1、高考解答题专项四立体几何中的综合问题第1课时利用空间向量证明平行、垂直与利用空间向量求距离1.如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=AB,B1C1BC,AA1平面BAC.求证:(1)A1B1平面AA1C;(2)AB1平面A1C1C.2.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为A1B1,B1C1,C1D1的中点.(1)求证:AG平面BEF;(2)试在棱BB1上找一点M,使DM平面BEF,并证明你的结论.3.(2021重庆八中月考)如图1,C,D是以AB为直径的圆上两点,且AB=2AD,AC=BC,将A
2、BC所在的半圆沿直径AB折起,使得点C在平面ABD上的正投影E在线段BD上,如图2.(1)求证:BC平面ACD;(2)已知O为AB中点,在线段CE上是否存在点F,使得OF平面ACD?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.4.如图,BCD与MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD平面BCD,AB平面BCD,AB=2,求点A到平面MBC的距离.5.(2021山东烟台二中三模)在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,AA1=2AB=2.求BC到平面ADC1B1的距离.6.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,AC=4,BD=2,且侧棱AA1=3.其中O1为A
3、1C1与B1D1的交点.(1)求点B1到平面D1AC的距离;(2)在线段BO1上,是否存在一个点P,使得直线AP与CD1垂直?若存在,求出线段BP的长;若不存在,请说明理由.高考解答题专项四立体几何中的综合问题第1课时利用空间向量证明平行、垂直与利用空间向量求距离1.证明AA1平面BAC,AA1AB,AA1AC.又AB=AC,BC=AB,CAB=90,即CAAB,AB,AC,AA1两两互相垂直.建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设AB=2,则A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).(1)=(0,2,0),由图知,平面AA1C的一个法向
4、量为n=(0,1,0).=2n,即n.A1B1平面AA1C.(2)易知=(0,2,2),=(1,1,0),=(2,0,-2),设平面A1C1C的一个法向量m=(x1,y1,z1),则令x1=1,则y1=-1,z1=1,即m=(1,-1,1).m=01+2(-1)+21=0,m.又AB1平面A1C1C,AB1平面A1C1C.2.(1)证明以D为坐标原点,DA,DC,DD1分别作为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),E1,1,F,G,而,故共面.AG不在平面BEF内,AG平面BEF.(2)解设M(1,1,m),则=(1,1,m),DM平面BEF,=0,=0,-
5、+m=0,解得m=,故当M为棱BB1的中点时,DM平面BEF.3.(1)证明因为CE平面ABD,AD平面ABD,所以ADCE.因为ADDB,CEDB=E,所以AD平面BCD.因为BC平面BCD,所以ADBC.又BCAC,ACAD=A,所以BC平面ADC.(2)解不存在.以O为坐标原点,垂直于AB的方向为x轴正方向,OB为y轴正方向,垂直于平面ADB的方向为z轴正方向.不妨设圆的半径为,E为点C在平面ABD上的正投影,所以E在x轴正方向上.由AB=2AD,知ABD=30,则BE=2,OE=1,BC=,CE=,所以E(1,0,0),B(0,0),C(1,0,).设F(1,0,t),t0,).由(1
6、)知即为平面ACD的法向量,=(1,-),=(1,0,t),若OF平面CAD,则=0,即1+t=0,t=-,所以线段CE上不存在点F,使得OF平面CAD.4.解如图,取CD的中点O,连接OB,OM,因为BCD与MCD均为正三角形,所以OBCD,OMCD.又平面MCD平面BCD,平面MCD平面BCD=CD,OM平面MCD,所以MO平面BCD,所以OMOB.以O为坐标原点,直线OC,BO,OM分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz.因为BCD与MCD都是边长为2的正三角形,所以OB=OM=,则O(0,0,0),C(1,0,0),M(0,0,),B(0,-,0),A(0,-,2),所以=
7、(1,0),=(0,).设平面MBC的法向量n=(x,y,z),由即取x=,可得平面MBC的一个法向量为n=(,-1,1).又=(0,0,2),所以所求距离为d=.5.解连接AE,因为六边形ABCDEF为正六边形,则AFE=DEF=120,因为AF=EF,则AEF=30,故AED=90,因为EE1底面ABCDEF,不妨以点E为坐标原点,EA,ED,EE1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.则A(,0,0),B(,1,0),D(0,1,0),B1(,1,2),在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,BB1CC1且BB1=CC1,所以四边形BB1C1C为平行四边
8、形,则BCB1C1.因为BC平面ADC1B1,B1C1平面ADC1B1,所以BC平面ADC1B1,所以BC到平面ADC1B1的距离等于点B到平面ADC1B1的距离.设平面ADC1B1的法向量为m=(x1,y1,z1),=(-,1,0),=(0,1,2),由取y1=2,则m=(2,2,-),=(0,1,0),所以直线BC到平面ADC1B1的距离为d=.6.解(1)由于菱形的对角线互相垂直平分,故以AC与BD的交点O为原点,以射线OA,OB,OO1分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.则A(2,0,0),B(0,1,0),C(-2,0,0),O1(0,0,3),B1(0,1,3),D1(0,-1,3),设平面D1AC的法向量为n=(x,y,z),由=(-4,0,0),=(-2,-1,3),得令z=1,则n=(0,3,1).因为=(0,2,0),故点B1到平面D1AC的距离为d=.(2)设=,01,则由=(-2,1,0),=(0,-1,3),=(0,-,3),得=(-2,1-,3).又=(2,-1,3),故当时,=(-2,1-,3)(2,-1,3)=10-5=0,解得=.故在线段BO1上存在点P,使得APCD1,此时BP=BO1=.
