1、函数的概念教学设计辽宁省大连市第一中学 张伟教学内容分析函数的概念是数学中最重要的概念之一，其本质是从一个非空数集到另一个非空数集的特殊对应，它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质，是描述客观世界中变量间依赖关系的数学模型。本节课在高中数学中有着承上启下的作用，从初中运动观下的函数定义出发，过渡到使用集合语言描述了更为确切的函数定义，本节课渗透的函数思想将被应用到数学的各个分支领域。本课的教学重点是：理解函数的概念，教学难点是：函数概念及对符号y=f（x）的理解。教学目标设置知识与能力：理解函数的集合观定义，并会使用符号表示；理解函数符号fx与y；会求一些简单函数的定义域，理解对应
2、法则；使学生提高抽象概括、分析总结、数学表达等基本数学能力。过程与方法：创设情境，使学生经历从具体函数实例和运动观定义去解析函数的基础上，理解函数的集合观定义，进而理解法则f，培养学生类比与联想的学习能力。情感、态度和价值观：学生亲身经历了由特殊到一般的研究过程，培养了学生质疑、探究的科学精神，也培养学生唯物主义观点。学生学情分析教学对象：市重点高中学生。学生对函数概念并不陌生，初中的函数概念教会学生认识变量间的依存关系，并且掌握了一次函数、二次函数和反比例函数的基本性质，已经基本具备建模的能力。学生思维普遍活跃，善于表达，善于发现问题，乐于和教师交流分享他们的解题心得。但高一学生的抽象概括能
3、力较弱，由实例到抽象的数学语言，需要教师的引领。教学策略分析在短短的45分钟要让学生经历函数定义发展史上100年的探究历程，学生不可能独立完成，这需要教师用材料铺好一条路，要了解学情并对学生的疑问做好预设，难度大的地方搭好梯子，本节课以“学生为主体，教师引导”教学原则来设计，着重解决了学生的几个疑问。1、怎么从初中概念出发得到高中函数概念？学生的抽象概括能力还很薄弱，这使得用集合语言刻画函数概念很有难度，如果直接归纳定义学生会失去刚刚燃起的探究欲望，所以我选择从生活中的三个实例入手，用问题串引领学生完成实例的分析，在分析过程中，重点让学生体会每个例子的“变化过程”就是对应法则，初中定义的”某一
4、区间”用集合语言描述就是定义域A，自然过渡到集合语言描述函数概念。师生共同研究得到函数定义；锻炼了学生的语言表达及思辨能力，让学生感受建立函数模型的过程和方法。2、对应法则是指什么？学生会觉得对应法则这个词很陌生，理解不好对应法则就无法真正理解函数的概念。我从三个实例中逐一的让学生体会初中定义中的 “变化过程”，第一个例子股票的函数关系变化过程是通过图像来展现的，第二个例子国民生产总值的函数关系是通过表格来展现的，第三个例子函数关系是通过解析式来表达的，变化过程通过不同的方式呈现，我们把这些呈现方式理解为函数的对应法则。3、为什么要引入抽象符号fx? 先让学生回忆初中如何设出二次函数？y=ax
5、2+bx+c（a0，a，b，c为常数）提问什么要标明a，b，c为常数？是为了突显自变量是x!现在二次函数可以设为：f(x)=ax2+bx+c（a0）清楚明了的表达了谁是自变量！初中求当x=2时y的值？ 现在可以表示为f(2),简洁清晰。以上两点需要教师引导，学生才能体会的到，学生这时会从内心对f(x)不抵制，不惧怕，明白了它其实就是一种符号语言的表达。4、如何更深入的理解对应法则f呢？这是本节课的难点。通过学生熟悉的一次函数、二次函数入手，在求解f2 fa和 f(a-1)的过程中和学生一起发现各自的对应法则是什么；再通过例2的三个小题，让学生体会变量表达形式不同但对应法则相同，求函数解析式的过
6、程就是确定对应法则的过程，进而突破难点。教学过程分析教学流程： 实例建模、形成概念 讨论研究、深化概念 例题教学、应用概念 知识回顾、总结方法 精炼作业、巩固延伸实例建模、形成概念实例一 下图的兰色曲线记录的是某天自上午9：30至下午3：00上海证券交易所的股票指数的情况,股票指数是时间的函数吗？实例二 下表列出了我国从1988年到2002年，每年的国内生产总值，国内生产总值是年份的函数吗？年份生产总值/亿元1998783451999820672000894422001959332002102398实例三 一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标炮弹的射高为845m，且炮弹距地面高度h（单位
7、：m）随时间t（单位：s）变化的规律是h130t5t2炮弹距地面高度h是时间t的函数吗？为什么？【师生活动】每个例子都请同学来判断是否是函数关系,学生的判断过程也是体会运用初中定义的过程；接着追问“某一范围”可以用什么来更为准确的描述；“变化过程”是通过什么来展现的。让学生体会怎么样用集合语言来描述函数关系。【设计意图】学生对初中的函数定义理解掌握情况将决定这节课的学习起点，和本节课建构知识的基础。这三个实例既巩固了学生对初中定义的理解，也拉齐了学生的起点，为下一步用集合语言和对应来定义函数做好了准备。从中学生还体会了用集合A来描述比“某一范围内”更为准确；变化过程通过不同的载体来展现：有图像
8、、表格和解析式，这也是函数的几种表示方法，为下一小节埋好了伏笔。概念的形成的阶段从实际问题引出概念，激发学生的兴趣，给学生思考、探索的空间，让学生体验数学知识的发现、发展的过程。知识不再是生硬的，变成了学生的亲身体验，学生主动去探究新知，更好的提升学生的数学素养，提高分析问题的能力。在师生、生生的互动交流中形成共识，得到集合观的函数概念：设集合A是一个非空数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作：y=f（x），xA 讨论研究、深化概念讨论点1：找出定义中的关键词，明确高中和初中函数概念的区别和联系。请同学找到概念中的关键词
9、帮助自己理解吧！学习了初中高中的函数定义，你能谈谈它们的区别和联系吗？对应法则本质是相同的，初中是在运动观下的定义，高中是在集合观下的定义，用集合这种符号语言来表述概念更加清晰明了，高中还引入了一个抽象符号来表示函数关系。下列图中能表示函数关系的是？学生辨析函数关系的过程就是理解定义的过程。接着给出函数的定义域值域概念：其中x叫自变量，自变量的取值范围（数集A）叫做这个函数的定义域。如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y=f（a）或y|x=a.所有函数值构成的集合y|y=fx，xA叫做这个函数的值域。讨论点2：确定函数的要素有哪些？函数定义中提到了两个集合：定义域
10、和值域，还有对应法则，能确定两个函数是同一函数的要素有哪些呢？学生回答：定义域和对应法则，追问学生为什么引发学生思考。例1 求下列函数的定义域：1y=x+1;2y=1x+2;3y=x0.讨论点3：理解fx与y先让学生回忆初中如何设出二次函数？y=ax2+bx+c（a0，a，b，c为常数）提问什么要标明a，b，c为常数？是为了突显自变量是x!现在二次函数可以设为：f(x)=ax2+bx+c（a0）清楚明了的表达了谁是自变量！初中求当x=2时y的值？ 现在可以表示为f(2),简洁清晰。讨论点4：理解法则f第一步：从一次函数y=x+1入手，求f2 fa和 f(a-1)的过程中和学生一起发现各自的对应
11、法则是什么？让学生口答一个二次函数的法则，接下来给出例2，深刻理解对应法则。例题教学、应用概念例21已知函数fx=x2，求fx-1. (2)已知函数fx-1=x2-2x+1，求fx.(3)已知函数fx-1=x2，求fx.【设计意图】以学生熟悉的一次函数、二次函数为例，这样贴近学生的最近发展区，能够帮助学生深入浅出的理解对应法则；再通过例2的三个小题，让学生体会变量表达形式不同但对应法则相同，求函数解析式的过程就是确定对应法则的过程，进而突破难点。通过习题促进知识向技能的转化，本题中体现了函数中凑项的重要思想，为日后求解函数解析式做好了铺垫。问题的产生不是教师刻意提出，而应该是教师通过使用恰当的
12、材料，陪学生一起探究新知的过程中自然的产生疑惑，从而激发学生的学习欲望，随着一个个疑惑的解开，完成教学难点的突破。知识回顾、总结方法今天，我们在初中函数定义的基础上，运用集合与对应的语言重新刻画了函数，回顾一下本节课我们共同学习了哪些知识？通过比较两个函数的定义，同学们有什么新的收获？在练习中你积累了哪些解题经验？引导学生思考回答，老师作适当补充精炼作业、巩固延伸1.判断下列各式中y是不是x的函数？ 1y2=x ; （2）y=x-2+2-x; （3）y=x-2+1-x.2.求下列函数的定义域： 1fx=x+3+1x+2;(2)fx=x-x.3. (1)已知函数fx=2x2 ，求f-x，f(1+x).2已知 fx+1=x2 ，求fx.4.已知函数fx=3x2+2（1）求f2、f-2的值；（2）求fa、f-a的值；（3）你从中发现了什么结论？
