1、江苏省南京市2019-2019学年高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，请把答案填写在答题纸相应位置1（5分）已知集合A=1，2，4，B=1，0，2 则AB=1，2考点：交集及其运算专题：计算题分析：直接利用交集的概念进行求解运算解答：解：由集合A=1，2，4，B=1，0，2，所以AB=1，2，41，0，2=1，2故答案为1，2点评：本题考查了交集及其运算，是基础的概念题，属会考题型2（5分）函数f（x）=+lg（3x）的定义域是2，3）考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法.专题：函数的性质及应用分析：利用根式函数和对数函数的定义域，求函数f（x）的定义域解答：解
2、：要使函数有意义，则有，即，所以2x3，即函数f（x）的定义域为2，3）故答案为：2，3）点评：本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数的定义域的求法3（5分）从某项综合能力测试中抽取7人的成绩，统计如表，则这7人成绩的方差为考点：极差、方差与标准差；茎叶图.专题：概率与统计分析：根据茎叶图得到数据，利用平均数、方差公式直接计算即可解答：解：由题意得，这7人成绩为：8，8，9，10，11，12，12其平均值 =（8+8+9+10+11+12+12）=10，方差为s2=（810）2+（810）2+（910）2+（1010）2+（1110）2+（1210）2+（1210）2=，故答案为：
3、点评：本题考查茎叶图、样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差，属基础题，熟记样本的平均数、方差公式是解答好本题的关键4（5分）设f（x）=，则f（log23）=3考点：对数的运算性质；函数的值.专题：计算题；函数的性质及应用分析：判断出log2310，代入第二段解析式求解解答：解：log2310，f（log23）=2log23=3故答案为：3点评：本题考查分段函数求函数值，要确定好自变量的取值或范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念5（4分）已知f（x1）=x23x，则函数f（x）的解析式f（x）=f（x）=x2x2考点：函数解析式
4、的求解及常用方法.专题：计算题分析：由已知中f（x1）=x23x，我们可将式子右边凑配成a（x1）2+b（x1）+c的形式，进而将（x1）全部替换成x后，即可得到答案解答：解：f（x1）=x23x=（x1）2（x1）2f（x）=x2x2故答案为：x2x2点评：本题考查的是函数解析式的求解及其常用方法，其中本题使用的凑配法，是已知复合函数解析式及内函数的解析，求外函数解析式时常用的方法，属于基础题6（4分）（2019长宁区一模）如图是一个算法的流程图，则最后输出的S=36考点：循环结构.专题：计算题；图表型分析：按照程序框图的流程，写出前几次循环的结果，并判断每个结果是否满足判断框中的条件，直到
5、不满足条件，输出s解答：解：经过第一次循环得到的结果为s=1，n=3，经过第二次循环得到的结果为s=4，n=5，经过第三次循环得到的结果为s=9，n=7，经过第四次循环得到的结果为s=16，n=9经过第五次循环得到的结果为s=25，n=11， 经过第六次循环得到的结果为s=36，n=13此时满足判断框中的条件输出36故答案为36点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找出规律7（4分）函数f（x）=x32x2的图象在点（1，1）处的切线方程为y=x考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.专题：导数的综合应用分析：求导函数，确定切线的斜率，利用点斜式可得切线方程解答：
6、解：f（x）=x32x2，f（x）=3x24x，f（1）=1函数f（x）=x32x2的图象在点（1，1）处的切线方程为y+1=（x1），即y=x故答案为：y=x点评：本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题8（4分）取一根长度为4m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1m的概率是考点：几何概型.专题：概率与统计分析：因为绳子的总长为4m，所以只能在绳子中间2m的部分剪断，才能使剪出的两段符合条件由此结合几何概型的概率公式，不难得到本题答案解答：解：记“两段绳子的长都不小于1m”为事件A，绳子的总长为4米，而剪得两段绳子的长都不小于1m如图所示，只能在中间2m的部分
7、剪断，才能使剪出的两段符合条件根据几何概型的概率公式，可得事件A发生的概率 P（A）=故答案为：点评：本题给出4米长的绳子，求使剪出的两段绳子的长都不小于1m的概率着重考查了几何概型及其计算公式等知识，属于基础题9（4分）已知函数f（x）=x（ex+aex）是偶函数，则a=1考点：函数奇偶性的性质.专题：函数的性质及应用分析：利用函数f（x）=x（ex+aex）是偶函数，得到g（x）=ex+aex为奇函数，然后利用g（0）=0，可以解得a解答：解：设g（x）=ex+aex，因为函数f（x）=x（ex+aex）是偶函数，所以g（x）=ex+aex为奇函数又因为函数f（x）的定义域为R，所以g（0
8、）=0，即g（0）=1+a=0，解得a=1故答案为：1点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，特别是要掌握奇函数的一个性质，若奇函数f（x）过原点，则必有f（0）=0，要灵活使用奇函数的这一性质10（4分）函数f（x）=x+的值域为（，考点：函数的值域.专题：函数的性质及应用分析：利用换元法设t=，将函数转化为关于t的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求函数的值域解答：解：设t=，则t0，且x=1t2，所以原函数等价为，因为t0，所以t=时，函数有最小值，所以y即函数f（x）的值域为（，故答案为：（，点评：本题主要考查函数的值域，利用换元法将函数转化为一元二次函数，利用一元二次函数求函数的值域1
9、1（4分）函数的单调递增区间是（0，e）考点：利用导数研究函数的单调性.专题：计算题分析：求出函数的导数为y的解析式，令y0 求得x的范围，即可得到函数的单调递增区间解答：解：由于函数的导数为y=，令y0 可得 lnx1，解得0xe，故函数的单调递增区间是 （0，e），故答案为 （0，e）点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题12（4分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的xR都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，若f（1）=2，则f（2019）=2考点：抽象函数及其应用；函数的值.专题：计算题；函数的性质及应用分析：令x=2，可求得f（2）=f（2）=0，从而可
10、得f（x）是以4为周期的函数，结合f（1）=2，即可求得f（2019）的值解答：解：f（x+4）=f（x）+f（2），f（2+4）=f（2）+f（2），f（2）=0，又函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（2）=0f（x+4）=f（x）+0=f（x），f（x）是以4为周期的函数，又f（1）=2，f（2019）=f（5034+1）=f（1）=2故答案为：2点评：本题考查抽象函数及其应用，考查赋值法，求得f（2）=0是关键，考查函数的周期性，属于中档题13（4分）已知函数f（x）= 对任意x1x2，都有0成立，则实数k的取值范围是，1）考点：函数单调性的判断与证明；导数的运算.专题：函数的性质及应
11、用分析：利用对任意x1x2，都有0成立，可得函数在R上单调递增，从而可得不等式组，即可求得实数k的取值范围解答：解：对任意x1x2，都有0成立，函数在R上单调递增，f（x）=，实数k的取值范围是，1），故答案为：，1）点评：本题考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题14（4分）已知函数f（x）=2x2+m的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围为考点：根的存在性及根的个数判断.专题：函数的性质及应用分析：利用导数求出求出这两个函数的图象在（0，+）上相切时切点的横坐标为x=，再由题意可得f（）g（），由此求得实数m的取值范围解答：解：由于函数f（x
12、）和函数g（x）都是偶函数，图象关于y轴对称，故这两个函数在（0，+）上有2个交点当x0时，令 h（x）=f（x）g（x）=2x2+mlnx，则 h（x）=4x令h（x）=0可得x=，故这两个函数的图象在（0，+）上相切时切点的横坐标为x=当x=时，f（x）=+m，g（x）=ln=ln2，函数f（x）=2x2+m的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点，应有+mln2，由此可得 mln2，故实数m的取值范围为 ，故答案为 点评：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，求出这两个函数的图象在（0，+）上相切时切点的横坐标为x=，是解题的关键，属于中档题二、解答题：本大题
13、共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15（14分）已知集合A=x|x23x+20，B=x|x2（a+1）x+a0，a1（1）求集合A，B；（2）若（RA）B=B，求实数a的取值范围考点：交、并、补集的混合运算；一元二次不等式的解法.专题：不等式的解法及应用分析：（1）A、B都是不等式的解集，分别解一元二次不等式可得A、B，由不等式的解法，容易解得A、B；（2）因为（RA）B=B，可知CRAB，求出CRA，再根据子集的性质进行求解；解答：解：（1）A=（，1）（2，+）（3分）x2（a+1）x+a0，（x1）（xa）0（5分）a11xaB=1，a
14、（7分）（2）CRA=1，2（CRA）B=BCRAB，即1，21，aa2，即所求实数a的取值范围为2，+）点评：本题考查集合间的交、并、补的混合运算，这类题目一般与不等式、方程联系，难度不大，注意正确求解与分析集合间的关系即可16（14分）为传承奥运精神，普及青奥知识，我校对全校学生进行了一次青奥知识测试，从中随机抽取容量为100的学生成绩样本，得频率分布表如下：组号分组频数频率第一组60，80）160.16第二组80，100）0.24第三组100，120）30第四组120，140）200.20第五组140，160）100.10合 计1001.00（1）写出表中位置的数据；（2）为了选拔出更优
15、秀的学生进行青奥知识宣传，我校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取12名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核的人数考点：分层抽样方法；频率分布表.专题：概率与统计分析：（1）由频率分布表，可得位置的数据为1000.24，位置的数据为，即可得答案；（2）读表可得，第三、四、五组人数比例为30：20：10，要求从中用分层抽样法抽取12名学生，利用抽取比例计算可得答案解答：解：（1）1000.24=24，（3分）=0.3（6分）（2）30：20：10=3：2：1所以第三、四、五各组参加考核人数分别为6，4，2（14分）（在有错误的情况下，三个答案中算对一个给3分）点评：本题考查等可能
16、事件的概率计算与频率分布表的运用，是常见的题型，注意加强训练17（14分）已知关于x的一元二次方程x22ax+b2=0（1）若a是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程没有实根的概率；（2）若a是从区间0，3内任取的一个数，b是从区间0，2内任取的一个数，求上述方程没有实根的概率考点：古典概型及其概率计算公式；几何概型.专题：概率与统计分析：（1）求得所有的（a，b）共12个，而满足条件的（a，b）共3个，由此求得所求事件的概率（2）如图，试验的所有基本事件所构成的区域为矩形OABC，其中所求事件的区域为三角形OEC，由所求事件发生的概率为 ，运
17、算求得结果解答：解：（1）设事件A为“方程x22ax+b2=0无实根”；（1分）当=4a24b2=4（a2b2）0，即ab时，方程x22ax+b2=0无实根（3分）所有的（a，b）共12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）其中，第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值事件A包含3个基本事件（0，1），（0，2），（1，2），由于每个基本事件发生的可能性都相同，（4分）事件A发生的概率P（A）=（6分）答：方程x22ax+b2=0没有实根的概率为（7分）（2）设事件B为“方程x22ax
18、+b2=0无实根”；（8分）如图，试验的所有基本事件所构成的区域为矩形OABC：（a，b）|0a3，0b2，其中构成事件B的区域为三角形OEC，即（a，b）|0a3，0b2，ab，由于点（a，b）落在区域内的每一点是随机的，（10分）事件B发生的概率P（B）=（13分）答：方程x22ax+b2=0没有实根的概率为（14分）点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，几何概型问题，属于基础题18（16分）已知函数f（x）=是奇函数（1）求实数a的值；（2）判断并证明f（x）的单调性；（3）若对x0，1，不等式f（x）tx恒成立，求实数t的取值范围考点：奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证
19、明；函数最值的应用.专题：函数的性质及应用分析：（1）由奇函数的性质得f（0）=0，代入解析式求出a的值，再进行验证；（2）先判断出函数的单调性，再由单调性定义证明：取值、作差、变形、判断符号、下结论，变形一定要彻底；（3）利用分离常数法，将条件转化为“tf（x）+x对x0，1恒成立”，结合（2）判断出f（x）+x的单调性，求出此函数的最大值，即可得t得取值范围解答：（1）解：f（x）是奇函数f（0）=0，即=0a=1（3分）经检验：a=1时f（x）=是奇函数，满足题意（4分）（2）f（x）是单调增函数证明：任取x1，x2（，+），x1x2f（x1）f（x2）=（7分）x1，x2（，+），x1
20、x2，则f（x1）f（x2）0，即f（x）在（，+）上是单调增函数（10分）（3）由题意分离t得：tf（x）+x对x0，1恒成立（12分）由（2）知函数f（x）在（，+）上是单调增函数f（x）+x在0，1上是单调增函数f（x）+x在0，1上的最大值为f（1）+1=（14分）t，即所求实数a的取值范围为，+）（16分）点评：本题考查了奇函数的性质应用，函数单调性的证明过程，及恒成立问题的转化等，考查了转化思想和分离常数法19（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：（ab0）的离心率为，一条准线方程为x=4（1）求椭圆E的标准方程；（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且
21、垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M，设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由题意可得得，解出即可；（2）设P（x0，y0）（y00），即可得出直线AP的方程，令x=2，即可得到点M的坐标，利用斜率计算公式即可得出k1，k2，再利用点P在椭圆上即可证明解答：解：（1）由题意得，解得，椭圆E的标准方程为（2）设P（x0，y0）（y00），则直线AP的方程为：y=（x+2）令x=2得M（2，）k1=，k2=，k1k2=，P（x0，y0）在椭圆上，=1k1k
22、2为定值点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线的斜率公式等是解题的关键20（16分）已知定义域为R的奇函数f（x），当x0时，f（x）=lnx（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数h（x）=f（x）+在1，e上的最小值为3，求a的值；（3）若存在x01，+），使得f（x0）x02+，求实数a的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；导数在最大值、最小值问题中的应用.专题：导数的综合应用分析：（1）根据函数奇偶性的定义，得x0时f（x）=f（x）=ln（x），结合f（0）=0即可求出函数f（x）的解析式；（2）求导数得h（x）=，可得h（x）=0的根为x=
23、a因此分a1、1ae和ae三种情况讨论，分别得到函数在1，e上的单调性，再由最小值3建立关于a的等式，解之即可得到实数a的值；（3）由题意得f（x）x2+在1，+）上有解，变形整理得axlnxx3在1，+）上有解再利用导数工具加以研究，可得当x1，+）时g（x）0恒成立，得g（x）在1，+）上单调递减，所以g（x）max=g（1）=1，由此即可得到实数a的取值范围解答：解：（1）f（x）定义域为R的奇函数，f（0）=0（1分）当x0时，f（x）=f（x）=ln（x）综上所述，函数f（x）的解析式是f（x）=（3分）（2）由题意得h（x）=lnx+，h（x）=由h（x）=0得x=a当a1时，f（
24、x）在1，e上单调递增h（x）min=h（1）=aa=3，但不符合a1，舍去（6分）当1ae时，f（x）在1，a上单调递减，在a，e上单调递增h（x）min=h（a）=aa=3，但不符合1ae，舍去（8分）当ae时，f（x）在1，e上单调递减h（x）min=h（e）=1+，可得1+=3，解之得a=2e，符合题意综上所述：当a=2e时，h（x）=f（x）+在1，e上的最小值为3（10分）（3）由题意：f（x）x2+在1，+）上有解即axlnxx3在1，+）上有解（12分）设g（x）=xlnxx3，其中x1，+），可得g（x）=lnx+13x2设（x）=lnx+13x2 （x1，+），则（x）=6x当x1，+）时（x）0恒成立，可得（x）在1，+）上单调递减（x）（1）=2，得（x）在1，+）上恒为负数（14分）当x1，+）时g（x）0恒成立，得g（x）在1，+）上单调递减因此，g（x）max=g（1）=1由此可得，实数a的取值范围为（，1）（16分）点评：本题给出含有对数的函数，研究函数的奇偶性并求函数在闭区间上的最值着重考查了利用导数工具研究函数的单调性、函数在闭区间上的最值和不等式恒成立问题等知识，属于中档题
