1、2-3函数的奇偶性与周期性1.(2012洛阳示范高中联考)下列函数中，既是偶函数又在(0，)单调递增的函数是()Ayx3By|x|1Cyx21 Dy2|x|答案B解析yx3是奇函数，yx21与y2|x|在(0，)上为减函数，故选B.2(文)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)2x3，则f(2)的值等于()A1 B.C1 D答案A解析f(2)2231，又f(x)是奇函数，f(2)f(2)1，故选A.(理)(2011浙江杭州月考)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2xm(m为常数)，则f(1)的值为()A3 B1C1 D 3答案A解析函数f(x)是定义在R
2、上的奇函数，f(0)0，即f(0)20m0，解得m1.当x0时，f(x)2x2x1，f(1)212113，f(1)f(1)3.3(文)函数f(x)(xR)是周期为3的奇函数，且f(1)a，则f(2014)的值为()Aa BaC0 D2a答案B解析f(x)周期为3，f(2014)f(67131)f(1)，f(x)为奇函数，f(1)a，f(1)a，故选B.(理)(2012河南商丘模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f()的值为()A B0C. DT答案B解析f()f()，且f()f(T)f()，f()0，f()0.4(文)(2011北京东城一模)已知函数f(x)是定义在R
3、上的偶函数，且当x0时，f(x)ln(x1)，则函数f(x)的图象大致为()答案C解析函数f(x)ln(x1)的图象由f(x)lnx的图象向左平移1个单位得到，选取x0的部分，然后作关于y轴的对称图形即得(理)(2011北京西城模拟)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是()Ayx21 By|x|1Cy Dy答案C解析f(x)为偶函数，由图象知，f(x)在(2,0)上为减函数，而yx31在(，0)上为增函数5已知定义在R上的函数f(x)满足f(0)2，且对任意的x都有f(x3)，则f(2013)的值为()A2 B2C2 D3答案A解
4、析由题意得f(x6)f(x33)f(x)函数f(x)的周期为6.f(2013)f(33563)f(3)，而f(3)f(03)2.6(文)(2011合肥模拟)设f(x)是偶函数，且当x0时是单调函数，则满足f(2x)f()的所有x之和为()A BC8 D8答案C解析f(x)是偶函数，f(2x)f()，f(|2x|)f(|)又f(x)在(0，)上为单调函数，|2x|，即2x或2x，整理得2x27x10或2x29x10，设方程2x27x10的两根为x1，x2，方程2x29x10的两根为x3，x4.则(x1x2)(x3x4)()8.(理)已知f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，设a
5、f(log47)，bf(log3)，cf(0.20.6)，则a、b、c的大小关系是()Acba BbcaCbac Dab1，|log3|log23log2， 00.20.6|log47|0.20.6|.又f(x)在(，0上是增函数，且f(x)为偶函数，f(x)在0，)上是减函数bac.故选C.7(文)若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x2对称，且当x(2,2)时，f(x)x21.则f(5)_.答案0解析由题意知f(5)f(5)f(23)f(23)f(1)(1)210.(理)(2011湖南文)已知f(x)为奇函数，g(x)f(x)9，g(2)3，则f(2)_.答案6解析由g(x)f(
6、x)9知g(2)f(2)93，f(2)6，而由于f(x)是奇函数，所以f(2)f(2)(6)6.8(文)若f(x)lg(aR)是奇函数，则a_.答案1解析f(x)lg是奇函数，f(x)f(x)0恒成立，即lglglg0.1，(a24a3)x2(a21)0，上式对定义内的任意x都成立，a1.点评可以先将真数通分，再利用f(x)f(x)恒成立求解，运算过程稍简单些如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单f(x)lg为奇函数，显然x1不在f(x)的定义域内，故x1也不在f(x)的定义域内，令x1，得a1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力(理)设函数f(x)sin(x)
7、(0)若f(x)f (x)是奇函数，则_.答案解析f (x)cos(x)f(x)f (x)sin(x)cos(x)2sin.f(x)f (x)是奇函数k(kZ)，即k(kZ)又0，k1时，.9定义在R上的偶函数f(x)在0，)上单调递减，且 f()0，则满足f(log x)0的集合为_答案(0，)(2，)解析由题意知f(x)或x，由f(logx)或logx，0x2.10(文)已知函数f(x)1(a0且a1)是定义在(，)上的奇函数(1)求a的值；(2)求函数f(x)的值域；(3)当x (0,1时，tf(x)2x2恒成立，求实数t的取值范围解析(1)f(x)是定义在(，)上的奇函数，即f(x)f
8、(x)恒成立，f(0)0.即10，解得a2.(2)y，2x，由2x0知0，1yx2，f(x1)f(x2)ax1ax2a(x1x2)(x1x2)(a)x1x20，f(x)在3，)上为增函数，a，即a在3，)上恒成立0的x的取值范围是()A(1,0) B(1,0)(1，)C(1，) D(，1)(1，)答案B解析函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x(0，)时，f(x)lgx，当x(，0)时，f(x)lg(x)，且f(0)0，f(x)0或解得x1或1x0.13(文)(2011山东淄博一模)设奇函数f(x)的定义域为R，最小正周期T3，若f(1)1，f(2)，则a的取值范围是()Aa1或a Ba1C1
9、a Da答案C解析函数f(x)为奇函数，则f(1)f(1)由f(1)f(1)1得，f(1)1；函数的最小正周期T3，则f(1)f(2)，由1解得，1a.(理)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)答案D解析f(x4)f(x)，f(x8)f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，f(x)周期为8.f(80)f(0)，又f(x)为奇函数，f(25)f(241)f(1)，f(11)f(3)f(34)f(1)，由条件知f(x)在2
10、,2上为增函数，f(1)f(0) f(1)，f(25)f(80)0且a1)是奇函数(1)求m的值；(2)判断f(x)在区间(1，)上的单调性并加以证明；(3)当a1，x(1，)时，f(x)的值域是(1，)，求a的值解析(1)f(x)是奇函数，x1不在f(x)的定义域内，x1也不在函数定义域内，令1m(1)0得m1.(也可以由f(x)f(x)恒成立求m)(2)由(1)得f(x)loga(a0且a1)，任取x1，x2(1，)，且x11，x21，x10，x210，x2x10.t(x1)t(x2)，即，当a1时，logaloga，即f(x1)f(x2)；当0a1时，logaloga，即f(x1)1时，
11、f(x)在(1，)上是减函数，当0a1，f(x)在(1，)上是减函数，当x(1，)时，f(x)f()loga(2)，由条件知，loga(2)1，a2.1已知g(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，)内有1005个零点，则f(x)的零点共有()A1005个 B1006个C2009个 D2011个答案D解析奇函数的图象关于原点对称，g(x)在(0，)上与x轴有1005个交点，故在(，0)上也有1005个交点，又f(0)0，共有零点2011个2下列函数中既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是()Af(x)sinx Bf(x)|x1|Cf(x)(axax) Df(x)ln答案D解析ysinx与yln
12、为奇函数，而y(axax)为偶函数，y|x1|是非奇非偶函数ysinx在1,1上为增函数故选D.3(2012浙江湖州第二次质检)已知图甲是函数yf(x)的图象，则图乙中的图象对应的函数可能是()Ayf(|x|) By|f(x)|Cyf(|x|) Dyf(|x|)答案D解析由图乙可知，该函数为偶函数，且x0时，其函数图象与f(x)的函数图象相同，即该函数图象的解析式为y即yf(|x|)，故应选D.4定义两种运算：ab，ab|ab|，则函数f(x)()A是偶函数B是奇函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数答案B解析f(x)，x24，2x2，又x0，x2,0)(0,2则f(x)，f(x)f(x)0，故选B.5已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)f(x1)，若g(1)2，则f(2012)的值为()A2 B0C2 D2答案A解析由已知：g(x)f(x1)，又g(x)、f(x)分别为R上的奇、偶函数，g(x)f(x1)，f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，f(x)f(x4)，即f(x)的周期T4，f(2012)f(0)g(1)2，故选A.
