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2020-2021学年北师大版数学必修4教师用书:第1章 §4 4-3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 4-4 单位圆的对称性与诱导公式 WORD版含解析.doc

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资源描述

1、4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与诱导公式学 习 目 标核 心 素 养1.了解正弦函数、余弦函数的基本性质2会借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式(难点)3掌握诱导公式及其应用(重点)1.通过借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式,提升逻辑推理素养2通过诱导公式的应用,提升数学运算素养1正弦函数、余弦函数的基本性质从单位圆看出正弦函数ysin x有以下性质(1)定义域是R;(2)最大值是1,最小值是1,值域是1,1;(3)它是周期函数,其周期是2k(kZ);(4)在0,2上的单调性为:在上是单调递增;在上是单调递减;在上是单调递增同样,从单位圆也可看出余

2、弦函数ycos x的性质思考1:正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少?提示设任意角x的终边与单位圆交于点P(cos x,sin x),当自变量x变化时,点P的横坐标是cos x,|cos x|1,纵坐标是sin x,|sin x|1,所以正弦函数、余弦函数的最大值为1,最小值为1.2诱导公式的推导(1)诱导公式(,)的推导在直角坐标系中与角的终边关于x轴对称;与的终边关于原点对称;与的终边关于y轴对称公式sin ()sin ,cos ()cos ;sin ()sin ,cos ()cos ;sin ()sin ,cos ()cos (2)诱导公式的推导的终边与的终边关于直线yx对称公式

3、sin cos ,cos sin 用代替并用前面公式sin cos ,cos sin 思考2:设为任意角,则2k,2k,的终边与的终边有怎样的对应关系?提示它们的对应关系如表:相关角终边之间的对应关系2k与终边相同与关于原点对称与关于x轴对称2与关于x轴对称与关于y轴对称1当R时,下列各式恒成立的是()A.sin cos B.sin ()sin C.cos (210)cos (30)D.cos ()cos ()D由诱导公式知D正确2cos 300sin 450的值是()A.1BC.1 DD原式cos (36060)sin (36090)cos (60)sin 90cos 601.3cos 的值

4、是()A.B CDDcos cos cos .4ysin x,x的单调增区间为_,单调减区间为_在单位圆中,当x由到时,sin x由0减小到1,再由1增大到.所以它的单调增区间为,单调减区间为.正弦、余弦函数的性质【例1】求下列函数的单调区间、最大值和最小值以及取得最大值和最小值的自变量x的值(1)ysin x,x;(2)ycos x,x.解(1)由图可知,ysin x在上是增加的,在上是减少的且当x时,ysin x取最大值1,当x时,ysin x取最小值. (2)由图可知,ycos x在,0上是增加的,在上是减少的且当x时取最小值1,当x0时,取最大值1.利用单位圆研究三角函数性质的方法第一

5、步:在单位圆中画出角x的取值范围;第二步:作出角的终边与单位圆的交点P(cos x,sin x);第三步:研究P点横坐标及纵坐标随x的变化而变化的规律;第四步:得出结论1求下列函数的单调区间和值域,并说明取得最大值和最小值时的自变量x的值(1)ysin x,x;(2)ycos x,x,.解(1)ysin x,x的单调递减区间为,单调递增区间为.当x时,ymin1;当x时,ymax0,故函数ysin x,x的值域为.(2)ycos x,x,的单调递减区间为0,单调递增区间为,0.当x0时,ymax1;当x或时,ymin1,故函数ycos x,x,的值域为1,1.给角求值【例2】求下列三角函数式的

6、值:(1)sin 495cos (675);(2)sin cos .解(1)sin 495cos (675)sin (135360)cos 675sin 135cos 315sin (18045)cos (36045)sin 45cos 45.(2)sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 0.利用诱导公式,把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为:可简记为:负化正,大化小,化成锐角再求值2求下列三角函数值(1)sin cos;(2)sin .解(1)sin cos sin cos sin cos .(2)sin sin sin s

7、in .三角函数式的化简【例3】化简下列各式:(1);(2).解(1)原式cos .(2)原式1.三角函数的化简,尽量化为2k的形式,否则:(1)形如k时,应对k进行奇数和偶数两种情形讨论;(2)形如时,应分k3n,k3n1,k3n2(nZ)三种情形讨论3化简下列各式(1);(2).解(1)原式1.(2)原式.给值求值问题探究问题1有条件的三角函数求值问题的基本思路是什么?提示对于有条件的三角函数求值题,求解的一般基本方法是从角的关系上寻求突破,找到所求角与已知角之间的关系,结合诱导公式,进而把待求式转化到已知式而完成求值2当已知条件给出的是复合角时应如何解决问题?提示当所给的角是复合角时,不

8、易看出已知角与所求角的联系,可将已知角看成一个整体,用这个整体去表示所求角,便可发现它们之间的关系【例4】(1)已知sin (),且是第四象限角,则cos (2)的值是()A.BCD(2)已知cos ,求cos sin2的值思路探究(1)直接利用诱导公式求解,注意角所在的象限(2)利用复合角之间的关系及诱导公式求解(1)B因为sin(),且sin ()sin ,所以sin ,又因为是第四象限角,所以cos (2)cos .(2)解:因为cos cos cos ,sin2sin21cos21,所以cossin2.1(变条件,变结论)将例(2)中的“”改为“”,“”改为“”,其他不变,应如何解答?

9、解由题意知cos,求cos sin2的值因为coscos cos ,sin21cos21,所以cossin2.2(变结论)例(2)中的条件不变,求cossin2的值解cossin2cossin2cossin2.解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化1诱导公式的选择方法:先将化为正角,再用2k(kZ)把角化为0,2内的角,再用,2化为锐角的三角函数,还可继续用化为内的角的三角函数由此看,利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,这也正是:诱

10、导公式真是好,负化正后大化小2解决给式求值问题的常见思路有:若条件简单,结论复杂,可从化简结论入手,用上条件;若条件复杂,结论简单,可从化简条件入手,转化出结论的形式;若条件、结论都比较复杂,可同时化简它们,直到找出它们间的联系为止无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标,根据需要变形1判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)ysinx在,上是增加的()(2)ycos x在0,上是递减的()(3)sin (2)sin .()(4)诱导公式中的角只能是锐角()答案(1)(2)(3)(4)2已知sin ()0,cos ()0,则所在象限是()A.第一象限B第二象限C.第三象限 D第四象限B由sin ()sin 0sin 0,cos ()cos 0cos 0,由可知是第二象限角3已知cos (),则sin _cos ()cos ,cos .又sin cos .4计算:cos sin.解原式cos sin cos sin .

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