, ,且 ,且, , 四边形是平行四边形. 平面,平面, 平面. (苏元高考吧:) (2)解:平面,平面,
64、 是边长为的等边三角形,是的中点, ,. 平面,平面, 平面 为与平面所成的角 , 在Rt中, 当最短时,的值最大,则最大 当时,最大. 此时,. 在Rt中,. RtRt, ,即. 以为原点,与垂直的直线为轴,所在的直线为轴,所在的直线为轴, 建立空间直角坐标系. 则,. ,. 设平面的法向量为, 由, 得 (苏元高考吧:) 令,则. 平面的一个法向量为 平面, 是平面的一个法向量. 平面 与平面所成二面角(锐角)的余弦值为 （广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解）如图,的外接圆O的半径为,其中为圆直径,O所在的平面,且.(1)求证:平面平面;(2)试问线段上是
65、否存在点M,使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为?若存在,确定M的位置,若不存在,请说明理由.【答案】解:()AB是直径,ACBC, 又CD 平面ABC,CDBC,故BC平面ACD 平面BCDE,平面ADC平面BCDE ()方法一:假设点M存在,过点M作MNCD于N, 连结AN,作MFCB于F,连结AF 平面ADC平面BCDE,MN平面ACD, MAN为MA与平面ACD所成的角 设MN=x,计算易得,DN=,MF= 故 12分 解得:(舍去) , 故,从而满足条件的点存在,且 方法二:建立如图所示空间直角坐标系Cxyz,则: A(4,0,0),B(0,2,0),D(0,0,4),E(0,2,1),C(0,0,0) 则 易知平面ACD的法向量为C, 假设M点存在,设,则, 再设 ,即, 从而 设直线AM与平面ACD所成的角为,则: 解得, 其中应舍去,而 故满足条件的点M存在,且点M的坐标为
