1、江苏省南通市海安高级中学2020届高三数学下学期5月第二次检测试题（含解析）一、填空题1.设集合，集合，若，则 【答案】1【解析】试题分析：由题意，所以考点：集合间的关系2.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_名学生【答案】60【解析】【分析】采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的.【详解】该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，应从
2、一年级本科生中抽取学生人数为：.故答案为60.3.已知复数满足为虚数单位，则的模为 .【答案】【解析】试题分析：考点：复数及模的概念与复数的运算4.根据如图所示的伪代码，最后输出的的值为_. 【答案】【解析】【详解】试题分析：由算法伪代码语言所提供的信息可知,应填.考点：伪代码语言的理解和运用5.现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为 【答案】【解析】试题分析：从5道试题中随机取2道试题，共有10种基本事件，其中皆不是乙类试题包含1中基本事件，因此至少有1道试题是乙类试题的概率为考点：古典概型概率6.在中，若，则的值是_.【答案】
3、【解析】【分析】利用勾股定理可得知，结合平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】在中，由勾股定理可得，则，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的运算性质，考查计算能力，属于基础题.7.若实数满足约束条件则目标函数的最小值为 【答案】1【解析】【详解】试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中直线过点时取最小值1考点：线性规划求最值8.已知，则的值为_.【答案】【解析】【分析】由题易得，然后结合题中条件由余弦的二倍角公式直接计算即可.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查余弦二倍角公式，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于基础题.9
4、.已知等比数列的前项和为，若，则的值是 【答案】-2【解析】试题分析：，考点：等比数列性质及求和公式10.已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则离心率_.【答案】【解析】【分析】由双曲线方程写出渐近线方程，由平行求得参数，然后离心率【详解】由已知双曲线的渐近线方程为和，显然直线与直线平行，所以，即双曲线方程为，实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为，所以离心率为故答案为：【点睛】本题考查双曲线离心率，掌握双曲线的渐近线方程与两直线平行的条件是解题关键11.一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的倍，则圆柱的侧面积是其底面积的_倍.【答案】【解析】试题分析：因为一个圆柱和一个圆锥同底等高，
5、所以设底面半径为，高为，因为圆锥的侧面积是其底面面积的倍，所以，所以圆柱的侧面积，其底面积为，所以圆柱的侧面积是底面积的倍.考点：旋转体侧面积与表面积.【方法点晴】本题主要考查了旋转体的侧面积与表面积的计算，其中解答中涉及到圆柱侧面积、圆锥的侧面积与表面积的计算，圆锥与圆柱的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的空间想象能力，解答中利用圆柱和圆锥的侧面积公式，准确计算是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.12.已知函数，则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】先判断函数单调性，再根据单调性化简不等式，解得结果.【详解】都为单调递增函数，且在上单调递增，
6、 ，即故答案为：【点睛】本题考查分段函数单调性、利用函数单调性解不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.13.已知函数的图像经过点，如下图所示，则的最小值为 .【答案】【解析】试题分析：由图可知，a1，点(1，3)在函数的图象上，所以 ab31a3，0b2当且仅当时取等号考点：指数函数性质及图象，基本不等式，函数的最值14.已知直线与圆相交于两点，若，圆的半径_.【答案】【解析】【分析】求出圆心到弦的距离，利用余弦二倍角公式与向量的数量积公式化简可得【详解】圆心 到直线的距离. .故答案为：【点睛】本题考查直线与圆相交问题解题关键是掌握垂径定理及向量的数量积公式二、解答题15.设函数.（1）求
7、的单调增区间；（2）若，求的值域.【答案】（1）单调增区间为：；（2）.【解析】【分析】（1）由两角差正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数的单调性得增区间；（2）求出的范围，把它作为一个整体，利用正弦函数性质可得值域【详解】解：（1），的单调增区间为：（2），的值域为：.【点睛】本题考查正弦型三角函数的单调性，值域问题，考查两角和与差的正弦公式，掌握正弦函数的性质是解题关键16.如图，在多面体中，四边形是菱形，相交于点，平面平面，点为的中点.（1）求证：直线平面；（2）求证：直线平面【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】分析】（1）证明，再利用线面平行判定定
8、理，即可证明；（2）证明平面内的两条相交直线、；【详解】证明：（1）四边形是菱形，点是的中点，点为的中点，又平面，平面，直线平面.（2），点为的中点，.平面平面，平面平面，平面，平面，平面，四边形为平行四边形，四边形是菱形，、在平面内，平面.【点睛】本题考查线面平行判定定理、线面垂直判定定理的运用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力，求解时注意条件书写的完整性.17.如图，已知椭圆，离心率为，过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点）.点在椭圆上，且.（1）若椭圆的右准线方程为：，求椭圆的方程；（2）设直线、的斜率分别为、，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据右准线以
9、及离心率列方程组解得，即得，可得椭圆的方程；（2）利用点差法得，结合转化为再根据离心率可得的值.【详解】（1），解得：，椭圆方程为：.（2）设，则，在椭圆上，【点睛】本题考查椭圆标准方程、点差法，考查综合分析求解能力，属中档题.18.如图，某小区有一块矩形地块，其中，单位：百米.已知是一个游泳池，计划在地块内修一条与池边相切于点的直路（宽度不计），交线段于点，交线段于点.现以点为坐标原点，以线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系，若池边满足函数的图象，若点到轴距离记为.（1）当时，求直路所在的直线方程；（2）当为何值时，地块在直路不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？【答案】（1）；（2）；
10、面积的最大值为.【解析】【分析】（1）把代入函数，得的坐标，再利用导数求切线的斜率，即可得到答案；（2）先求出面积的表达式为，再利用导数求函数的最大值，即可得到答案；【详解】解：（1）把代入函数，得，直线方程为；（2）由（1）知，直线的方程为，令，令，.，令，当时，当时，当时，所以所求面积的最大值为.【点睛】本题考查函数模型解决面积问题、导数几何意义的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.19.若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.【答案】（1）极小值；（2）.
11、【解析】【分析】(1)求出，令求出方程的解，从而探究随的变化情况，即可求出极值.(2)求出，令，分，三种情况进行讨论，结合零点存在定理求出实数的取值范围.【详解】解：（1）当时，的定义域为，令，解得，则随的变化如下表， 故在上是减函数，在上是增函数；故在时取得极小值；（2）函数的定义域为，令，则，当时，在恒成立，故在上是增函数，而，故当时，恒成立，故在区间上单调递增，故在区间上没有极值点；当时，由（1）知，在区间上没有极值点；当时，令，解得或（舍去）；故在上是增函数，在上是减函数，当，即时，在上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，令得，不符合题意；令得，所以，而，又，所以在上有且只有一个零点
12、，且在该零点两侧异号，综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查了极值的求解，考查了已知极值点的范围求解参数.20.已知数列的前项和为，且对一切正整数都有.（1）求证：；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在实数，使不等式，对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在；的取值范围是.【解析】【分析】（1）由题得，即得；（2）由题得.，再对分奇数和偶数两种情况讨论，求出数列的通项公式；（3）令，判断函数的单调性，求出其最大值，解不等式即得解.【详解】（1）证明：，由得，.（2），得.从而数列的奇数项依次成等差数列，且首项为，公差为；数列的偶数项也依次成等差数列，且首项为，公差为.在中令得，又，.在中令得，.当时，；当时，；综上所述，.（3）令，则且，单调递减，.不等式对一切正整数都成立等价于对一切正整数都成立，等价于，即.，即，解之得，或.综上所述，存在实数的适合题意，的取值范围是.【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列的单调性的判定和最值的求法，考查数列不等式的恒成立问题的求解，考查不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
