1、第四章 圆与方程 4.3 空间直角坐标系 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置(重点)2掌握空间两点间的距离公式(重点、难点)通过学习空间直角坐标系，提升直观想象、数学运算的数学学科素养自 主 预 习 探 新 知 1空间直角坐标系(1)空间直角坐标系的特征三条轴两两相交且互相 ；有 的单位长度垂直相同(2)相关概念坐标原点 坐标轴 轴、轴、轴 坐标平面 平面、平面、平面(3)右手直角坐标系要求右手拇指指向 轴的正方向，食指指向 轴的正方向，中指指向 轴的正方向OxyzxOyyOzxOzxyz2.空间一点的坐标其中 x ，y ，z 横坐标纵坐标竖坐
2、标思考：给定的空间直角坐标系下，空间任意一点是否与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系？提示 是给定空间直角坐标系下，空间给定一点其坐标是唯一的有序实数组(x，y，z)；反之，给定一个有序实数组(x，y，z)，空间也有唯一的点与之对应3空间两点间的距离公式(1)点 P(x，y，z)到坐标原点 O(0,0,0)的距离|OP|_(2)任意两点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离|P1P2|_x2y2z2（x1x2）2（y1y2）2（z1z2）2思考：空间两点间的距离公式对在坐标平面内的点适用吗？提示 适用空间两点间的距离公式适用于空间任意两点，对同在某一坐标平面内
3、的两点也适用C x 轴上的点的纵坐标和竖坐标为 0.1下列点在 x 轴上的是()A.(0.1，0.2，0.3)B.(0，0，0.001)C.(5，0，0)D.(0，0.01，0)D 点 P(1，2，5)在 xOy 平面上的射影是 P(1，2，0)，则点P(1，2，5)到 xOy 平面的距离为|PP|5.2点 P(1，2，5)到 xOy 平面的距离为()A.1 B2C.2 D5 D 由题意得（x2）2（13）2（24）22 6，解得 x2 或 x6.3已知点 A(x，1，2)和点 B(2，3，4)，且|AB|2 6，则实数 x的值是()A.3 或 4 B6 或 2C.3 或4 D6 或2(2，1
4、，3)(2，1，3)根据空间直角坐标系的特征，点(2，1，3)关于 y 轴的对称点为(2，1，3)，关于 yOz 平面的对称点为(2，1，3).4在空间直角坐标系中，点(2，1，3)关于 y 轴的对称点是_，关于平面 yOz 的对称点是_合 作 探 究 释 疑 难 求空间中点的坐标【例 1】如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 在线段 BC1 上，且|BM|2|MC1|，N 是线段 D1M 的中点，求点 M，N 的坐标解 如图，过点 M 作 MM1BC 于点 M1，连接 DM1，取 DM1的中点 N1，连接 NN1.由|BM|2|MC1|，知|MM1|23|CC1|
5、23，|M1C|13|BC|13.因为 M1MDD1，所以 M1M 与 z 轴平行，点 M1 与点 M 的横坐标、纵坐标相同，点 M 的竖坐标为23，所以 M13，1，23.由 N1 为 DM1 的中点，知 N116，12，0.因为 N1N 与 z 轴平行，且|N1N|M1M|DD1|256，所以 N16，12，56.求某点 P 的坐标的方法：先找到点 P 在 xOy 平面上的射影 M，过点 M 向 x 轴作垂线，确定垂足 N.其中|ON|，|NM|，|MP|即为点 P 坐标的绝对值，再按ONMP 确定相应坐标的符号与坐标轴同向为正，反向为负，即可得到相应的点 P 的坐标跟进训练1已知正四棱锥
6、 P-ABCD 的底面边长为 5 2，侧棱长为 13，建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标解 因为|PO|PB|2|OB|2 1692512，所以各顶点的坐标分别为 P(0，0，12)，A5 22，5 22，0，B5 22，5 22，0，C5 22，5 22，0，D5 22，5 22，0.【例 2】在空间直角坐标系中，已知点 P(2，1，4).(1)求点 P 关于 x 轴对称的点的坐标；(2)求点 P 关于 xOy 平面对称的点的坐标；(3)求点 P 关于点 M(2，1，4)对称的点的坐标空间中点的对称问题解(1)由于点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y轴，z 轴的
7、分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为 P1(2，1，4).(2)由点 P 关于 xOy 平面对称后，它在 x 轴，y 轴的分量不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为 P2(2，1，4).(3)设对称点为 P3(x，y，z)，则点 M 为线段 PP3 的中点，由中点坐标公式，可得 x22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，所以 P3 的坐标为(6，3，12).求空间对称点的规律方法设 P(x，y，z)，则它的对称点如表关于 x 轴对称(x，y，z)关于 y 轴对称(x，y，z)关于 z 轴对称(x，y，z)关于原点对称(x，y，z)关于平面 xOy 对称(x，y，z)关
8、于平面 yOz 对称(x，y，z)关于平面 xOz 对称(x，y，z)跟进训练2求点 A(1，2，1)关于坐标平面 xOy 及 x 轴的对称点的坐标解 如图所示，过点 A 作 AM坐标平面 xOy 交平面于点 M，并延长到点 C，使 AMCM，则点 A 与点 C 关于坐标平面 xOy 对称，且点 C(1，2，1).过点 A 作 ANx 轴于点 N 并延长到点 B，使 ANNB，则点 A 与 B 关于 x 轴对称且点 B(1，2，1).点 A(1，2，1)关于坐标平面 xOy 对称的点为C(1，2，1)；点 A(1，2，1)关于 x 轴对称的点为 B(1，2，1).空间中两点间的距离问题探究问题
9、1已知两点 P(1，0，1)与 Q(4，3，1)，请求出 P、Q 之间的距离提示|PQ|（14）2（03）2（11）2 22.2上述问题中，若在 z 轴上存在点 M，使得|MP|MQ|，请求出点 M 的坐标提示 设 M(0，0，z)，由|MP|MQ|，得(1)202(z1)24232(1z)2，z6.M(0，0，6).【例 3】如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，|AB|AD|3，|AA1|2，点 M 在 A1C1 上，|MC1|2|A1M|，N 在 D1C 上且为 D1C的中点，求线段 MN 的长度.思路探究：建系 求点M、N坐标两点间的距离公式求解解 如图所示，分别以 AB
10、，AD，AA1 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系由题意可知 C(3，3，0)，D(0，3，0)，|DD1|CC1|AA1|2，C1(3，3，2)，D1(0，3，2)，N 为 CD1 的中点，N32，3，1.M 是 A1C1 的三分之一分点且靠近 A1 点，M(1，1，2).由两点间距离公式，得|MN|3212（31）2（12）2 212.1利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤2空间直角坐标系中中点坐标公式若 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则线段 P1P2 的中点坐标为x1x22，y1y22，z1z22.5 或 7|AB|11，(64)2(
11、27)2(z1)2112，化简得(z1)236，即|z1|6，z5 或 7.跟进训练3若 A(4，7，1)，B(6，2，z)，|AB|11，则 z_课 堂 小 结 提 素 养 1结合长方体的长宽高理解点的坐标(x，y，z)，培养立体思维，增强空间想象力2学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系3在导出空间两点间的距离公式中体会转化化归思想的应用，突出了化空间为平面的解题思想C 点(2，0，3)的纵坐标为 0，所以该点在 xOz 平面上1点(2，0，3)在空间直角坐标系中的()Ay 轴上 BxOy 平
12、面上CxOz 平面上D第一象限内A 点 P(3，4，5)与 Q(3，4，5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于 x 轴对称2在空间直角坐标系中，点 P(3，4，5)与 Q(3，4，5)两点的位置关系是()A关于 x 轴对称B关于 xOy 平面对称C关于坐标原点对称D以上都不对B 由题图得 A(0，0，0)，B1(1，0，1)，所以对角线的交点即为AB1 的中点，由中点坐标公式，可得对角线的交点坐标为12，0，12.3以棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB，AD，AA1 所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形 AA1B1B的对角线的交点坐标为()A0，12，12B12，0，12C12，12，0D12，12，124如图所示，VABCD 是正四棱锥，O 为底面中心，E，F 分别为 BC，CD 的中点已知|AB|2，|VO|3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标解 底面是边长为 2 的正方形，|CE|CF|1.O 点是坐标原点，C(1，1，0)，同样的方法可以确定 B(1，1，0)，A(1，1，0)，D(1，1，0).V 在 z 轴上，V(0，0，3).点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
