1、课时跟踪检测(五十四)定点、定值、探索性问题一保高考，全练题型做到高考达标1(2016百校联盟模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OAOB.求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值解：(1)由题意知，e，2，又a2b2c2，所以a2，c，b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x，此时，原点O到直线AB的距离为.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得(14k2)x28kmx4m240.则
2、(8km)24(14k2)(4m24)16(14k2m2)0，x1x2，x1x2，则y1y2(kx1m)(kx2m)，由OAOB得kOAkOB1，即1，所以x1x2y1y20，即m2(1k2)，所以原点O到直线AB的距离为.综上，原点O到直线AB的距离为定值.2(2015大庆模拟)椭圆的两焦点坐标分别为F1(，0)，F2(，0)，且椭圆过点P.(1)求椭圆方程(2)若A为椭圆的左顶点，作AMAN与椭圆交于两点M，N，试问：直线MN是否恒过x轴上的一个定点？若是，求出该点坐标；若不是，请说明理由解：(1)设椭圆的方程为1(ab0)，由题意得c，且椭圆过点P，解得椭圆方程为y21.(2)由已知直线
3、MN与y轴不垂直，假设其过定点T(a,0)设其方程为xmya.由得(m24)y22amya240.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2，y1y2.x1x2my1amy2am(y1y2)2a，x1x2(my1a)(my2a)m2y1y2am(y1y2)a2.AMAN，0，即(x12，y1)(x22，y2)0，x1x22(x1x2)4y1y20.(m21)y1y2m(a2)(y1y2)(a2)20，即(a2)20.若a2，则T与A重合，不合题意，a20，整理得a.综上，直线MN过定点T.3(2016大庆模拟)已知抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点(1)若2，求直
4、线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值解：(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为xmy1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y24m，y1y24.因为2，所以y12y2. 联立和，消去y1，y2，得m.所以直线AB的斜率是2.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2SAOB.因为2SAOB2|OF|y1y2|4，所以当m0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.4(201
5、5北京高考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点P(0,1)和点A(m，n)(m0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得OQMONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由解：(1)由题意得解得a22.故椭圆C的方程为y21.设M(xM,0)因为m0，所以1n1，直线PA的方程为y1x.所以xM，即M.(2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m，n)设N(xN,0)，则xN.“存在点Q(0，yQ)使得OQMONQ”等价于“存在点Q(0，yQ)使
6、得”，即yQ满足y|xM|xN|.因为xM，xN，n21，所以y|xM|xN|2.所以yQ或yQ.故在y轴上存在点Q，使得OQMONQ，且点Q的坐标为(0，)或(0，)二上台阶，自主选做志在冲刺名校如图，过x轴上动点A(a,0)引抛物线yx21的两条切线AP，AQ.切线斜率分别为k1和k2，切点分别为P，Q.(1)求证：k1k2为定值，并且直线PQ过定点；(2)记S为面积，当最小时，求的值解：(1)证明：法一：设过A点的直线为yk(xa)，与抛物线联立得整理得x2kxka10，k24ak40，所以k1k24a，k1k24为定值抛物线方程yx21，求导得y2x，设切点P，Q的坐标分别为(xP，y
7、P)，(xQ，yQ)，k12xP，k22xQ，所以xPxQ2a，xPxQ1.直线PQ的方程：yyP(xxP)，由yPx1，yQx1，得到y(xPxQ)xxPxQ1，整理可得y2xa2，所以直线PQ过定点(0,2)法二：设切点P，Q的坐标分别为(xP，yP)，(xQ，yQ)对抛物线方程求导得y2x，所以lAP：y2xP(xa)，又(xP，yP)在直线上，即yP2xP(xPa)，由P(xP，yP)在抛物线上得yPx1，整理可得yP2xPa2，同理yQ2xQa2，所以lQP：y2xa2，所以直线PQ过定点(0,2)联立PQ的直线方程lQP：y2xa2和抛物线方程yx21，可得x22xa10，所以xPxQ1，xPxQ2a，所以k1k22xP2xQ4为定值(2)设A到PQ的距离为d.SAPQ|PQ|，所以，设t1，所以，当且仅当t时取等号，即a.因为(xPa，yP)(xQa，yQ)xPxQa(xPxQ)a2yPyQ，yPyQ(2xPa2)(2xQa2)4a2xPxQ44a(xPxQ)4a24，所以3a23.
