1、课时规范练45直线与圆锥曲线的位置关系基础巩固组1.(2021河南安阳一中月考)已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p0),则()A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点2.直线l过点(2,1),且与双曲线-y2=1有且只有一个公共点,则这样的不同直线的条数为()A.1B.2C.3D.43.椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2),则以点P为中点的弦所在直线的斜率为()A.-B.-C.-D.-4.已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,点M(2,1)在椭圆C上,直线l平行于OM且在y轴上的截距为m,直线l
2、与椭圆C交于A,B两点.下面结论错误的是()A.椭圆C的方程为=1B.kOM=C.-2m0)的焦点为F,点B在抛物线上,点A(-2,2),且+2(点O为坐标原点).(1)求抛物线C的标准方程;(2)若过点M(2,0)的直线l与抛物线C交于D,E两点,线段DE的中点为N,且|DM|=|EN|,求直线l的方程.综合提升组9.(2021湖南益阳箴言中学模拟)已知双曲线C:x2-y2=1,点O为坐标原点,F为双曲线C的右焦点,过点F的直线与双曲线C的两条渐近线的交点分别为P,Q.若=2,且点Q在P,F两点之间,则|PQ|=()A.B.C.D.10.过原点的直线l与双曲线=1相交于不同的两点,则直线l的
3、斜率k的取值范围是.11.已知抛物线C:y2=2px(p0)的准线与x轴交于点A,点M(2,p)在抛物线C上.(1)求C的方程;(2)过点M作直线l交抛物线C于另一点N.若AMN的面积为,求直线l的方程.12.(2021新高考)已知椭圆C的方程为=1(ab0),右焦点为F(,0),且离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)设M,N是椭圆C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x0)相切.证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=.创新应用组13.已知B1,B2是椭圆=1(ab0)的下、上顶点,P是椭圆上不同于短轴端点的任意一点,点Q与点P关于y轴对称,则下列四个结论正确的是()A.直线P
4、B1与PB2的斜率之积为定值-B.0,解得-2m0,解得|FC|=2,所以动点P的轨迹E是以F,C为焦点的椭圆.设其方程为=1(ab0),则2a=4,2c=2,所以a=2,c=1,b=,所以动点P的轨迹E的方程为=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).联立得19x2+16mx+4m2-12=0,所以=256m2-76(4m2-12)0,所以m(-).x1+x2=-,x1x2=.因为|MN|=,所以m=1.8.解(1)设B(x0,y0).因为F,A(-2,2),所以.因为+2,所以解得因为点B在抛物线上,所以(-4)2=2p4,解得p=2,所以抛物线C的标准方程为x2=4y.(2)由题
5、可知,直线l斜率存在,且点E在点D的上方.设直线l的方程为y=k(x-2)(k0),联立得x2-4kx+8k=0,所以=(-4k)2-48k0,解得k2或k0,解得-k0),当直线MN的斜率不存在时,直线MN:x=1,不合题意.当直线MN的斜率存在时,设M(x1,y1),N(x2,y2).必要性:若M,N,F三点共线,可设直线MN:y=k(x-),即kx-y-k=0.由直线MN与曲线x2+y2=1(x0)相切得=1,解得k=1.联立得4x2-6x+3=0,所以x1+x2=,x1x2=,所以|MN|=,所以必要性成立;充分性:设直线MN:y=kx+b(kb0)相切得=1,所以b2=k2+1.联立
6、得(1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0.由题可知1+3k20,0,所以x1+x2=-,x1x2=,所以|MN|=,所以(k2-1)2=0,所以k=1,所以所以直线MN:y=x-或y=-x+,所以直线MN过点F(,0),M,N,F三点共线,充分性成立.综上所述,M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=.13.C解析:设P(x0,y0),=1,则=-,故A错误;点P在圆x2+y2=b2外,-b20.又=(-x0,-b-y0),=(-x0,b-y0),-b20,故B错误;当点P在长轴上的顶点A时,B1PB2最小且为锐角.设PB1B2的外接圆半径为r,由正弦定理可得2r=,r,PB1B2的外接圆半径的最大值为,故C正确;直线PB1的方程为y+b=x,直线QB2的方程为y-b=x,两式相乘,得y2-b2=x2,即=1.由于点P不与点B1,B2重合,点M的轨迹为双曲线的一部分,故D错误.故选C.
