1、景胜中学2020年12月高二月考数学理试卷 一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ） 1. 已知命题p:x0，那么p是( ) A.x0，x20B.x0，x20C.x0，x20D.x0，x202. 已知和表示两个不重合的平面，a和b表示两条不重合的直线，则平面/平面的一个充分条件是（） A.a/b，a/且b/B.a，b且a/，b/C.ab，a/且bD.a/b，a且b3. 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( ) A.14B.13C.12D.344. 如图圆锥的高 SO=3，底面直径 AB=2，C是圆O上一
2、点，且 AC=1，则 SA 与BC所成角的余弦值为（） A.34B.33C.14D.135. 集合A=x|1x1，若“xB”是“xA”的充分不必要条件，则B可以是( ) A.x|1x1B.x|1x1C.x|0x2D.x|2x0”的否定是“xR,3x2+2x10，b0)的右焦点为F，点B是虚轴上的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若BA=2AF，且|BF|=4，则双曲线C的方程为( ) A.x26y25=1B.x28y212=1C.x28y24=1D.x24y26=111. 点M，N分别是棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1 中棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括
3、边界）内运动若PA1/面AMN，则PA1的长度的最大值是（） A.2B.322C.3D.512. 已知F1，F2分别是双曲线x2a2y2b2=1a0,b0的左、右焦点，点P在双曲线右支上且不与顶点重合，过F2作F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A若|F1A|=5b，则该双曲线离心率的取值范围为( ) A.1,2B.2,32C.2,3D.32,3 二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ） 13. 已知p:xR,x2+mx+10，若p为假命题，则实数m的取值范围是_. 14. 已知直线y=2x2与抛物线y2=8x交于A，B两点，抛物线的焦点为F，则FAFB的值为_.
4、 15. 已知四棱柱ABCDA1BC1D1的底面ABCD是矩形，AB=5，AD=3，AA1=4，BAA1=DAA1=60，则AC1=_. 16. 已知双曲线x2y28=1上有三个点A，B，C，且AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，用字母k表示斜率，若kOD+kOE+kOF=8（点O为坐标原点，且kOD，kOE，kOF均不为零），则1kAB+1kBC+1kAC=_. 三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ， ） 17.(10分)已知p：关于x方程x2+2x+14m2=0有两个不相等的实根；q：方程y23+x2m=1表示焦点在y轴上的椭圆 (1)若p为真命题，求实数m的取值范围；(
5、2)如果“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数m的取值范围18.(12分) 已知命题p：实数x满足x24ax+3a20，命题q：实数x满足x2x60，x2+2x80. (1)若a=1，且命题p和命题q均为真命题，求实数x的范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求a的范围19.(12分) 如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，AB/CD，CDAD，PAD是等腰直角三角形，PD=PA=1. (1)证明：PDPB； (2)若PB与平面PAD所成角的大小为60，CD=2AB，求点C到平面PBD的距离20.(12分) 如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是以AB，C
6、D为底边的等腰梯形，且AB=2AD=4，DAB=60，ADD1D. (1)证明：ADBD1；(2)若D1D=D1B=2，求二面角ABCB1的正弦值21.(12分) 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1ab0的离心率e=63，并且经过定点P32,12. (1)求曲线E的方程；(2)直线l：y=kx+2交椭圆E于不同的A，B两点，O是坐标原点，求AOB面积的最大值22.(12分) 已知圆M：x12+y2=14，动圆N与圆M相外切，且与直线x=12相切 (1)求动圆圆心N的轨迹C的方程；(2)已知点P12,12，Q1,2，过点P的直线l与曲线C交于两个不同的点A，B（与Q点不重合），直线QA，QB的斜
7、率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由参考答案与试题解析景胜中学2020年12月高二月考数学理试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1.【答案】C【解答】解：特称命题的否定是全称命题.已知命题p:x0，那么p是：xb0)，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：xc+yb=1，椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，可得：11c2+1b2=b2， 4=b2(1c2+1b2)， b2c2=3， a2c2c2=3， e=ca=12故选C4.【答案】A【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系得：A(0,1,0)，B(0,1,0)，S(0,0,
8、3)，C32,12,0，设SA，BC的夹角为，又SA=(0,1,3)，BC=32,32,0，则cos=SABC|SA|BC|=34，即SA与BC所成角的余弦值为34.故选A5.【答案】B【解答】解：A，B=x|1x1与集合A相等，“xB”是“xA”的充分必要条件.故选项A错误.B，B=x|1x1，B包含于A，“xB”是“xA”的充分不必要条件.故选项B正确.C，B=x|0x2，B不包含A，A也不包含B，“xB”既不是“xA”的充分条件，也不是必要条件.故选项C错误.D，B=x|2x1，B不包含A，A也不包含B，“xB”既不是“xA”的充分条件，也不是必要条件.故选项D错误.故选B.6.【答案】
9、D【解答】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，BC1=(2,0,1)，AC=(2,2,0).易知AC为平面BB1DD1的一个法向量， sin=|cos|=458=105， 直线BC1和平面BB1DD1所成角的正弦值为105.故选D.7.【答案】D【解答】解：A中，命题“若|x|=5，则x=5”的否命题为“若|x|5，则x5”，故A不正确；B中，由x25x6=0，解得x=1或x=6，所以“x=1是“x25x6=0”的充分不必要条件，故B不正确；C中，“x0R,3x
10、02+2x010的否定是“xR,3x2+2x10，故C不正确；D中，命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，因此其逆否命题为真命题，D正确.故选D8.【答案】D【解答】解：由题意可知，直线l的斜率存在当直线的斜率为零时，由于0,3为抛物线的焦点，故应有|AB|=12，所以直线的斜率存在，且不为零，设直线l的方程为y=kx+3（k0），由 y=kx+3,x2=12y,消去x得，y2(12k2+6)y+9=0，所以y1+y2=12k2+6，所以|AB|=y1+y2+6=12k2+12=14，所以k=66，所以tan=66，所以sin=77故选D9.【答案】B【解答】解：先讨论当点P在椭圆上
11、时，F1PF2最大时，点P的位置cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|=|PF1|+|PF2|22|PF1|PF2|4c22|PF1|PF2|=4a22|PF1|PF2|4c22|PF1|PF2|=4b22|PF1|PF2|24b22(|PF1|+|PF2|2)22=2b2a22,当且仅当|PF1|=|PF2|时取得等号，即当点P在椭圆的短轴的端点上时，cosF1PF2最小，此时F1PF2最大要使得椭圆C上存在点P满足F1PF2=90，则只需F1PF2最大时的值大于等于90如图设椭圆的一个短轴的端点为B，即只需F1BO45当椭圆的焦点在x轴上时，c=8m
12、,由题意可得8mmtan45,0m8,解得，08,解得，m16故选B10.【答案】D【解答】解：设A(x,y)，因为右焦点为F(c,0)，点B(0,b)，线段BF与双曲线C的右支交于点A，BA=2AF，所以x=2c3，y=b3，A(2c3,b3)，代入双曲线方程，可得49c2a219=1，所以b=62a，因为|BF|=4，所以c2+b2=16，所以a=2，b=6，所以双曲线C的方程为x24y26=1故选D.11.【答案】D【解答】解：取B1C1，B1B中点E，F，连接A1E，A1F，EF，则A1E/AM，EF/MN.又因为A1EEF=E，所以平面AEF/平面AMN又因为动点P在正方形BCC1B
13、1（包括边界）内运动，所以点P的轨迹为线段EF又因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，所以A1E=A1F=5，EF=2所以A1EF为等腰三角形，故当点P在点E或者P在点F处时，此时PA1最大，最大值为5故选D12.【答案】B【解答】解：如图，F1，F2是双曲线x2a2y2b2=1a0,b0的左、右焦点，延长F2A交PF1于点Q因为PA是F1PF2的角平分线，所以|PQ|=|PF2|因为点P在双曲线上，所以|PF1|PF2|=2a，|PF1|PQ|=|QF1|=2a.因为O是F1F2的中点，A是F2Q的中点，OA是F1F2Q的中位线，所以|QF1|=2a=2|OA|，所以|OA|=a.在
14、F1OA中，由余弦定理，得cosAOF1=a2+c25b22ac=6a24c22ac=3e2e，当P的横坐标趋近于+时，直线PF1的斜率趋近ba，故3e2e1,1e，解得e2,32.故选B.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） 13.【答案】2m2【解答】解：由p为假命题可知，p为真命题，则=m24110，解得2m2.故答案为：2m0，所以实数m的取值范围为2m0表示焦点在y轴上的椭圆，所以0m3，当p为真，q为假时，2m2，m0或m3，解得2m0；当p为假，q为真时，m2或m2，0m3，解得2m0，所以实数m的取值范围为2m0表示焦点在y轴上的椭圆，所以0m3
15、，当p为真，q为假时，2m2，m0或m3，解得2m0；当p为假，q为真时，m2或m2，0m3，解得2m3.综上，实数m的取值范围为：(2,02,3).18.【答案】解：(1)当a=1时，由x24x+30得1x3，即p:1x0，解得2x3，x2或x4，即2x3，即q:2x3. 命题p和命题q均为真命题，即x满足2x3，1x3，即2x3.(2) p是q的必要不充分条件， q是p的充分不必要条件，由p知，A=x|ax0，由q知，B=x|23，即a1，a2，即1a2，即实数a的取值范围是(1,2.【解答】解：(1)当a=1时，由x24x+30得1x3，即p:1x0，解得2x3，x2或x4，即2x3，即
16、q:2x3. 命题p和命题q均为真命题，即x满足2x3，1x3，即2x3.(2) p是q的必要不充分条件， q是p的充分不必要条件，由p知，A=x|ax0，由q知，B=x|23，即a1，a2，即1a2，即实数a的取值范围是(1,2.19.【答案】(1)证明：因为CDAD，AB/CD，所以ABAD.因为平面PAD平面ABCD，交线为AD，所以AB平面PAD，于是ABPD.在等腰直角三角形PAD中，PD=PA，所以PDPA.又因为ABPA=A，所以PD平面PAB，所以PDPB.(2)解：由(1)知AB平面PAD，所以PB与平面PAD所成的角即APB=60.结合已知可得AD=2，AB=3，PB=2，
17、CD=23，BD=5，可得PBD是以BD为斜边的直角三角形设点C到平面PBD的距离为d，则VCPBD=13dSPBD=13d1212=d3.又因为VPBCD=1322SBCD=132212232=33，所以d3=33，d=3.【解答】(1)证明：因为CDAD，AB/CD，所以ABAD.因为平面PAD平面ABCD，交线为AD，所以AB平面PAD，于是ABPD.在等腰直角三角形PAD中，PD=PA，所以PDPA.又因为ABPA=A，所以PD平面PAB，所以PDPB.(2)解：由(1)知AB平面PAD，所以PB与平面PAD所成的角即APB=60.结合已知可得AD=2，AB=3，PB=2，CD=23，
18、BD=5，可得PBD是以BD为斜边的直角三角形设点C到平面PBD的距离为d，则VCPBD=13dSPBD=13d1212=d3.又因为VPBCD=1322SBCD=132212232=33，所以d3=33，d=3.20.【答案】(1)证明：在ABD中，AB=4，AD=2，DAB=60，由余弦定理，得BD=AB2+AD22ABADcos60=23，则AD2+BD2=AB2，即ADBD.因为ADD1D，BDD1D=D，故AD平面D1DB.又因为BD1平面D1DB，所以ADBD1 (2)解：取BD的中点O，由于D1D=D1B，所以D1OBD.由(1)可知平面D1DB平面ABCD，故D1O平面ABCD
19、.由等腰梯形，得DC=CB，则COBD，D1O=DD12DO2=43=1，以O为原点，分别以OB，OC，OD1的方向为x，y，z的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(3,2,0)，B(3,0,0)，C(0,1,0)，D(3,0,0)，D1(0,0,1)，则AB=23,2,0，BB1=DD1=3,0,1，BC=3,1,0，设平面B1BC的法向量为n=x,y,z，则nBB1=0,nBC=0,解得3x+z=0,3x+y=0.令x=1，则y=3，z=3，则n=1,3,3又因为m=0,0,1是平面ABC的一个法向量，所以|cos|=|mn|m|n|=371=217,所以二面角ABCB的正弦
20、值为137=277.【解答】(1)证明：在ABD中，AB=4，AD=2，DAB=60，由余弦定理，得BD=AB2+AD22ABADcos60=23，则AD2+BD2=AB2，即ADBD.因为ADD1D，BDD1D=D，故AD平面D1DB.又因为BD1平面D1DB，所以ADBD1(2)解：取BD的中点O，由于D1D=D1B，所以D1OBD.由(1)可知平面D1DB平面ABCD，故D1O平面ABCD.由等腰梯形，得DC=CB，则COBD，D1O=DD12DO2=43=1，以O为原点，分别以OB，OC，OD1的方向为x，y，z的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(3,2,0)，B(3,
21、0,0)，C(0,1,0)，D(3,0,0)，D1(0,0,1)，则AB=23,2,0，BB1=DD1=3,0,1，BC=3,1,0，设平面B1BC的法向量为n=x,y,z，则nBB1=0,nBC=0,解得3x+z=0,3x+y=0.令x=1，则y=3，z=3，则n=1,3,3又因为m=0,0,1是平面ABC的一个法向量，所以|cos|=|mn|m|n|=371=217,所以二面角ABCB的正弦值为137=277.21.【答案】解：(1)由题意：e=ca=63且94a2+14b2=1，又a2=b2+c2，解得a=3，b=1，c=2 曲线E的方程为x23+y2=1.(2)设Ax1,y1，Bx2,
22、y2，联立x23+y2=1，y=kx+2，消去y并整理，得1+3k2x2+12kx+9=0， =12k2361+3k2=36k2360，即k21， x1+x2=12k1+3k2，x1x2=91+3k2， x1x22=x1+x224x1x2=144k21+3k22361+3k2=36k211+3k22.又原点到直线l:y=kx+2的距离d=21+k2， SAOB=12|AB|d=121+k2|x1x2|21+k2=|x1x2|.令t=k2，则t1， S2=x1x22=36t11+3t2=36t19t2+6t+1=36t19t12+24t1+16=369t1+16t1+24t1，当且仅当t1=43
23、，即t=73时，Smax2=34，所以当k2=73，即k=213时，AOB的面积最大，最大为32.【解答】解：(1)由题意：e=ca=63且94a2+14b2=1，又a2=b2+c2，解得a=3，b=1，c=2 曲线E的方程为x23+y2=1.(2)设Ax1,y1，Bx2,y2，联立x23+y2=1，y=kx+2，消去y并整理，得1+3k2x2+12kx+9=0， =12k2361+3k2=36k2360，即k21， x1+x2=12k1+3k2，x1x2=91+3k2， x1x22=x1+x224x1x2=144k21+3k22361+3k2=36k211+3k22.又原点到直线l:y=kx
24、+2的距离d=21+k2， SAOB=12|AB|d=121+k2|x1x2|21+k2=|x1x2|.令t=k2，则t1， S2=x1x22=36t11+3t2=36t19t2+6t+1=36t19t12+24t1+16=369t1+16t1+24t1，当且仅当t1=43，即t=73时，Smax2=34，所以当k2=73，即k=213时，AOB的面积最大，最大为32.22.【答案】解：(1)设N到直线x=12的距离为d. d=|MN|12， N到直线x=1的距离等于N到M(1,0)的距离.由抛物线的定义可知，N的轨迹C为抛物线， 轨迹C的方程为y2=4x.(2)设直线l的方程为x+12=my
25、+12，即2x2my+1m=0. A，B与Q点不重合， m35.设直线QA，QB的斜率分别为k1和k2，k1+k2=，点A(x1,y1)，B(x2，y2)，联立2x2my+1m=0，y2=4x,消去x，得y24my+22m=0，则y1+y2=4m，y1y2=22m，由=(4m)24(22m)0，解得m12，且m35.因为k1=y12x11=y1212(2my1+m1)1=2(y12)2my1+m3，同理可得k2=2(y22)2my2+m3，所以=k1+k2=2(y12)2my1+m3+2(y22)2my2+m3=24my1y23(m+1)(y1+y2)4(m3)4m2y1y2+2m(m3)(y
26、1+y2)+(m3)2=24m(22m)3(m+1)4m4(m3)4m2(22m)+2m(m3)4m+(m3)2=8(5m22m+3)3(5m22m+3)=83，所以直线QA，QB的斜率之和为定值83【解答】解：(1)设N到直线x=12的距离为d. d=|MN|12， N到直线x=1的距离等于N到M(1,0)的距离.由抛物线的定义可知，N的轨迹C为抛物线， 轨迹C的方程为y2=4x.(2)设直线l的方程为x+12=my+12，即2x2my+1m=0. A，B与Q点不重合， m35.设直线QA，QB的斜率分别为k1和k2，k1+k2=，点A(x1,y1)，B(x2，y2)，联立2x2my+1m=
27、0，y2=4x,消去x，得y24my+22m=0，则y1+y2=4m，y1y2=22m，由=(4m)24(22m)0，解得m12，且m35.因为k1=y12x11=y1212(2my1+m1)1=2(y12)2my1+m3，同理可得k2=2(y22)2my2+m3，所以=k1+k2=2(y12)2my1+m3+2(y22)2my2+m3=24my1y23(m+1)(y1+y2)4(m3)4m2y1y2+2m(m3)(y1+y2)+(m3)2=24m(22m)3(m+1)4m4(m3)4m2(22m)+2m(m3)4m+(m3)2=8(5m22m+3)3(5m22m+3)=83，所以直线QA，QB的斜率之和为定值83
