1、河南省洛阳市2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一选择题1.若复数满足，则的共轭复数的虚部是（ ）A. iB. C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】由题意结合复数的除法法则可得，再根据共轭复数、复数虚部的概念即可得解.【详解】由题意，所以的共轭复数，则的共轭复数的虚部为1.故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算，考查了共轭复数及复数虚部的概念，属于基础题.2.用反证法证明命题：“设a，b，c为实数，满足是无理数，则a，b，c至少有一个是无理数”时，假设正确的是（ ）A. 假设a，b，c都是有理数B. 假设a，b，c至少有一个是有理数C. 假设a，b，c不都是无理数D.
2、 假设a，b，c至少有一个不是无理数【答案】A【解析】【分析】由题意结合反证法的概念直接写出原命题的否定，即可得解.【详解】用反证法证明命题时，需要假设命题的否定是正确的，原命题的否定是“设a，b，c为实数，满足是无理数，则a，b，c都不是无理数”即“设a，b，c为实数，满足是无理数，则a，b，c都是有理数”.所以需要假设a，b，c都是有理数.故选：A.【点睛】本题考查了反证法的概念辨析，关键是对于反证法概念的掌握，属于基础题.3.函数的图象如下图，则函数在下列区间上平均变化率最大的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意结合平均变化率的概念即可得解.【详解】函数在区间
3、上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间上，即函数在区间上的平均变化率小于0；在区间、上时，且相同，由图象可知函数在区间上的最大.所以函数在区间上的平均变化率最大.故选：C.【点睛】本题考查了平均变化率的概念，关键是对知识点的准确掌握，属于基础题.4.有一段演绎推理：“若数列的前n项和为，则通项公式.已知数列的前n项和为，则通项公式”.对该演绎推理描述正确的是（ ）A. 大前提错误，导致结论错误B. 小前提错误，导致结论错误C. 推理形式错误，导致结论错误D. 以上演绎推理是正确的【答案】A【解析】【分析】根据演绎推理：三段论的推理过程即可判断.【详解】若数列的前n项和为，则通项公式，需，所以
4、，则通项公式，当时，不满足通项公式，即大前提错误，导致结论错误.故选：A【点睛】本题考查了演绎推理的三段论的推理过程，属于基础题.5.函数的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求导，进而利用导数与函数的单调性的关系即可求解.【详解】函数，由，可得，解得，所以函数的单调递增区间为.故选：D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、解三角不等式，解题的关键是利用导数的运算法则求出导函数，属于基础题.6.已知过原点的直线l与曲线相切，则由曲线，y轴和直线l所围成的平面图形的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】根据导数的几何意义求出直线l的
5、方程，再确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解.【详解】解：由已知的导函数为，设过原点的直线l与曲线相切于点，则，直线l的方程为，即，又直线l过原点，则，解得，所以直线l的方程为，由曲线，y轴和直线l所围成的平面图形的面积为.故选：A.【点睛】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题.7.如图：图O内切于正三角形，则，即，从而得到结论：“正三角形的高等于它的内切圆的半径的3倍”；类比该结论到正四面体，可得到结论：
6、“正四面体的高等于它的内切球的半径的a倍”，则实数（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】【分析】利用等体积，即可得出结论.【详解】解：设正四面体的高为，底面积为，内切球的半径为，则，则.故选：B.【点睛】本题考查类比推理，考查等体积方法的运用，考查学生的计算能力，比较基础.8.若函数存在极值，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可知，函数在定义域上存在极值点，令可得，换元，可得，则实数的取值范围为函数在上的值域且满足，由此可求得实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，且.由题意可知，函数在定义域上存在极值点，由可得，令，则，则实数的
7、取值范围为函数在上的值域且满足，对于二次函数，当时，对于二次方程，即，解得.因此，实数的取值范围是.故选：A.【点睛】本题考查利用函数的极值点求参数，一般转化为导函数的零点，但要注意导函数的图象与轴不能相切，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.9.若，则P，Q的大小关系是（ ）A. B. C. D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】对P，Q作商并化简，构造函数，根据函数的单调性判断与1的大小关系，即可得出P，Q的大小关系.【详解】P，Q作商可得，令，则，当时，所以在上单调递增，因为，所以，又，所以，所以.故选：C【点睛】本题主要考查作商法比较大小，解题的关键是会构造函数并判断单调性.10.
8、部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线.将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，若记图三角形的面积为，则第n个图中阴影部分的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】每一个图形的面积是前一个图形面积的，根据等比数列公式
9、得到答案.【详解】根据题意：每一个图形的面积是前一个图形面积的，即面积为首项为，公比为的等比数列，故第n个图中阴影部分的面积为.故选：D.【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.已知b为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】取导数为1计算得到切点为，将切点代入直线，得到，换元利用均值不等式得到答案.【详解】，则，则，当，故切点为，将切点代入直线得到，当时等号成立.故选：D.【点睛】本题考查了根据切线求参数，均值不等式，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定是解题的关键.12.关于x的方程有三个不等的实数解
10、，且，则的值为（ ）A. eB. 1C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，求导计算单调区间，画出函数图像，设，代入化简得到二次方程，计算根与系数关系，代入式子计算得到答案.【详解】设，则，故函数在上单调递增，在上单调递减，画出函数图像，如图所示：设，则，即，化简整理得到：，故，且，.故选：B.【点睛】本题考查了求利用导数研究方程的解，意在考查学生的计算能力和应用能力，换元是解题的关键.二填空题13.设复数，则_.【答案】【解析】【分析】利用复数运算化简得到，再计算复数模得到答案.【详解】，则，则.故答案为：.【点睛】本题考查了复数的计算，复数的模，意在考查学生的计算能力和转化能力.14._
11、【答案】2【解析】【分析】为奇函数，再利用定积分的几何意义计算得到答案.【详解】为奇函数，故，设，即，对应半圆的面积为，故.故答案为：.【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化为对应半圆的面积是解题的关键.15.已知函数，其中e是自然对数的底数.若，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】确定函数为奇函数，增函数，将不等式转化为，根据函数单调性计算得到答案.【详解】，则，故函数为奇函数.，函数单调递增，故，故，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了利用导数确定单调性，利用单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.16.已知函数，若，则的最小
12、值为_.【答案】2【解析】【分析】求导得到，取得到，计算切线得到答案.【详解】，则，取，故，故切线方程为，取，解得，故最小值.故答案为：.【点睛】本题考查了利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化为切线方程是解题的关键.三解答题17.已知m为实数，设复数.（1）当复数为纯虚数时，求m的值；（2）当复数对应的点在直线的上方，求m的取值范围.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）直接根据复数的类型得到方程，解得答案.（2）直线的上方的点的坐标应满足，代入数据解不等式得到答案.【详解】（1）由题意得：，解得.（2）复数对应的点的坐标为，直线的上方的点的坐标应满足，即：，解得或，m
13、的取值范围为.【点睛】本题考查了根据复数的类型和复数的对应点的位置求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.18.（1）已知，求证：；（2）若x，y都是正实数，且，用反证法证明：与中至少有一个成立.【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用作差法即可证明.（2）假设，从而可得，两不等式相加即可找出矛盾点，即证.【详解】（1），从而：，.（2）假设，则，所以，所以，与条件矛盾，所以假设不成立，即与中至少有一个成立.【点睛】本题考查了作差法证明不等式、反证法，反证法关键找出矛盾，属于基础题.19.不期而至的新冠肺炎疫情，牵动了亿万国人的心，全国各地纷纷捐赠物资驰援武汉.有
14、一批捐赠物资需要通过轮船沿长江运送至武汉，已知该运送物资的轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知当速度为10海里/时时，燃料费是6元/时，而其他与速度无关的费用是96元/时，问当轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？【答案】当轮船的速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小.【解析】【分析】设速度为海里/时的燃料费是p元/时，由题设的比例关系得，由数据可得，列出航行1海里的总费用为，再利用导数求出最值即可.【详解】设速度为海里/时的燃料费是p元/时，由题设的比例关系得，其中k为比例系数.由，得，于是.设船的速度为海里/时，航行1海里所需的总费用为y元，而每小时
15、所需的总费用是元，航行1海里所需时间为，所以航行1海里的总费用为.所以.令，解得.因为当时，；当时，所以当时，y取得最小值.故当轮船的速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小.【点睛】本题考查了分式函数模型、利用导数求最值，考查了考生的分析问题、解决问题的能力，属于基础题.20.在各项为正的数列an中，数列的前n项和Sn满足. (1)求 (2)由(1)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】试题分析：（I）由，n分别取1，2，3，代入计算，即可求得结论，猜想；（II）用数学归纳法证明的关键是n=k+1时，变形利用归纳假设试题解析：(1)
16、当时，或(舍,). 当时， 当时， 猜想：. (2)证明：当时，显然成立 假设时，成立， 则当时，, 即 . 由、可知，. 点睛：数学归纳法两个步骤的关系：第一步是递推基础，第二步是递推的根据，两个步骤缺一不可，有第一步无第二表，属于不完全归纳法，论断的普遍性是不可靠的；有第二步无第一步中，则第二步中的假设就失去了基础只有把第一步结论与第二步结论联系在一起，才可以断定命题对所有的自然数n都成立21.已知函数，（）（1）若，求的极值； （2）若时，求实数的取值范围【答案】（1）极大值是，的极小值是（2）【解析】【分析】（1） ，求导，判断，变化求得极值；（2）解法一:分离a,求最值得a的范围，解
17、法二: ，讨论a的范围得解【详解】（1）当时， 时，则，.当变化时，变化状态如下表：-10 + 0 - 0 +极大 极小 所以极大值是，的极小值是 （2）等价于当时，恒成立解法一: 当，等号成立，当，设，由经典不等式 或者， ，又 解法二: ，若，则，即不等式恒成立.（充分性）若， ，这与当时，恒成立相矛盾（必要性）【点睛】本题考查函数与导数的极值，考查不等式恒成立，考查转化化归能力，考查计算能力，是中档题22.已知函数的导函数为，且.（1）求函数的解析式；（2）若函数区间上存在非负的极值，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）令可求得，求导后再令即可求得，即可得解；（2）对函数求导后，根据、分类讨论，求出函数的极值，进而可得，令，求导后，得出的最大值，即可得解.【详解】（1）令，代入可得，.（2）由题意，当即时，在上恒成立，在区间上单调递增，无极值，不合题意；当即时，令，则，当，函数单调递减；，函数单调递增；在存在唯一极值，又函数区间上存在非负的极值，存在，存在即，令，当时，单调递增；当时，单调递减；，当即时，取最大值，的最大值为.【点睛】本题考查了导数的综合应用及有解问题的解决，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，解题的关键是条件的转化及新函数的构造，属于中档题.
