1、考点18 圆的性质及与圆有关的位置关系一、圆的有关概念1与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角（6）弦心距：圆心到弦的距离2注意（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆二、垂
2、径定理及其推论1垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形2推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧三、圆心角、弧、弦的关系1定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立2推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等四、圆周角定理及其推论1定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一
3、半2推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 （2）直径所对的圆周角是直角 圆内接四边形的对角互补在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等五、与圆有关的位置关系1点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d(1)dr点在O外判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可2直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系drd=rdr由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况六、切线的性质与判定1切线的性质（
4、1）切线与圆只有一个公共点（2）切线到圆心的距离等于圆的半径（3）切线垂直于经过切点的半径利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题2切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线判定常用的证明方法：知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径七、三角形与圆1三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形外心是三角形三条垂直平
5、分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等2三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等考向一 圆的基本认识1在一个圆中可以画出无数条弦和直径2直径是弦，但弦不一定是直径3在同一个圆中，直径是最长的弦4半圆是弧，但弧不一定是半圆弧有长度和度数，规定半圆的度数为180，劣弧的度数小于180，优弧的度数大于1805在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧典例1 下列命题中正确的有弦是圆上任意两点之间的部分；半径是弦；直径是最长的弦；弧是半圆，
6、半圆是弧A1个B2个C3个D4个【答案】A【解析】弦是圆上任意两点之间所连线段，所以错误；半径不是弦，所以错误；直径是最长的弦，正确；只有180的弧才是半圆，所以错误，故选A1把圆的半径缩小到原来的，那么圆的面积缩小到原来的ABCD2半径为5的圆的一条弦长不可能是A3B5C10D12考向二 垂径定理1垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立2垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据典例2 如图，已知O的半径为6 cm，两弦AB与CD垂直相交于点E，若CE=3 cm，DE=9 cm，则AB=AcmB3cmC5cmD6cm【答案】D【解析】如图，连接OA，
7、O的半径为6 cm，CE+DE=12 cm，CD是O的直径，CDAB，AE=BE，OE=3，OA=6，AE=，AB=2AE=，故选D典例3 如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为A2 cmB cmCD【答案】C【解析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长作ODAB于D，连接OA根据题意得OD=OA=1cm，再根据勾股定理得：AD=cm，根据垂径定理得AB=2cm故选C3如图，O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是A3B6C4D84如图，某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨
8、度弦AB的长为米，大棚顶点C离地面的高度为2.3米（1）求该圆弧形所在圆的半径；（2）若该菜农的身高为1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有几米？考向三 弧、弦、圆心角、圆周角1圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1的角，1的圆心角对着1的弧2圆周角要具备两个特征：顶点在圆上；角的两边都和圆相交，二者缺一不可典例4 如图，在O中O=50，则A的度数为A50B20C30D25【答案】D【解析】A=BOC=50=25故选D典例5如图，AB是O的直径，ACD内接于O，延长AB，CD相交于点E，若CAD=35，CDA=40，则E的度数是A20B
9、25C30D35【答案】B【解析】如图，连接BD，AB是O的直径，ADB=90，由三角形内角和定理得，ACD=180CADCDA=105，ABD=180ACD=75，BAD=90ABD=15，E=CDADAB=25，故选B5如图，AB为O的直径，点C在O上，若OCA=50，AB=4，则的长为ABCD6如图，AB是O的直径，COD=38，则AEO的度数是A52B57C66D78考向四 点、直线与圆的位置关系1点和圆的位置关系：在圆上；在圆内；在圆外2直线和圆的位置关系：相交、相切、相离典例6已知O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与O的位置关系是A点A在O上B点A在O内C点A在O外D点A
10、与圆心O重合【答案】C【解析】O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点A在O外故选C【点睛】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断典例7在ABC中，AB=AC=2，A=150，那么半径长为1的B和直线AC的位置关系是A相离B相切C相交D无法确定【答案】B【解析】过B作BDAC交CA的延长线于D，BAC=150，DAB=30，BD=1，即B到直线AC的距离等于B的半径，半径长为1的B和直线AC的位置关系是相切，故选B【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，过B作BDAC交CA的延长线于D，求出BD和B的半径比较即可，主要考查学生的推理能力7如图，O的半径
11、为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=38cm，则点A与O的位置关系是A在O内B在O上C在O外D以上都有可能8如图，O的半径OC=5cm，直线lOC，垂足为H，且l交O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移_cm时与O相切考向五 切线的性质与判定有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法典例8如图，O以AB为直径，PB切O于B，近接AP，交O于C，若PBC=50，ABC=A30B40C50D60【答案】B【解析】O以AB为直径，PB切O于B，PBA=90，PBC=50，ABC=40故选B典例9如图，RtABC中，C90，AB
12、5，AC3，点E在中线AD上，以E为圆心的E分别与AB、BC相切，则E的半径为ABCD1【答案】B【解析】作EHAC于H，EFBC于F，EGAB于G，连接EB，EC，设E的半径为r，如图，C=90，AB=5，AC=3，BC=4，而AD为中线，DC=2，以E为圆心的E分别与AB、BC相切，EG=EF=r，HC=r，AH=3r，EHBC，AEHADC，EHCD=AHAC，即EH=，SABE+SBCE+SACE=SABC，故选B9已知四边形ABCD是梯形，且ADBC，ADBC，又O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G，圆心O在BC上，则AB+CD与BC的大小关系是A大于B等于C小于D不能确定10
13、如图，以等腰ABC的腰AB为的直径交底边于，于 求证：（1）；（2）为的切线 1下列关于圆的叙述正确的有圆内接四边形的对角互补；相等的圆周角所对的弧相等；正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；同圆中的平行弦所夹的弧相等A1个B2个C3个D4个2如图，AB是O的直径，C是O上一点（A、B除外），AOD=136，则C的度数是A44B22C46D363如图，半径为5的A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是BAC，EAD，已知DE=6，BACEAD=180，则弦BC的长等于ABC8D64如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则圆心坐标是A点（1，0）B点（2，1）C点（2，0）D点(2
14、5，1)5如图，的直径，则的长为A2BC4D6如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为A32B34C36D387已知在O中，AB=BC，且，则AOC=_8如图，A、B、C、D都在O上，B=130，则AOC的度数是_9如图，PA、PB分别切O于A、B，并与圆O的切线DC分别相交于D、C已知PCD的周长等于14 cm，则PA=_cm10如图，在的内接四边形中，点在弧上若恰好为的内接正十边形的一边，的度数为_11如图，半圆O的直径是AB，弦AC与弦BD交于点E，且ODAC，若DEF=60，则tanABD=_12如图，AB为O的直径，C、F为O上两点，且点C为弧BF的中点
15、，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D（1）求证：DE是O的切线；（2）如果半径的长为3，tanD=，求AE的长13如图，在ABC中，C=90，点O在AC上，以OA为半径的O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE（1）判断直线DE与O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长14如图1，O是ABC的外接圆，AB是直径，D是O外一点且满足DCA=B，连接AD（1）求证：CD是O的切线；（2）若ADCD，CD=2，AD=4，求直径AB的长；（3）如图2，当DAB=45时，AD与O交于E点，试写出AC、EC、BC
16、之间的数量关系并证明 1（2019吉林）如图，在中，所对的圆周角，若为上一点，则的度数为A30B45C55D602（2019贵港）如图，是的直径，若，则圆周角的度数是ABCD3（2019广元）如图，AB，AC分别是O的直径和弦，于点D，连接BD，BC，且，则BD的长为AB4CD4.84（2019益阳）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是APA=PBBBPD=APDCABPDDAB平分PD5（2019福建）如图，PA、PB是O切线，A、B为切点，点C在O上，且ACB=55，则APB等于A55B70C110D1256（2
17、019重庆）如图，AB是O的直径，AC是O的切线，A为切点，若C=40，则B的度数为A60B50C40D307（2019甘肃）如图，AB是O的直径，点C、D是圆上两点，且AOC=126，则CDB=A54B64C27D378（2019仙桃）如图，AB为的直径，BC为的切线，弦ADOC，直线CD交的BA延长线于点E，连接BD下列结论：CD是的切线；其中正确结论的个数有A4个B3个C2个D1个9（2019娄底）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，则_10（2019安徽）如图，ABC内接于O，CAB=30，CBA=45，CDAB于点D，若O的半径为2，则CD的长为_11（2019福建）如图，四边形A
18、BCD内接于O，AB=AC，ACBD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF（1）求证：BAC=2CAD；（2）若AF=10，BC=，求tanBAD的值12（2019河南）如图，在ABC中，BA=BC，ABC=90，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G（1）求证：ADFBDG；（2）填空：若AB=4，且点E是的中点，则DF的长为_；取的中点H，当EAB的度数为_时，四边形OBEH为菱形变式训练1【答案】D【解析】设原来的圆的半径为r，则面积S1=r2，半径缩小到原来的后所得新圆的面积，故选D
19、2【答案】D【解析】圆的半径为5，圆的直径为10，又直径是圆中最长的弦，圆中任意一条弦的长度，故选D3【答案】B【解析】如图，连接OA，的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，由垂径定理知，点M是AB的中点，由勾股定理可得，所以故选B4【解析】（1）如图所示：COAB于点D，设圆弧形所在圆的半径为xm，根据题意可得：DO2+BD2=BO2，则（x23）2+（）2=x2，解得x=3答：圆弧形所在圆的半径为3米；（2）如图所示：当MN=1.7米，则过点N作NFCO于点F，可得：DF=1.7米，则FO=2.4米，NO=3米，故FN=1.8（米），故该菜农身高1.70米，则他在不弯腰的情况下，
20、横向活动的范围有36米5【答案】B【解析】根据题意可知：OAC=OCA=50，则BOC=2OAC=100，则弧BC的长度为：，故选B6【答案】B【解析】，BOC=DOE=COD=38，BOE=BOC+DOE+COD=114，AOE=180BOE=66，OA=OE，AEO=（180AOE）2=57，故选B7【答案】A【解析】如图，连接OA，则在直角OMA中，根据勾股定理得到OA=点A与O的位置关系是：点A在O内故选A8【答案】2【解析】连接OA直线和圆相切时，OH=5，又在直角三角形OHA中，HA=AB2=4，OA=5，OH=3需要平移53=2（cm）故答案为：2【点睛】本题考查垂径定理及直线和
21、圆的位置关系注意：直线和圆相切，应满足d=R9【答案】B【解析】如图，连接OF，OA，OE，作AHBC于HAD是切线，OFAD，易证四边形AHOF是矩形，AH=OF=OE，SAOB=OBAH=ABOE，OB=AB，同理可证：CD=CO，AB+CD=BC，故选B【点睛】本题考查了切线的性质，切线垂直于过切点的半径，正确作出辅助线是关键 10【解析】（1）如图，连，是直径，又，为中点，；（2）连，为中点，为中位线，又于，为的切线考点冲关1【答案】B【解析】圆内接四边形的对角互补；正确；相等的圆周角所对的弧相等；错误；正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；错误；同圆中的平行弦所夹的弧相等；正确；
22、正确的有2个，故选B2【答案】B【解析】AOD=136，BOD=44，C=22，故选B3【答案】C【解析】如图，延长CA，交A于点F，BAC+BAF=180，BAC+EAD=180，BAF=DAE，BF=DE=6，CF是直径，ABF=90，CF=25=10，BC=故选C 4【答案】C【解析】根据勾股定理可知A、B、C点到（2，0）的距离均为，然后可知圆心为（2，0）或者通过AB、BC的垂直平分线求解也可以故选C5【答案】C【解析】如图，作直径DE，连接CE，则DCE=90，DBC=30，DEC=DBC=30，DE=AB=8，=4，故选C6【答案】B【解析】由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等
23、，所以四边形的周长=2（7+10）=34故选B 7【答案】144【解析】根据AB=BC可得：弧AB的度数和弧BC的度数相等，则弧AMC的度数为：(36010)4=144，则AOC=1448【答案】100【解析】B=130，D=180130=50，AOC=2D=100故答案为1009【答案】7【解析】如图，设DC与O的切点为E；PA、PB分别是O的切线，且切点为A、B，PA=PB；同理，可得：DE=DA，CE=CB；则PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=14（cm）；PA=PB=7cm，故答案是：710【答案】【解析】如图，连接，四边形是圆的内接四边形，是正
24、三角形，恰好是的内接正十边形的一边，的度数为84故答案为：8411【答案】【解析】ODAC，DEF=60，D=30，OD=OB，ABD=D=30，tanABD=，故答案为：12【解析】（1）连接OC，如图点C为弧BF的中点，弧BC=弧CF，BAC=FACOA=OC，OCA=OAC，OCA=FAC，OCAEAEDE，OCDE，DE是O的切线；（2）在RtOCD中，tanD=，OC=3，CD=4，OD=5，AD=OD+AO=8在RtADE中，sinD=，AE=13【解析】（1）直线DE与O相切，理由如下：如图，连接OD，OD=OA，A=ODA，EF是BD的垂直平分线，EB=ED，B=EDB，C=9
25、0，A+B=90，ODA+EDB=90，ODE=18090=90，直线DE与O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8x，C=ODE=90，OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，42+（8x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.7514【解析】（1）如图1，连接OCOB=OC，OCB=B，DCA=B，DCA=OCB，AB是直径，ACB=90，DCA+ACO=OCB+ACO=90，即DCO=90，CD是O的切线（2）ADCD，CD=2，AD=4，由（1）可知DCA=B，D=ACB=90，ADCACB，即，AB=5（3），如图2，连接BE，在AC上截取AF=BC，
26、连接EFAB是直径，DAB=45，AEB=90，AEB是等腰直角三角形，AE=BE，又EAC=EBC，ECBEFA，EF=EC，ACE=ABE=45，FEC是等腰直角三角形，直通中考1【答案】B【解析】ACB=50，AOB=2ACB=100，AOP=55，POB=45，故选B2【答案】B【解析】，故选B3【答案】C【解析】AB为直径，在中，故选C4【答案】D【解析】PA，PB是O的切线，PA=PB，所以A成立；BPD=APD，所以B成立；ABPD，所以C成立；PA，PB是O的切线，ABPD，且AC=BC，只有当ADPB，BDPA时，AB平分PD，所以D不一定成立，故选D5【答案】B【解析】如图
27、，连接OA，OB，PA，PB是O的切线，PAOA，PBOB，ACB=55，AOB=110，APB=360-90-90-110=70故选B6【答案】B【解析】AC是O的切线，ABAC，且C=40，ABC=50，故选B7【答案】C【解析】AOC=126，BOC=180-AOC=54，CDB=BOC=27故选C8【答案】A【解析】如图，连接为的直径，为的切线，又，在和中，又点在上，是的切线，故正确，垂直平分，即，故正确；为的直径，为的切线，故正确；，故正确，故选A9【答案】1【解析】AB为直径，故答案为：110【答案】【解析】如图，连接CO并延长交O于E，连接BE，则E=A=30，EBC=90，O的
28、半径为2，CE=4，BC=CE=2，CDAB，CBA=45，CD=BC=，故答案为：11【解析】（1）AB=AC，ABC=ACB，ABC=ADB，ABC=（180-BAC）=90-BAC，BDAC，ADB=90-CAD，BAC=CAD，BAC=2CAD（2）DF=DC，DFC=DCF，BDC=2DFC，BFC=BDC=BAC=FBC，CB=CF，又BDAC，AC是线段BF的中垂线，AB=AF=10，AC=10又BC=，设AE=x，CE=10-x，由AB2-AE2=BC2-CE2，得100-x2=80-（10-x）2，解得x=6，AE=6，BE=8，CE=4，DE=3，BD=BE+DE=3+8=
29、11，如图，作DHAB，垂足为H，ABDH=BDAE，DH=，BH=，AH=AB-BH=10-，tanBAD=12【解析】（1）BA=BC，ABC=90，BAC=45，AB是O的直径，ADB=AEB=90，DAF+BGD=DBG+BGD=90，DAF=DBG，ABD+BAC=90，ABD=BAC=45，AD=BD，ADFBDG（2）如图2，过F作FHAB于H，点E是的中点，BAE=DAE，FDAD，FHAB，FH=FD，=sinABD=sin45=，即BF=FD，AB=4，BD=4cos45=2，即BF+FD=2，（ +1）FD=2，FD=4-2，故答案为：4-2连接OH，EH，点H是的中点，OHAE，AEB=90，BEAE，BEOH，四边形OBEH为菱形，BE=OH=OB=AB，sinEAB=，EAB=30故答案为：30
